园林制图识图-投影知识

——点的投影投影的基本知识AaHB若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。(b)1、点的单面投影AaoXHVa’aVHa’ax两面投影规律：1、两投影连线垂直于投影轴；即：aa’⊥OX。2、点的一投影到投影轴的距离等于该空间点到另一投影面的距离。即a’ax=Aa；aax=Aa’。axXo2、点的两面投影WHVOXZY3、点的三面投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazaY向右翻向下翻不动投影面展开WVHaYaY●x●●azZaa

aaXYYO

a’aozYXHVWaxazayAa’aXoZYHYWa”a”三面投影规律：相邻两投影垂直相应投影轴；1）点的三面投影规律例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。XZYWYHOa

a

a例1求点A的第三面投影。OAaa

XYZa

xzyHVW2）点的三面投影与直角坐标的关系=yA到V面的距离（Aa）=xA到W面的距离（Aa）=zA到H面的距离（Aa）Oa"aywXYHYWZaa'axazayHxyza由点A的x、y值确定，a'由点A的x、Z确定，a"由点A的y、z值确定。OAaa

XYZa

xzyYwXOZYwaXHYHYaaaaaZa例2已知点A的坐标(20，10，20)，求Ａ的三面投影。沿轴准确量取X，Y，Z单位为mmYWYHzxoa例题3已知A（35，10，25），作出其三面投影图。10mm351025a

a

注:一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。YWYHzxoa

已知A三面投影图，则点A的坐标为（）。10mm351025a

a

注:一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。YVZOXVWHA左右上下前后4、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右关系。XOZYa

a

ab

b

bXZYWYHOa

a

ab

bb

BA▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上XOZYa

a

ab

b

bXZYWYHOa

a

ab

bb

▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上XZYWYHOa

a

ab

bb

▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上XOaˊaXVa"YYHYwHAaaˊa"OZWB

bb´b"Zb´bb"C

c"ccˊc"cˊc投影面上的点5、特殊点的投影XOXVYYHYwHZWDdˊd"dZdˊd"d投影轴上的点5、特殊点的投影VXYZa"c例题4已知A、C两点的投影图，判别各点的空间位置。aa'c'c"AX轴Y轴a'ac"c'yWyHzxa"A位于C位于C

()acc

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点6、重影点及其可见性XVZHAaaˊa"ZYWB(b)bˊb"aˊaa"(b)bˊb"A与B对H面重影由V投影判断高低不可见投影点的标记加括号a'b'a(b)c'(d')dca''c''b''d''重影点的可见性判断左遮右3、若两点的侧面投影重合，可从正投影或水平投影判别，x坐标值大的点为可见如（b''）（d''）。前遮后2、若两点的正面投影重合，可从水平投影判别其可见性，y坐标值大的点为可见（点C在前）。上遮下1、若两点的水平投影重合，可从正面投影判别其可见性，z坐标值大的点为可见（点A在上）。解：（1）量取坐标值；例5

已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作点的投影。bb"c'c"xyHywoa'a"z例6已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。ab'c点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。例7已知点D的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求点C的三面投影，并判别其投影的可见性。解：由已知条件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm因为点C、D在V面上的投影重影。cc'c"又因为YC>YD所以C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。d'YWYHOXZdd"()例8已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985ZYXObcaBAC例9已知A、B、C三点的投影图，判别各点的空间位置。空间H面V面c

a

b

abcyWyHzxA位于B位于C位于a

c

b

a

c

b

b

a

a

c

——线的投影投影的基本知识aa

a

b

b

b●●●●●●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。1）直线对一个投影面的投影特性1、直线的投影特性BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●2）直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置(1)投影面平行线正平线//Ｖ面水平线//Ｈ面侧平线//Ｗ面

平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：与H面的夹角:

与V面的角:β与W面的夹角:γ直线与投影面夹角的表示法：

水平线（//Ｈ面、倾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1、正面和侧面投影比实长短，a

b

OX;a

b

OYW2、ab=AB反映实长，倾斜于OX轴，反映

、

角。XZYO正平线（//Ｖ面、倾斜Ｈ和Ｗ面）aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和侧面投影比实长短，ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB反映实长,倾斜于OX轴，反映

、

角XZYOＨ面侧平线（//Ｗ面、倾斜Ｖ和）XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1、正面和水平投影比实长短，a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB反映实长,倾斜于OZ轴，反映

、

角(2)投影面垂直线侧垂线⊥Ｗ面

正垂线⊥Ｖ面铅垂线⊥Ｈ面

垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。垂直线分三种：OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、水平投影ab积聚成一点

2、

a

b//OZ;a

b

//

OZ；

a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB反映实长铅垂线（

Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB正垂线（

Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYba

b

a

b

a投影特性：1、正面投影a

b

积聚成一点。

2、ab//OY;a

b

//OY；ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=AB反映实长。ABzXa

b

b

aOYHYWa

b侧垂线（

Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、侧面投影a

b

积聚成一点

2、ab//OX

;a

b//

OX；ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=AB反映实长。ba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b从属于V面的直线ZXa

b

aOYHYWa

bb

OXZYABbb

a

b

aa

(3)其他特殊位置直线从属于V面的铅垂线OXZYABb

a(b)a

a

b

ZYWb

Xa

b

a(b)OYHa

2）直线在三个投影面中的投影特性从属于OX轴的直线ZXa

b

aOYHYWa(b)bOOXZYABbb

a(b)aa

2）直线在三个投影面中的投影特性ZXa

b

b

aOYHYWa

bXa

b

a

b

baOzYHYWXZa

b

b

baOYHYWa

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

Xa

b

a

b

baOZYHYWZYWb

Xa

b

a(b)OYHa

（4）

一般位置直线ZYaOXa

bb

a

Yb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性Haa

AbVBb

Wa

b

例：已知水平线AB端点投影a、a’，AB对V面的倾角β=45°，长25，B在A的右前方，求直线两面投影。

a

aXOb45°b

cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″2、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c●●aa

b

cb③c不在应用定比定理另一判断法?例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用第三投影）解法二：（应用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●试判断K点是否在直线EF上。feefkkXOYZVf

efe

efEFKkkk

XO直接判断b

Xa

abcc

例3已知线段AB的投影图，试将AB分成2：1两段，求分点C的投影。例题4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

bacc

accbXOABbb

aa

c

CcHV——线的投影投影的基本知识3、两直线的相对位置

1）两直线平行2）两直线相交3）两直线交叉两直线的相对位置a'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行两直线相交两直线交叉两直线XOV1）两直线平行

