2023年黑龙江省绥化市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年黑龙江省绥化市普通高校对口单招

数学自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是O

A.1B.3/4C.1/2D.1/4

2.若圆Cκx2+y2=l与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=（）

A.21B.19C.9D.-11

3设*合∕={L3∙5}.8={3.6∙9}.!iU8h

A.0

B∙{3}

C.{1,5,6,9）

D.{1,3,5,6,9}

4.椭圆χ2∕2+y2=l的焦距为（）

A.1

B.2

C.3

5不等式M-2x<0的解集为

(-∞,0)∪(2,+∞)

A.

B.(0,2)

C10'21

D.R

6.若不等式χ2+χ+cV0的解集是｛x卜4VχV3｝,则C的值等于O

A.12B.-12C.11D.-11

7.下列四组函数中表示同一函数的是()

B.y=21nx与y=lnx2

3π

..-----------FX

C.y=sιnx与y=cos(2)

D.y=cos(2π-x)与y=sin(π-x)

8.已知｛all｝是等差数列，aι+a7=-2,a3=2,则｛a11｝的公差d=()

A.-lB.-2C.-3D.-4

9.已知点A(I,-1)，B(-L1),则向量3•为()

A.(l,-l)B.(-l,l)C.(0,0)D.(-2,2)

10.已知向量a=(2,4),b=(-l,1),则2a-b=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

二、填空题(10题)

11.1+3+5+...+(2n-b)=.

12.函数Rx)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为,

函数f(x)=3cos(x+工)的最小值是______=

13.6

14.有一长为16m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积

是m2.

15.

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数Φ(x)组成

的集合：对于函数Φ(x),存在一个正数M,使得函数Φ(x)的值域包含于区间[-M,

Ξ

M].例如，当Φ:(x)=X,Φ2(X)=SinX时，Φi(x)∈A,Φ∑(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A"的充要条件是"∀b∈R,3a∈D,f(a)

—b",

②函嬴f(x)EB的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)∈A,g(X)∈B,则f(x)+g(x)≡B.

④若函数f(x)=aln(x+2)+-ɪ-(x>-2,a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

xz+l

其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)

16.如图是一个算法流程图，则输出S的值是

rɪte

17.在平面直角坐标系xθy中，直线2x+ay-l=0和直线(2a-l)x-y+l=0

互相垂直，则实数a的值是

18.若函数询=£.财令

19.设向量a=(x,x+l),b=(l,2),且aJ_b,则X=.

某田径队有里运动员3。人，女运动员10人.用分层抽样的方

法从中抽出一个各里为20的样本，则抽出的女运动员有

20.人•

三、计算题(5题)

21.己知直线1与直线y=2x+5平行，且直线1过点(3,2).

(1)求直线1的方程；

(2)求直线1在y轴上的截距.

22.求焦点X轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

23.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这

些书随机排在书架上.

(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？

(2)求英语书不挨着排的概率P。

己知函f(x)=Ioga-------，(a>0且a≠)

24.l+x

(1)求函数f(χ)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

25.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10,后三个数成等比数

列，公比为3,求这四个数.

四、简答题(10题)

26.已知等差数列&;的前n项和是&=一窃求:

(1)通项公式4

(2)a∣+a3+a5+...+a25的值

27.点A是BCD所在平面外的一点，且AB=AC,BAC=BCD=90。,

BDC=60o,平面ABC_L平面BCD。

(1)求证平面ABD，平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

28.设抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交A,B于两点，弦AB长2、后,

求b的值

29.已知向量a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∕∕v;求

实数X。

30.三个数a,b,c成等差数列，公差为3,又a,b+l,c+6成等比数

列，求a,b,Co

31.已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交与A,B两点，弦长为2指,

求b的值。

oɔ^(∣)-a+(0.25)5-7(^+H3∣x(l)U(√2+3)0

JZ.1T舁N4/

33.四棱锥S-ABCD中，底面ABOD为平行四边形，侧面SBC_L底面

ABCD

(1)证明：SA.1BC

/(x)=sm—+ʌ/ɜeos-

34.已知函数2

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值

g(x)=/(x+-)

(2)令3判断函数g(X)的奇偶性，并说明理由

35.已知函数：”“，求X的取值范围。

五、解答题（10题）

36.

已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去

掉中间的一个小三角形，得到图2,再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3,

重复这种操作可以得到一系列图形.记第"个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为“，

所以去掉的三角形的周长之和为4.

