数学人教A版高中必修二（2019新编）6-12正弦定理（学案）

第12讲正弦定理目标导航目标导航课程标准课标解读1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.通过本节课的学习，要求能利用正弦定理解决与三角形边、角、周长、面积等问题，能结合余弦定理及三角函数的相关知识解决与三角函数有关的综合问题.知识精讲知识精讲知识点正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.公式：在任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，这就是正弦定理.【微点拨】正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2.正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.3.三角形面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.【即学即练1】在△ABC中，若，则C的值为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【解析】由正弦定理可将变形为.【即学即练2】在中，，，，则满足条件的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定【答案】C【分析】根据题意判断的大小关系，即可得出答案.【解析】因为，，，，所以，所以三角形有两个解，即满足条件的有2个.故选：C.【即学即练3】在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理可求，再利用正弦定理可求的值.【解析】由余弦定理得，即，得，由正弦定理得，故选：D.【即学即练4】如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【答案】D【解析】由已知，，由正弦定理得：.故选D【即学即练5】．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.【答案】5【分析】利用正弦定理，及三角形的面积公式即可求解.【解析】由正弦定理得：,,所以，所以.故答案为：；5；.【即学即练6】在中，，则的值为______．【答案】【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解.【解析】因为在中，，由正弦定理得，设，由余弦定理得，故答案为：【即学即练6】在中，若，，，则__________.【答案】【分析】根据。结合辅助角公式首先求出，然后结合正弦定理即可求出结果.【解析】因为，所以，即，又因为，所以，则由正弦定理得，即，所以，又因为，所以，故答案为：.【即学即练6】在中，若，，，则的外接圆半径长为__________.【答案】【解析】先根据余弦定理求解出的值，然后可求解出的值，结合正弦定理可求解出外接圆的半径.因为，，所以，设外接圆半径为，所以，所以，故答案为：.【即学即练6】如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为__海里．【答案】．【分析】先利用正弦定理求解AD的长，再利用余弦定理求出AB．【解析】由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，∠BDC=45°，在三角形ACD中，，∴AD＝，在直角三角形BCD中，BD＝，在三角形ABD中，AB＝．故答案为：．能力拓展能力拓展考法01正弦定理的证明：【典例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理．【证明】如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知，eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).，故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)..【典例2】如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：eq\f(a,sinA)＝2R.【证明】连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角A′＝A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R.考法02正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．【典例3】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(6) D．4【题点】已知两角及一边解三角形【答案】C【解析】易知A＝45°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(6).【典例4】在中，若，，，则___________.【答案】【分析】利用正弦定理求出，再由大角对大边，确定角的大小.【解析】在中，由正弦定理得，有，解得.又，所以，所以.故答案为：.【典例5】在中，(1)已知，，，求c，B；(2)已知，，，求a，C；(3)已知，，，求最小的内角.【答案】(1)，(2)，(3)30°【分析】（1）先用余弦定理求出c,进而用正弦定理求出B；（2）先用余弦定理求出a,进而用正弦定理求出B，进而求出C；（3）根据大边对大角，再结合余弦定理即可得到答案.【解析】(1)由余弦定理，，由正弦定理，，因为c>b，，所以.(2)由余弦定理，，由正弦定理，，因为b<a，，所以，所以.(3)由大边对大角可知，C最小，由余弦定理，，，即最小的内角为30°.【典例6】在△ABC中，已知c=，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作答.【详解】(1)当a=10时，因c=，A=45°，有a>c，则角C比角A小，角C是锐角，所以角C有一解；(2)当a=5时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则，所以角C有一解；(3)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则或，所以角C有两解；(4)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，无解，所以角C无解.【典例7】在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.【答案】见解析【分析】由条件利用余弦定理求得a的值，再根据正弦定理求得C的值，即可求A的值.试题解析：【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝＝＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.故C=60°，A=30°，a＝3或C＝60°，A＝90°，a＝6考法03与面积有关的问题求解：【典例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.【答案】【分析】先根据正弦定理求得的值，再由三角形面积公式即可求解.【解析】因为，由正弦定理化角为边可得：，所以的面积，故答案为：.