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文档简介
2023年黑龙江省绥化市普通高校对口单招
数学自考模拟考试(含答案)
学校:班级:姓名:考号:
一、单选题(10题)
1.同时掷两枚质地均匀的硬币,则至少有一枚出现正面的概率是O
A.1B.3/4C.1/2D.1/4
2.若圆Cκx2+y2=l与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()
A.21B.19C.9D.-11
3设*合∕={L3∙5}.8={3.6∙9}.!iU8h
A.0
B∙{3}
C.{1,5,6,9)
D.{1,3,5,6,9}
4.椭圆χ2∕2+y2=l的焦距为()
A.1
B.2
C.3
5不等式M-2x<0的解集为
(-∞,0)∪(2,+∞)
A.
B.(0,2)
C10'21
D.R
6.若不等式χ2+χ+cV0的解集是{x卜4VχV3},则C的值等于O
A.12B.-12C.11D.-11
7.下列四组函数中表示同一函数的是()
B.y=21nx与y=lnx2
3π
..-----------FX
C.y=sιnx与y=cos(2)
D.y=cos(2π-x)与y=sin(π-x)
8.已知{all}是等差数列,aι+a7=-2,a3=2,则{a11}的公差d=()
A.-lB.-2C.-3D.-4
9.已知点A(I,-1),B(-L1),则向量3•为()
A.(l,-l)B.(-l,l)C.(0,0)D.(-2,2)
10.已知向量a=(2,4),b=(-l,1),则2a-b=()
A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)
二、填空题(10题)
11.1+3+5+...+(2n-b)=.
12.函数Rx)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为,
函数f(x)=3cos(x+工)的最小值是______=
13.6
14.有一长为16m的篱笆要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积
是m2.
15.
以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数Φ(x)组成
的集合:对于函数Φ(x),存在一个正数M,使得函数Φ(x)的值域包含于区间[-M,
Ξ
M].例如,当Φ:(x)=X,Φ2(X)=SinX时,Φi(x)∈A,Φ∑(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A"的充要条件是"∀b∈R,3a∈D,f(a)
—b",
②函嬴f(x)EB的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(X)∈B,则f(x)+g(x)≡B.
④若函数f(x)=aln(x+2)+-ɪ-(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
xz+l
其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)
16.如图是一个算法流程图,则输出S的值是
rɪte
17.在平面直角坐标系xθy中,直线2x+ay-l=0和直线(2a-l)x-y+l=0
互相垂直,则实数a的值是
18.若函数询=£.财令
19.设向量a=(x,x+l),b=(l,2),且aJ_b,则X=.
某田径队有里运动员3。人,女运动员10人.用分层抽样的方
法从中抽出一个各里为20的样本,则抽出的女运动员有
20.人•
三、计算题(5题)
21.己知直线1与直线y=2x+5平行,且直线1过点(3,2).
(1)求直线1的方程;
(2)求直线1在y轴上的截距.
22.求焦点X轴上,实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.
23.有语文书3本,数学书4本,英语书5本,书都各不相同,要把这
些书随机排在书架上.
(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种?
(2)求英语书不挨着排的概率P。
己知函f(x)=Ioga-------,(a>0且a≠)
24.l+x
(1)求函数f(χ)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由。
25.有四个数,前三个数成等差数列,公差为10,后三个数成等比数
列,公比为3,求这四个数.
四、简答题(10题)
26.已知等差数列&;的前n项和是&=一窃求:
(1)通项公式4
(2)a∣+a3+a5+...+a25的值
27.点A是BCD所在平面外的一点,且AB=AC,BAC=BCD=90。,
BDC=60o,平面ABC_L平面BCD。
(1)求证平面ABD,平面ACD;
(2)求二面角A-BD-C的正切值。
28.设抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交A,B于两点,弦AB长2、后,
求b的值
29.已知向量a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∕∕v;求
实数X。
30.三个数a,b,c成等差数列,公差为3,又a,b+l,c+6成等比数
列,求a,b,Co
31.已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交与A,B两点,弦长为2指,
求b的值。
oɔ^(∣)-a+(0.25)5-7(^+H3∣x(l)U(√2+3)0
JZ.1T舁N4/
33.四棱锥S-ABCD中,底面ABOD为平行四边形,侧面SBC_L底面
ABCD
(1)证明:SA.1BC
/(x)=sm—+ʌ/ɜeos-
34.已知函数2
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值
g(x)=/(x+-)
(2)令3判断函数g(X)的奇偶性,并说明理由
35.已知函数:”“,求X的取值范围。
五、解答题(10题)
36.