-AAAA

（II）试求（，b„.L_____∖/V∖AAAAʌʌʌʌ

图1图2图3图4

37.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽

取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学

段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面

的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）.

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样

38.设椭圆χ2∕a2+y2∕b2的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为（a,

0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上，满足IBMI=2∣MAl直线

OM的斜率为I.

（1）求E的离心率e

（2）设点C的坐标为（0,-b）,N为线段AC的中点，证明：MNLAB

39.已知函数f(x)=Iogil+x∕l-x.

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

⑶用定义讨论f(x)的单调性.

40.

等差数列｛4｝的公差不为零，首项4=1,能是q和小的等比中项，则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

己知数列｛”“｝的首项％=1,÷2n2-6n+3(n=2,3,-∙)

数列｛b,J的通项公式””“+不：

(1)证明数列｛，」是等比数列.

41(2)求数列出“｝的前1】项和5,「

42.如图，在三棱锥A-BCD中，ABJL平面BCD,BCJ^BD,BC=3,

BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45。点E,F分别是AC,AD

的中点.

(1)求证:EF//平面BCD;

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

43.已知a为实数，函数f(x)=(χ2+l)(x+a).若f(-l)=0,

求函数：y=f(x)在［-3/2,1］上的最大值和最小值。

44.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著

名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的A系列一个阶段

的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格

x(元/千克)近似满足关系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4VχV7,a为常’

数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格X的值，使该商场每

日销售A系列所获得的利润最大.

45.已知等差数列｛atl｝的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.

(1)求数列｛a∕的通项公式；

(2)若数列｛a11｝的前k项和Sk=72,求k的值.

六、单选题(0题)

46.已知向量a=(sinθ,-2),6=(1,cosθ),且a_l_b,则tan。的值为()

A.2B.-2C.1/2D.-1/2

参考答案

LB

独立事件的概率.同时掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果：(正，

正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4种结果，至少有一

枚出现正面的结果有3种，所求的概率是3/4

2.C

圆与圆相切的性质.圆C］的圆心C∣(0,0),半径rι=l,圆C2的方程可化

为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心Cz(3,4),

半径于N'25-m.从而Iag∣=√3Γ÷42

=5由两圆外切得ICC2∣=r∣+L.即1+

√25-m=5,解得m=9,故选C.

3.D

4.B

椭圆的定义.a?=1,b2=l∕"6i'=vzrzτ*l*≡β2c=2.

5.B

6.B

7.C

cos(3π∕2+x)=cos(π∕2-x)=sinx,所以选项C表示同一函数。

8.C

等差数歹U的定义a+a7=a32d+a3+4d=2a3+2d,2a3+2d=-2,d=-3∙

9.D

平面向量的线性运算.AB=(-1-1/-(-1)=(-2,2).

10.A

平面向量的线性计算.因为a=(2,4),b=(-l,1),所以2a-b=(2χ2-(-l),

2×4-1)=(5,7).

ɪl.n2,

1+3+5+...+(2^T)共有几项

.∖1+3+5+∙.∙+(2τι—1)

=∙i×[l÷(2n—l)]×n

1C

2τι×n

=n2.

12.1.三角函数最值.因f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-

cosxsinφ=sin(x-φ)≤l,故函数f(x尸=Sin(X+φ)-2sinφcosx的最大值为1.

13.-3

由于COS(X+π∕6)的最小值为-1,所以函数f(x)的最小值为-3.

14.16.将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问

题.设矩形的长为Xm,则宽为：16-2x∕2=8-x(m).∙,S矩形=x(8-x)=-

×2+8X=-(x-4)2+16<16.

15.①③④

16.25

程序框图的运算.经过第一次循环得到的结果为S=l,n=3,过第二次循

环得到的结果为S=4,72=5,经过第三次循环得到的结果为S=9,n=7,经

过第四次循环得到的结果为s=16,n=9经过第五次循环得到的结果为

s=25,n=ll,此时不满足判断框中的条件输出S的值为25.故答案为

25.

17.2/3

两直线的位置关系.由题意得-2∕ax(2a-l)=-l,解得a=2∕3

18.1,

解法一：由/(æ)=---，得

c+2

解法二：由一--=-,解得C=L

l+23

19.23平面向量的线性运算.由题意，得AXb=O.所以x+2(x+l)=0.所以

x=-2∕3.