【典例9】已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3∶2，则这个三角形的面积是___________.【答案】【解析】【分析】根据条件可设另两边长分别为，利用余弦定理求出即可计算三角形面积.【详解】依题意，设三角形另两边长分别为，由余弦定理得：，解得，于是得三角形面积，所以三角形的面积是.故答案为：【典例10】已知的内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求得则面积可求【详解】（1）由正弦定理得故；（2），由余弦定理，，解得因此，【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题.【典例11】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．【答案】【解析】【分析】由的面积，可求得，再利用余弦定理求出，然后利用正弦定理求出的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积【详解】因为，所以，由余弦定理得，所以，所以．所以的外接圆的面积为．故答案为：【典例12】若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.【答案】5【解析】【分析】利用三角形面积公式求得,然后根据外接圆半径，利用正弦定理求得.【详解】，，,,，故答案为：5.考法04正弦定理的综合应用：【典例13】满足条件，，的三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在【答案】B【解析】【分析】由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.【详解】在中，因为，，，由正弦定理，可得，因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.【典例14】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.【答案】为等腰三角形或直角三角形.【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角后再进行判断，可得三角形的形状．【详解】由正弦定理及得，所以因为，所以或所以或，所以为等腰三角形或直角三角形．【点睛】判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断．本题也可根据余弦定理，将角化为边后再进行判断，也可得到三角形的形状．【典例15】在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.【答案】,.【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理，求解角，再由正弦定理，求得，进而利用正弦定理，即可求解三角形外接圆的半径．【详解】∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝10∴R＝5.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形的应用，其中合理应用正弦定理是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．【即学即练7】在中，“”是“”的（）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】可以由反向推导得到A＞B﹒【详解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大边对大角的结论知．所以为充要条件．故选：A【即学即练8】已知点O是的外接圆的圆心，，则外接圆O的面积为___________.【答案】【解析】【分析】利用给定条件结合余弦定理求出边BC，再利用正弦定理求出圆O半径即可得解.【详解】在中，因，则由余弦定理得：，令的外接圆半径为，由正弦定理得：，解得，则，所以外接圆O的面积为.故答案为：分层提分分层提分题组A基础过关练1．在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接根据正弦定理求出．【详解】在中，∴．由正弦定理得，∴．故选A．【点睛】解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应用．同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解．2.在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，可得，可作出判断．【详解】∵在中，，∴由正弦定理可得，同除以可得∴一定是直角三角形，故选B．【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题．3.已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由三角形有两解的条件可得即求.【详解】设角A、B、C所对边为a、b、c，由三角形有两解的条件可得，，即，解得即边长的取值范围是.故选：A.4.已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】由正弦定理与大边对大角逐项判断即可求解【详解】对于A：由得：，所以，无解，A错误；对于B：由得：，所以，又，故，此时有一个解，B错误；对于C：由得：，所以，又，故，此时有两个解，C正确；对于D：由得：，所以，又，故，此时有一个解，D错误；故选：C5.在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知边角关系式，利用正弦定理把边化角，即可求出角A【详解】由正弦定理得，∵，∴，即，∴∵，∴.选B.【点睛】本题主要考察了正弦定理的应用——边角互化．利用化简已知边角关系即可.6.在中，若，则的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以为钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据面积可求得，然后根据余弦定理得到，再由正弦定理的变形可得所求的值．【详解】∵的面积为，，∴，∴．由余弦定理得，∴．由正弦定理得．故选A．【点睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查，成为命题的热点．在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如本题中所涉及的式子等．8.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】【详解】分析：由题意得，分和两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵，∴．①当时，为直角三角形，且．∵，，∴．∴．②当时，则有，由正弦定理得．由余弦定理得，即，解得．∴．综上可得的面积是或．故选D．【点睛】在判断三角形的形状时，对于形如的式子，当需要在等式的两边约去时，必须要考虑是否为0，否则会丢掉一种情况．9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为A． B． C． D．【答案】B【解析】由，平方可求，进而可求得；然后利用正弦定理可求出，根据三角形中大边对大角的原则可求出.