已知图1是一个边长为1的正三角形,三边中点的连线将它分成四个小三角形,去
掉中间的一个小三角形,得到图2,再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作,得到图3,
重复这种操作可以得到一系列图形.记第"个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为“,
所以去掉的三角形的周长之和为4.
-AAAA
(II)试求(,b„.L_____∖/V∖AAAAʌʌʌʌ
图1图2图3图4
37.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽
取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学
段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面
的抽样方法中,最合理的抽样方法是().
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样
38.设椭圆χ2∕a2+y2∕b2的方程为点O为坐标原点,点A的坐标为(a,
0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足IBMI=2∣MAl直线
OM的斜率为I.
(1)求E的离心率e
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNLAB
39.已知函数f(x)=Iogil+x∕l-x.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
⑶用定义讨论f(x)的单调性.
40.
等差数列{4}的公差不为零,首项4=1,能是q和小的等比中项,则数列的前10项之和是
A.90B.100C.145D.190
己知数列{”“}的首项%=1,÷2n2-6n+3(n=2,3,-∙)
数列{b,J的通项公式””“+不:
(1)证明数列{,」是等比数列.
41(2)求数列出“}的前1】项和5,「
42.如图,在三棱锥A-BCD中,ABJL平面BCD,BCJ^BD,BC=3,
BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45。点E,F分别是AC,AD
的中点.
(1)求证:EF//平面BCD;
(2)求三棱锥A-BCD的体积.
43.已知a为实数,函数f(x)=(χ2+l)(x+a).若f(-l)=0,
求函数:y=f(x)在[-3/2,1]上的最大值和最小值。
44.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著
名品牌”A系列进行市场销售量调研,通过对该品牌的A系列一个阶段
的调研得知,发现A系列每日的销售量f(x)(单位:千克)与销售价格
x(元/千克)近似满足关系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4VχV7,a为常’
数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出A系列15千克.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若A系列的成本为4元/千克,试确定销售价格X的值,使该商场每
日销售A系列所获得的利润最大.
45.已知等差数列{atl}的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.
(1)求数列{a∕的通项公式;
(2)若数列{a11}的前k项和Sk=72,求k的值.
六、单选题(0题)
46.已知向量a=(sinθ,-2),6=(1,cosθ),且a_l_b,则tan。的值为()
A.2B.-2C.1/2D.-1/2
参考答案
LB
独立事件的概率.同时掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果:(正,
正),(正,反),(反,正),(反,反)共4种结果,至少有一
枚出现正面的结果有3种,所求的概率是3/4
2.C
圆与圆相切的性质.圆C]的圆心C∣(0,0),半径rι=l,圆C2的方程可化
为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心Cz(3,4),
半径于N'25-m.从而Iag∣=√3Γ÷42
=5由两圆外切得ICC2∣=r∣+L.即1+
√25-m=5,解得m=9,故选C.
3.D
4.B
椭圆的定义.a?=1,b2=l∕"6i'=vzrzτ*l*≡β2c=2.
5.B
6.B
7.C
cos(3π∕2+x)=cos(π∕2-x)=sinx,所以选项C表示同一函数。
8.C
等差数歹U的定义a+a7=a32d+a3+4d=2a3+2d,2a3+2d=-2,d=-3∙
9.D
平面向量的线性运算.AB=(-1-1/-(-1)=(-2,2).
10.A
平面向量的线性计算.因为a=(2,4),b=(-l,1),所以2a-b=(2χ2-(-l),
2×4-1)=(5,7).
ɪl.n2,
1+3+5+...+(2^T)共有几项
.∖1+3+5+∙.∙+(2τι—1)
=∙i×[l÷(2n—l)]×n
1C
2τι×n
=n2.
12.1.三角函数最值.因f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-
cosxsinφ=sin(x-φ)≤l,故函数f(x尸=Sin(X+φ)-2sinφcosx的最大值为1.
13.-3
由于COS(X+π∕6)的最小值为-1,所以函数f(x)的最小值为-3.
14.16.将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问
题.设矩形的长为Xm,则宽为:16-2x∕2=8-x(m).∙,S矩形=x(8-x)=-
×2+8X=-(x-4)2+16<16.
15.①③④
16.25
程序框图的运算.经过第一次循环得到的结果为S=l,n=3,过第二次循
环得到的结果为S=4,72=5,经过第三次循环得到的结果为S=9,n=7,经
过第四次循环得到的结果为s=16,n=9经过第五次循环得到的结果为
s=25,n=ll,此时不满足判断框中的条件输出S的值为25.故答案为
25.