20.5

21.解：⑴设所求直线I的方程为：2x-y+c=O

；直线1过点(3,2)

6-2+C=O

即C=-4

.∙.所求直线I的方程为:2x-y-4=0

(2)：当X=O时，y=-4

.∙.直线I在y轴上的截距为-4

22.解：

实半轴长为4

∕∙a=4

e=c∕a=3∕2,.∖c=6

Λa2=16,b2=c2-a2=20

«1

£上

双曲线方程为16M

23.

解：(1)利用捆绑法

先内部排：语文书、数学书、英语书排法分别为/?、4、W

再把语文书、数学书、英语书看成三类，排法为

排法为：WH=103680

(2)利用插空法

全排列：4*2

,

语文书3本，数学书4本排法为：A1

插空：英语书需要8个空中5个：4

英语书不挨着排的概率：P=4浮=工

/99

24.

解：⑴由题意可知：——>0,解得：-l<x<l,

1+x

.∙.函数/(X)的定义域为Xe(T,1)

(2)函数/(χ)是奇函数，理由如下:

//\11—(一χ)1i+χ1I-X√∙∕ʌ

/(-X)=Iog—=Iog--=-Iog--=-/(X)，

a1+(-x)a1-xu1+x

函数/(x)为奇函数

25.

解：设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3

HlOC

Λ--------=3

b

Λb+10=3b,b=5

所以四个数为S5,15,45.

26.

2

解：(1〉lkSB=-2W-n,al≈Sl=-3

aFJ=SR-SW-1,-l-4n(n⅛2)

.∙.an=[-4n(n》I)

(2)伍才是氏=-3,4=-4,三位等龙数列

.∙.数列是首项〃L-3,d--8项数是13项的等差数列

则数歹U=13x(-3)+四2χ(-8)=-663

27.分析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推导出CD_LAB,AB±AC,由此能证明平面ABDJ_平面

ACD0

（2）取Be中点0,以O为原点，过O作CD的平行线为X轴，OC

为y轴，OA为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

证明：（I）；面ABCj_底面BCD,ZBCD=90o,面ABCrl面

BCD=BC,X

.∙.CDJL平面ABC,ΛCD±AB,

VZBAC=90o,ΛAB±AC,

VAC∩CD=C,

.∙.平面ABD_L平面ACDo

解：（H）取BC中点0,二面ABCL底面BCD,NBAC=90。，

AB=AC,

ΛAO±BC,，AO_L平面BDC,

以O为原点，过O作CD的平行线为X轴，OC为y轴，OA为Z轴,

建立空间直角坐标系，

A(0,0,√2α),B(0,-√2α,0),D,√2a,0),

O

AB=(0,-√2α,-√2α),启=√2α,-√2a),

O

设平面ABD的法向量盛=(x,y,z),

∙AB=-y∕2ay—∖∕2az=OTT

则_+L,取y=1,得九=(-√δ,1,-1),

7

ri∙AD—八H+∖∕2ay—∖∕2az=O

平面BDC的法向量有=(00,1),

设二面角A-BD-C的平面角为仇

C∖m∙^n∖1/I2χ∕7CL

5!kose=ʒ--------=——,sinθ=/1—(——)=——,tanθ=√7.

∣m∣∙∣n∣2√24V2√^2√2

.∙.二面角A-BD-C的正切值为0.

y3≈4x

28.由已知得Iy=3x+阴

整理得(2x+m)2=4x

gp4xa+4(w-l)x+ma=0

m2

.¾+⅞=-(w-l).X⅞=-

..14

再根据两点间距离公式得

a

\AB\-Jl+2'y∣(xl+x)-4X1X3=石y{↑-2m=275

3

2

29.

M=a+2b=(L2)+(x,1)=(2x,14)V=(2-x,3)

μ∕∕v

1

X=—-

.∙.(2x+1.4)=(2-x,3)得2

α≡4-3

，c=∂÷3

30.由已知得：松+尸=《+6)

Λ=4

<⅛=7

由上可解得L=1°

31.

y2=4x

由已知得d'ɪ

y—3x

整理得(2x+b)a=4x

即4√+4(b-l)x÷Jb2=0

从

,X∣+XL(b—1),x∣Xv=—

4

再根据两点间距离公式得

22

IABI=Vl÷2&71+x2)-4xlx2=不∙√1-2b-2\5

h=~-

2

32.