【详解】由，两边平方可得：，即：又，，由正弦定理得：解得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出现增根.10.在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意可知，再根据正弦定理，可得，可得，由此即可求出角，进而求出结果.【详解】在中，所以，所以，由正弦定理可知，，又，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.11.对于，下列说法正确的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为直角三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则的面积为【答案】C【解析】【分析】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A，B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的正误；利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误.【详解】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B:，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D:，，，，又，或，或，或，故D错误.故选：C12.中，，，则此三角形的外接圆半径是（）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】在中，根据，，由余弦定理求得，再由平方关系得到，然后由正弦定理求解.【详解】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圆半径是故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13.在三角形中，若三个内角的对边分别是，，，，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】在三角形中，根据，，，利用余弦定理求得边b,再利用正弦定理求解.【详解】在三角形中，，，，由余弦定理得：，，所以，由正弦定理得：，所以，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题.14．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用正弦定理将进行边化角，可得的值，再结合余弦定理和基本不等式即得．【详解】解析：由正弦定理得，∵,∴，，，由余弦定理得：，，当且仅当时取等号，此时．15.在中，角、、所对的边分别为、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】【分析】在角为锐角的前题下，判断ABD中的选项是否满足，可判断这三个选项中对应的是否有两解，直接判断C选项中对应的的解的个数.【详解】如下图所示：若角为锐角，且有两解，则.对于A选项，，，，，但，此时没有两解，A选项不满足条件；对于B选项，，，，，此时有两解，B选项满足条件；对于D选项，，，，，此时没有两解，D选项不满足条件；对于C选项，，，且，此时只有一解，C选项不满足条件.故选：B.【点睛】【点睛】在中，已知、、，三角形解的个数如下：（1）若为锐角：①，无解；②或，一解；③，两解；（2）若为直角或钝角：①，无解；②，一解.16.菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且，则线段AP的长为（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论.【详解】当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD＝AB，DP＝BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝ABcos30°＝3，BM＝ABsin30°＝3，∴PM，∴AP＝AM+PM＝4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点AP＝AM﹣PM＝2；当P与M重合时，PD＝PB＝3，与PB＝PD＝2矛盾，舍去.AP的长为4或2.故选：D.【点睛】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键.17.在解三角形中，已知、、，给出下列说法：①若，且，则此三角形不存在；②若，则此三角形最多有一解；③当，，则三角形不一定存在；④若，且，则此三角形为直角三角形，且；⑤当，且，则三角形有两解.其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】由已知的、、，根据正弦定理表示出，根据大边对大角和大角对大边与三角形的内角和定理即可判断①②③④；对于⑤，取一个特例时，，由为锐角，得到也为锐角，由此可得结论．【详解】解：根据正弦定理得：，对于①若，且，根据大边对大角有，与内角和定理矛盾，则此三角形不存在，故①对；②若，则为直角或钝角，则一定为锐角，即此三角形最多有一解，故②对；③当，，根据大边对大角有，与三角形的内角和定理矛盾，则三角形一定不存在，故③错；④若，且，则，则，故④对；⑤当时，，此三角形为等腰三角形，只有一解，当，且时，三角形不一定有两解，故⑤错；则其中正确说法的个数为3个．故选：C．题组B能力提升练1.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】用余弦定理和正弦定理化边为角求得，可求得的范围，然后把三角形面积表示为角的函数，由三角函数性质可得．【详解】∵，由余弦定理得，，由正弦定理得，即，又，，∴，∵，∴，三角形为锐角三角形，∴，，即，，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积，考查余弦定理、正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，正切函数的性质，所用公式较多，解题时需根据题意先用恰当的公式运算求解．本题属于中档题．2.在中，若，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．【详解】设三边所对的角分别为，由，则∴，正确；由余弦函数性质知，B正确；，，当为钝角时就有，C错误，；，，∴，D正确．故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，点D是边BC的中点，且AD＝，则△ABC的面积为（）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c的值进行求解即可．【详解】∵a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，∴2sinAsinB﹣sinAcosC＝sinCcosA，即2sinAsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴2sinA＝，即sinA＝，即A＝或∵点D是边BC的中点，∴，平方得，即＝(b2+c2+2bccosA)，即13＝1+c2+2ccosA，若A＝，则c2+c﹣12＝0得c＝3或c＝﹣4（舍），此时三角形的面积S＝bcsinA＝若A＝，则c2﹣c﹣12＝0得c＝4或c＝﹣3（舍），此时三角形的面积S＝bcsinA＝，综上三角形的面积为或，故选：D．