17.2/3
两直线的位置关系.由题意得-2∕ax(2a-l)=-l,解得a=2∕3
18.1,
解法一:由/(æ)=---,得
c+2
解法二:由一--=-,解得C=L
l+23
19.23平面向量的线性运算.由题意,得AXb=O.所以x+2(x+l)=0.所以
x=-2∕3.
20.5
21.解:⑴设所求直线I的方程为:2x-y+c=O
;直线1过点(3,2)
6-2+C=O
即C=-4
.∙.所求直线I的方程为:2x-y-4=0
(2):当X=O时,y=-4
.∙.直线I在y轴上的截距为-4
22.解:
实半轴长为4
∕∙a=4
e=c∕a=3∕2,.∖c=6
Λa2=16,b2=c2-a2=20
«1
£上
双曲线方程为16M
23.
解:(1)利用捆绑法
先内部排:语文书、数学书、英语书排法分别为/?、4、W
再把语文书、数学书、英语书看成三类,排法为
排法为:WH=103680
(2)利用插空法
全排列:4*2
,
语文书3本,数学书4本排法为:A1
插空:英语书需要8个空中5个:4
英语书不挨着排的概率:P=4浮=工
/99
24.
解:⑴由题意可知:——>0,解得:-l<x<l,
1+x
.∙.函数/(X)的定义域为Xe(T,1)
(2)函数/(χ)是奇函数,理由如下:
//\11—(一χ)1i+χ1I-X√∙∕ʌ
/(-X)=Iog—=Iog--=-Iog--=-/(X),
a1+(-x)a1-xu1+x
函数/(x)为奇函数
25.
解:设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3
HlOC
Λ--------=3
b
Λb+10=3b,b=5
所以四个数为S5,15,45.
26.
2
解:(1〉lkSB=-2W-n,al≈Sl=-3
aFJ=SR-SW-1,-l-4n(n⅛2)
.∙.an=[-4n(n》I)
(2)伍才是氏=-3,4=-4,三位等龙数列
.∙.数列是首项〃L-3,d--8项数是13项的等差数列
则数歹U=13x(-3)+四2χ(-8)=-663
27.分析:本题考查面面垂直的证明,考查二面角的正切值的求法。
(1)推导出CD_LAB,AB±AC,由此能证明平面ABDJ_平面
ACD0
(2)取Be中点0,以O为原点,过O作CD的平行线为X轴,OC
为y轴,OA为Z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
A-BD-C的正切值。
解答:
证明:(I);面ABCj_底面BCD,ZBCD=90o,面ABCrl面
BCD=BC,X
.∙.CDJL平面ABC,ΛCD±AB,
VZBAC=90o,ΛAB±AC,
VAC∩CD=C,
.∙.平面ABD_L平面ACDo
解:(H)取BC中点0,二面ABCL底面BCD,NBAC=90。,
AB=AC,
ΛAO±BC,,AO_L平面BDC,
以O为原点,过O作CD的平行线为X轴,OC为y轴,OA为Z轴,
建立空间直角坐标系,
A(0,0,√2α),B(0,-√2α,0),D,√2a,0),
O
AB=(0,-√2α,-√2α),启=√2α,-√2a),
O
设平面ABD的法向量盛=(x,y,z),
∙AB=-y∕2ay—∖∕2az=OTT
则_+L,取y=1,得九=(-√δ,1,-1),
7
ri∙AD—八H+∖∕2ay—∖∕2az=O
平面BDC的法向量有=(00,1),
设二面角A-BD-C的平面角为仇
C∖m∙^n∖1/I2χ∕7CL
5!kose=ʒ--------=——,sinθ=/1—(——)=——,tanθ=√7.
∣m∣∙∣n∣2√24V2√^2√2
.∙.二面角A-BD-C的正切值为0.
y3≈4x
28.由已知得Iy=3x+阴
整理得(2x+m)2=4x
gp4xa+4(w-l)x+ma=0
m2
.¾+⅞=-(w-l).X⅞=-
..14
再根据两点间距离公式得
a
\AB\-Jl+2'y∣(xl+x)-4X1X3=石y{↑-2m=275
3
2
29.
M=a+2b=(L2)+(x,1)=(2x,14)V=(2-x,3)
μ∕∕v
1
X=—-
.∙.(2x+1.4)=(2-x,3)得2
α≡4-3
,c=∂÷3
30.由已知得:松+尸=《+6)
Λ=4
<⅛=7
由上可解得L=1°
31.
y2=4x
由已知得d'ɪ
y—3x
整理得(2x+b)a=4x
即4√+4(b-l)x÷Jb2=0
从
,X∣+XL(b—1),x∣Xv=—
4
再根据两点间距离公式得
22
IABI=Vl÷2&71+x2)-4xlx2=不∙√1-2b-2\5
h=~-
2
32.
