2024届福建部分地市校第一次质检数学试题答案

福建省部分地市校2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C2．B3．D4．C5．A6．D7．A8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9．ABC10．BCD11．BD12．AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。354,13．-814．15．16．323四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）222（1）由余弦定理知cab2abcos3，······1分方法1：cababab3abab所以c1ab·······3分34211，当ab时取等，此时ABC为正三角形.·········4分221故c的最小值为2.·······5分方法2：cababa1aa1a1113a3a13a244所以c11，当a时取等.221故c的最小值为2.（2）方法1：因为ABC2.·····1分322A23cosAcosAcos所以原式23····3分·13cosAcosAsinAcosA····4分·2231313····5分cosAsinAcosAsinA0·2222第1页（共8页）方法2：因为ABC原式coscos2，3ABABABABABcoscos22222ABABABABABABABABABcossinsincoscossinsincos2222222222cos2coscosABABABcoscos2223cosABABcos22ABABcos022AB0.2综上所述：cosAcosBcos（12分）18．（1）因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD，因为平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，ABAD，所以AB平面ADEF，·····1分又因为AF平面ADEF，所以ABAF，连接AC，则AC22，·····2分在△ACF中，AF2AC222(22)2(23)2CF2，所以AFAC，因为AFAC，ABAF，AB,AC平面ABCD，且ABACA，从而AF平面ABCD，又AD平面ABCD，·····3分所以AFAD，因为ABAD，AFAD，AB,AF平面BAF，且ABAFA，所以AD平面BAF，·····4分又AN平面BAF，所以ADAN，又因为AD∥BC，所以BCAN，又N是BF中点，AFAB，所以ANBF，·····5分第2页（共8页）因为ANBF，BCAN，BF,BC平面BCEF，且BFBCB，所以AN平面BCEF，又因为CM平面BCEF，所以ANCM．·····6分（2）由（1）知，AF平面ABCD，且ABAD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，·····1分则A0,0,0、B2,0,0、D0,2,0、E0,1,2，则BE(2,1,2)，AB(2,0,0)，AE(0,1,2)，2EFME1424由BCMEFM得，，所以BMBE(,,)，····3分BCBM23333244224M,,MD,,，所以····4分，3333332x0nAB0设面ABE的法向量为nx,y,z，由得，，取y2，则y2z0nAE0n0,2,1，····5分设直线MD和平面ABE所成角为，第3页（共8页）sincosMD,n则842533，····6分5416161499925．5所以直线MD和平面ABE所成角的正弦值为（12分）19．（1）当n1时，2aS2aa2，所以a2，····1分n2时，2aS2①，2aS2②，····3分①-②得2an2an1SnSn10，即2an2an1an0，an2an1，····4分所以an是以首项为2，公比为2的等比数列，所以a2，····5分所以blog2alog22log2n1；····6分（2）T2Tbbb1，即T23n····1分③，aaa22223n1④，····3分122n111111n122④-③，得T22222112132n1n12nn1n3····5分3n，n22n31因为0，n0，所以T3.····6分22（12分）20．（1）fxabaxb，x0，a0，xx当b0时，f¢(x)>0，fx在区间0,上单调递增；b当b0，且x0,时，fx0，fx单调递减；a第4页（共8页）b当x,时，f¢(x)>0，fx单调递增.a综上，当b0时，fx在区间0,上单调递增；bb当b0时，fx在区间0,上单调递减，在区间,上单调递增.aa2（2）当ab1时，gxxfxxxlnxx，x0，故gx2xlnx2.令hx2xlnx2，x0，所以hx2x1，x1当x0,时，hx0，hx单调递减；21当x,时，hx0，hx单调递增.211又h10，hln210，h22e11故x02,，使得hx00.e2220，e当x0,x0时，hx0，gx0，gx单调递增；当xx0,1时，hx0，gx0，gx单调递减；当x1,时，hx0，gx0，gx单调递增，故gx存在极小值点，且极小值点为x1.（12分）21．（1）x304050607050，5152435y87，又xi(i1,2,3,,5)的方差为xix200，5i15ˆ所以bxxyyxy5xyi1ii55i15xix2i1ii520022820550871.07，1000ˆ871.075033.5，故yˆ1.07x33.5，当x100时，y140.5，ˆybxa故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：第5页（共8页）2nadbc2abcdacbd2202513035301655560160211012.22，9因为12.2210.828，所以依据0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关22.（12分）92pt9p5，（1）设Mt,3，由题意可得p，即2p2t52解得p1或p9（舍去），所以抛物线C的方程为y22x.（2）如图，设经过Ax,y，Bx,y两点的直线方程为l：xmy1（mR），与抛物线方程y22x联立可得y2my2，即y2my20，4m80∴yy2m，y1y22.∵y22x，则y2x，∴y12x1，yy11xxyx，yy2∴过点A作C的切线l方程为y2yy1令y0，得x，即P,0.22同理，过点B作C的切线l2方程为yy1x，y2y22y,0.令y0，得x，即Q22第6页（共8页）2y2y12∴PQ.22y联立两直线方程yy1x1y12y1y2x12，解得，即D1,m，y21yy2y1xmy2221mm1m12则D到直线l的距离dDABm22m12.又∵过点A作直线l3垂直于l，直线l3的方程为yyxxyyyx2y12y1R1,0令y0，得x，即1.22yy，2y同理，直线l4的方程为yyxy，2y22y1,0.令y0，得x1，即S22y22y12∴RS.22yy1x联立两直线方程yyx2y12y22y1y2y13x1y122，解得，yyyyy232y121y222x2m22整理后可得，即E2m2,2m，y2m则E到直线l的距离d2m2m2m1m11m1.11y22y121m2