【点睛】本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（）A．6+2 B．4+ C．+4 D．3+2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理角化边，求出边a，c的关系，再借助三角形面积定理计算即得.【详解】在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b，由余弦定理及a2=5c2+2accosB得：a2=5c2+，解得b=c，因此有a=2c，从而得cosB==-，则有sinB＝，于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2，所以△ABC的周长为a+b+c=6+2.故选：A5.（多选题）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据正弦定理和二倍角公式进行求解.【详解】∵∴由正弦定理得，∵∴，即∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.6.（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（）A．若，则该三角形有两解 B．若，则该三角形有两解C．周长有最大值12 D．面积有最小值【答案】BC【解析】【分析】根据、选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合角度大小进行判断；，选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．【详解】解：对于，由，得，由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，错误；对于，同理，由，可得，由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，正确；对于，由，得．故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为，此时三角形为等边三角形，故正确；对于，由推导过程知得，即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故错误，故选：．7.（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】不妨设，，，解得，，，对四个选项一一验证：由正弦定理可判断A；由为最大边，结合余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式验证可判断C；由正弦定理可判断D.【详解】不妨设，，，解得，，，根据正弦定理可知，选项A描述准确；由为最大边，故为最大角，，即为锐角，选项B描述不准确；由题意，为最小角，为最大角，，由，，可得，选项C描述准确；若，可得，外接圆半径为，选项D描述准确.故选：ACD.8.（多选题）下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，，则为等腰直角三角形D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【解析】【分析】运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可.【详解】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，所以，则，故选项正确．对于选项：在锐角三角形中，，即，故不等式恒成立，故选项正确．对于选项：在中，，由余弦定理可知：，因此有，即，因为，所以，因此，所以或，即，或（舍去），，所以，故C正确．对于选项：在中，若，，三角形面积所以，解得，所以，由正弦定理，故选项错误．故选：．9.在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理求出，即得解.【详解】由正弦定理得，所以,所以，所以或,因为此三角形有解，,所以.故答案为：10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个，则边a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，满足则或即可.【详解】由正弦定理，则，若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个，则或，即或，解得或，即实数a的取值范围是.故答案为：.11.在中，，则该三角形的形状是___________.【答案】直角三角形【解析】【分析】首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.【详解】因为，结合正弦定理得：，由余弦定理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，即，所以是直角三角形.故答案为：直角三角形.12.设G是的重心，且，则角B的大小为______.【答案】【解析】由三角形重心的性质可得出，由正弦定理的角化边公式化简得出，，再由余弦定理求出.【详解】∵，又是的重心，∴，观察比较得：，由正弦定理知：，则，，即得，∴故答案为：．【点睛】本题是向量与解三角形交汇问题，考查了向量的相关知识和正余弦定理，同时考查了考生观察、联想、类比、化归和推理运算求解能力，这体现了数学等价转化、直观想象等核心素养．C培优拔尖练1.在中，，若，求的值．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合正弦定理、同角的三角函数关系以及三角恒等变换，即可求解.【详解】根据题意，由正弦定理知，则，得，即，所以，又，于是，从而，，所以．2.已知向量，，满足，且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，求，．【答案】，【解析】【分析】首先根据得到三个向量首尾相接后，构成一个三角形.设，，，根据平面向量夹角概念得到，，，再利用正弦定理求解即可.【详解】因为，所以三个向量首尾相接后，构成一个三角形.设，，，如图所示：又因为与的夹角为135°，与的夹角为120°，所以，，，，所以，解得，.即：，.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题目条件，可以将中的换成，利用正余弦定理化简解决得a2﹣b2＝c2﹣bc，再根据余弦定理得出结论；（2）已知∠A，要求△ABC的面积，可用公式，因此把问题转化为求bc的最大值．【详解】（1）在△ABC的内角ABC的对边分别为且.整理得：（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc即：由于：0＜A＜π解得：A＝.（2）由于所以：a2＝b2+c2﹣2bccosA整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc当且仅当时，等式成立，所以：【点睛】本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求A；(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.(1)由及正弦