原式=(3)-2+(b3+3χ(1y+l=3χ2-2+1+l=]
243939
33.证明:作SO,BC,垂足为0,连接AO
:侧面SB_L底面ABCD
ΛSO_L底面ABCD
VSA=SBΛOA=OB
又∙.∙ABC=45O.∙.AOB是等腰直角三角形
则OA±OB得SA±BC
、X,rzX*,1X,帘X、、,Xn、
7(X)=SIn-+√3cos-=2(—sin—H------cos—)=2sɪn(—H--)
34.(1)22222223
T=早=4『/(工)最小值=-2∕(x)最大值=2
2
/(x)=2sɪn(—+—)
(2)22,
,g(x)=∕(ɪ+y)=2sm(→∙^)=2cof
-X
g(-x)=2cos—=2cos∙ɪ=g(x)
又22
•••函数是偶函数
35.
3x-4>0
解,由题意褥,,_工_4>0
3X-4<X2-X-4
X>4
36.
⑴解…4=袈》4《.
(H)解:由图易知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍,
.∙.第〃个图形中剩下的三角形个数为37.
又;后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的1倍,
2
・•・第〃个图形中每个剩下的三角形边长是4广ɪ,面积是当C)..
•,+ML
设第〃个图形中所有剩下的小三角形周长为由图可知,cπ-h=3.
因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的1倍,
2
..第”个图形中每个剩下的三角形边长是(1)7,周长是3(∙1Γi∙
22
・.。〃=3(;广>从而2=cfr-3=3(j尸-3.
37.C
38.
(1)解,由题设条件知•点M的坐标为
,;川,乂h,a=拿,从而;=今进而a—
oOIOZaIO
底b∙c=Jd'—M=2b、故c=——
u5
(2)证:由N是.AC的中点知,点N的坐标为(;.
ft〃U,
—5")♦可得NM==(^>∙τ).又Ab=ɪ(一α∙6)∙从
N66
BlWAB∙MN∙"-α-I⅜6,-⅛<5∂,-aj,).
666
由(I)的计算结果nJ知a'-5".所以而•诉
=0,故MN_AB.
39.⑴要使函数f(x)=log21+x/l-x有意义,则须l+x∕l-x>0解得-IVXV
1,所以f(x)的定义域为{x∣-l<x<I}∙
(2)因为f(x)的定义域为{x∣-l<x<l},且f(-x)=log2(l+x∕l-x)"=-bg
2l+x∕l-x=-f(x).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
(3)设-IVXlVX2V1,则f(x1)-f(x2)=l0g1+x1∕l+x2=log(l+x1)(l-x2)f(l-
鼠FeIoV<1VZA<1<1-ɪ.
1♦1-■
≤1∙JWUQVTT^-VIQVτ∙,-V1∙9。V
I-JTi
ST-4∙L■■<1■UIog<——•------->
I⅛I-jr»f1÷I-jr∣
<∙.B/(>l)</Cjl>∙WU/(r)a*
Xl)(l+x2)v-l<x1<x2<l`w
40.B
41.
⑴依题意得:
圆C的圆心坐标为C(LO)
半径厂=Vs2-1=2V2
.∙.圆r的方程为:
22
(X-1)+J=8
在椭圆D中,焦点在工轴上,
b=4,C=3
.∙.a=yjh2+C2=√42+32=V25=5
.∙.椭圆。的方程为:
X2y2
--H----=1
2516
(2)由⑴可知椭圆〃的方程为:+=1
则yj=16
25
在椭圆〃上任取一点〃(-v.y)
则圆C的圆心C(LO)到〃点的距离为
"=Jc-1):=^(λ-I)^I16-^^-
=炉舒用N序考"
.∙.圆C的圆心与椭圆D上任意一点的距离大于圆C的半径.
42.
(1)【证明】E、F分别为AC.AD中点:.EF
//CDVCDU平面BCD.EFU平面BCD,
:.EF〃平面BCD.
(2)【胡】直线AD与平面BCD的夹角为45.又
V枉4ABD中∙ABɪBD,ΛZBDA=ZBAD
—45°,AB≡BD=4♦又,∙*S=3×4×ɪ=
Le
6・∕∙VABrD≡6X4X~β8.
ð
43.
∙.∙/*(—1)=Of.∙.3—2α+1==Otβ∣Ja—
2.Λ∕,Cz)=3X2÷4τ+l=3(x+-ɪ-)(ʃ+!).
ð
由/(工)>0.得《V-I或工>一3由/(r)V
0,得一∙l<∙rVT因此,函数八件
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