原式=(3)-2+(b3+3χ(1y+l=3χ2-2+1+l=]

243939

33.证明：作SO,BC,垂足为0,连接AO

:侧面SB_L底面ABCD

ΛSO_L底面ABCD

VSA=SBΛOA=OB

又∙.∙ABC=45O.∙.AOB是等腰直角三角形

则OA±OB得SA±BC

、X,rzX*,1X,帘X、、,Xn、

7(X)=SIn-+√3cos-=2(—sin—H------cos—)=2sɪn(—H--)

34.(1)22222223

T=早=4『/(工)最小值=-2∕(x)最大值=2

2

/(x)=2sɪn(—+—)

(2)22,

,g(x)=∕(ɪ+y)=2sm(→∙^)=2cof

-X

g(-x)=2cos—=2cos∙ɪ=g(x)

又22

•••函数是偶函数

35.

3x-4>0

解，由题意褥，，_工_4>0

3X-4<X2-X-4

X>4

36.

⑴解…4=袈》4《.

（H）解：由图易知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍,

.∙.第〃个图形中剩下的三角形个数为37.

又；后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的1倍，

2

・•・第〃个图形中每个剩下的三角形边长是4广ɪ,面积是当C）..

•,+ML

设第〃个图形中所有剩下的小三角形周长为由图可知，cπ-h=3.

因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的1倍，

2

..第”个图形中每个剩下的三角形边长是（1）7,周长是3（∙1Γi∙

22

・.。〃=3(；广＞从而2=cfr-3=3(j尸-3.

37.C

38.

（1）解，由题设条件知•点M的坐标为

，；川，乂h,a=拿，从而;=今进而a—

oOIOZaIO

底b∙c=Jd'—M=2b、故c=——

u5

（2）证：由N是.AC的中点知，点N的坐标为（；.

ft〃U,

—5"）♦可得NM==（^>∙τ）.又Ab=ɪ（一α∙6）∙从

N66

BlWAB∙MN∙"-α-I⅜6,-⅛<5∂,-aj,）.

666

由（I）的计算结果nJ知a'-5".所以而•诉

=0,故MN_AB.

39.⑴要使函数f(x)=log21+x/l-x有意义，则须l+x∕l-x>0解得-IVXV

1,所以f(x)的定义域为{x∣-l<x<I}∙

(2)因为f(x)的定义域为{x∣-l<x<l},且f(-x)=log2(l+x∕l-x)"=-bg

2l+x∕l-x=-f(x).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.

(3)设-IVXlVX2V1,则f(x1)-f(x2)=l0g1+x1∕l+x2=log(l+x1)(l-x2)f(l-

鼠FeIoV<1VZA<1<1-ɪ.

1♦1-■

≤1∙JWUQVTT^-VIQVτ∙,-V1∙9。V

I-JTi

ST-4∙L■■<1■UIog<——•------->

I⅛I-jr»f1÷I-jr∣

<∙.B/(>l)</Cjl>∙WU/(r)a*

Xl)(l+x2)v-l<x1<x2<l`w

40.B

41.

⑴依题意得：

圆C的圆心坐标为C(LO)

半径厂=Vs2-1=2V2

.∙.圆r的方程为：

22

(X-1)+J=8

在椭圆D中，焦点在工轴上，

b=4,C=3

.∙.a=yjh2+C2=√42+32=V25=5

.∙.椭圆。的方程为：

X2y2

--H----=1

2516

(2)由⑴可知椭圆〃的方程为：+=1

则yj=16

25

在椭圆〃上任取一点〃(-v.y)

则圆C的圆心C(LO)到〃点的距离为

"=Jc-1)：=^(λ-I)^I16-^^-

=炉舒用N序考"

.∙.圆C的圆心与椭圆D上任意一点的距离大于圆C的半径.

42.

（1）【证明】E、F分别为AC.AD中点：.EF

//CDVCDU平面BCD.EFU平面BCD,

：.EF〃平面BCD.

（2）【胡】直线AD与平面BCD的夹角为45.又

V枉4ABD中∙ABɪBD,ΛZBDA=ZBAD

—45°,AB≡BD=4♦又,∙*S=3×4×ɪ=

Le

6・∕∙VABrD≡6X4X~β8.

ð

43.

∙.∙/*(—1)=Of.∙.3—2α+1==Otβ∣Ja—

2.Λ∕,Cz)=3X2÷4τ+l=3(x+-ɪ-)(ʃ+!).

ð

由/(工)>0.得《V-I或工>一3由/(r)V

0,得一∙l<∙rVT因此，函数八件