规则：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。abcdb

a

c

d

ABDCb

a

d

c

bacda

b

c

d

同向、同比例例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

2）两直线相交

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

dcaba'b'c'd'k'k例1：判断直线AB、CD的相对位置。相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一个点的投影特性。判断方法？⒈应用定比定理⒉利用侧面投影dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影图利用投影判两断直线是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'●cd

k

kd例2：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。3）两直线交叉accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′3、两直线的相对位置XOYZVf

efe

efCDdccdd

c

EFaa'bb'cc'dd'

交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。11'22'33'44'()()判断交叉两直线重影点的可见性基本作图过已知点作直线与已知直线交叉。cdc'd'a'abb'能否过A点随意作线呢？答案有多少个？

无数个。例题判断两直线的相对位置d

a

c

b

oYWYHzXa

ac

d

dcbb

交叉例题判断两直线的相对位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1例：判断两直线的相对位置

交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。OXaa'bb'cc'dd'例：判断两直线的相对位置。OXaa'bb'cc'dd'∵ab与cd在一直线上，而a'b'∥c'd'∴两直线平行。例：判断两直线的相对位置。OXaa'bb'cc'dd'Emk∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。∴为交叉两直线。

例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点。nn'm'aa'bb'cc'dd'mOX作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。例题判断两直线重影点的可见性b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)

例已知：直线EF平行CD并与直线AB相交，F点在H面上.求所缺的投影aa'bb'cc'dd'OXeeffKK作业1

已知直线AB的实长为20，求作其三面投影。（1）AB//W面，β=30°，点B在点A之下、之前。（2）AB//V面，γ=60°，点B在点A之下、之右。XzYHYWOaa'作业2

已知表中各点相对于投影面的距离，作点的三面投影图（单位：mm）,并判断它们的空间位置关系：点A在点B的（），点C在点D的（）。XzYHYWO——面的投影投影的基本知识

若点在平面的一直线上，则此点必在该平面上。

若直线通过平面上两个已知点，则此直线必在该平面上；

或者直线通过平面上一个已知点，且平行于平面上的一直线，则此直线也必在该平面上。三、平面上的直线和点

取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线ABCDEa

b

c

abcd

de

e

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取点的方法：利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●d

d②●abca

b

k

c

k●ded

e

1010m

●m●例2：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。bcXb

c

aa

O

取属于平面的直线ABCEDa

b

c

abcd

de

eFff

abcb

c

a

d

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一:解法二:有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？例3

已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d

da

b

c

abcee

例4

已知点D在

ABC上，试求点D的水平投影。dd

a

b

c

abcee

d例5

已知点E在

ABC上，试求点E的正面投影。e

d

a

b

c

abce例6已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed直线与平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、直线与平面平行

若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行n

●●a

c

b

m

abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？d

d正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

d

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、直线与平面相交要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法⑴平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●1

(2

)km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。k

●2●1●作图用面上取点法●1.两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdeff

h

abcdefha

b

c

d

e

两平面的相对位置acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行,

已知AB∥CD∥EF∥MH⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：⑴求两平面的交线方法：①确定两平面的两个共有点。②确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。⑵判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴能否不用重影点判别？OXabcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例：求两平面的交线MN并判别可见性。m●n●OXa′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图⑵2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′m●n●n′●m′●c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交c

d

e

f

a

b

abcdef⑶互交m●k●k

●m

●投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。abca

b

c

①直线为一般位置时②直线为特殊位置时bab

ka

k

●●

小结

★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。⒊判断方法——面的投影投影的基本知识一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

二、平面的投影特性投影特性★平面平行投影面——投影就把实形现★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面

垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面

平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面一般位置平面的投影特性：平面在三个投影面上的投影均不反映实形，但为类似形。面积均比实形小。HXVabcYbacABCOWacbZaaXcHYbbcOabZYwc（1）一般位置平面c

c

（2）投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影为类似形。VXHYOZWPppp立体图投影图βγZXOpppwYγβ铅垂面（⊥Ｈ面，倾斜Ｖ、Ｗ面）投影特性（1）正面投影积聚成直线，并反映倾角α和γ。（2）水平和侧面投影不反映实形，是缩小了的类似形。XVZWYHOPppppXOZHYwYpp

正垂面（⊥Ｖ面，倾斜Ｈ、Ｗ面）VWHSWS侧垂面（⊥Ｗ面，倾斜Ｈ、Ｖ面）Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

a

b

c

a

b

c

abc（3）投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。XVZWOPHpYppZXpHYOppwY水平面（//Ｈ面⊥VW面）VWH水平面CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

正平面（//Ｖ面⊥HW面）VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA侧平面（//Ｗ面⊥VH面）VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

——基本形体的投影投影的基本知识

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环

直三棱柱的投影VWH棱锥的投影sabca'c'b's'b"a"(c")s"SA

BC六棱柱的投影圆球的投影圆环投影可见性的判别由前向后看，此部