《第二章 一元二次函数、方程和不等式》培优同步练习

《第二章一元二次函数、方程和不等式》培优同步练习2.1等式的性质与不等式的性质一、单选题1．设集合，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，那么=()A． B． C． D．3．已知，，则和的大小关系为A． B．C． D．4．下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．若，，则一定有A． B． C． D．6．已知，那么的大小关系是（）A． B．C． D．7．若，，则的值可能是（）．A． B． C．2 D．48．若，则下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．9．设，则的大小关系为（）．A． B． C． D．10．已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题11．若,,则下列不等式成立的是()A． B． C． D．12．对于实数，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则13．（多选题）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则14．已知，，则下列正确的是（）A． B．C． D．三、填空题15．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．设，且满足，，则的大小关系为_______．17．若，，则在①，②，③，④，⑤这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.四、双空题18．关于的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，的值为_______.19．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.20．（1）“且”是“且”的________条件；（2）“且”是“且”的________条件.21．已知，则的取值范围为_____，的取值范围为_____.五、解答题22．如果，，证明：.23．已知，，求证：.24．已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.25．当都为正数且时，试比较代数式与的大小．26．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．27．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）当，且时，与.2.1等式的性质与不等式的性质答案解析一、单选题1．设集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，所以选项A错误，，所以选项B正确，A,，所以选项C，D错误.故选：B2．已知集合，，那么=()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，故选：C3．已知，，则和的大小关系为A． B．C． D．【答案】D【解析】s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有s≥t，故选D．4．下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，取时，，则A错误；对于B，取时，，则B错误；对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；对于D，取时，，则D错误；故选：C5．若，，则一定有A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，．故选：．6．已知，那么的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，则，所以，所以，故选C.7．若，，则的值可能是（）．A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】，，．故选：C.8．若，则下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.9．设，则的大小关系为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．综上可得：．故选：.10．已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函数的图像过原点，设二次函数为：，，，……①，……②，则3①+6②得：即，故选：B.二、多选题11．若,,则下列不等式成立的是()A． B． C． D．【答案】BD【解析】对A,因为,,故,故A错误.对B,因为,,故,故,故B正确.对C,取易得,故C错误.对D,因为为增函数,故D正确.故选：BD12．对于实数，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】A.在三边同时除以得，故A正确；B.由及得，故B正确；C.由知且，则，故C正确；D.若，则，，，故D错误.故选：ABC.13．（多选题）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则【答案】BCD【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:，所以本命题是真命题；选项C:，所以本命题是真命题；选项D:，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.14．已知，，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A中，，又，所以根据不等式的性质可得，故A正确；B中，，，故B错误；C中，，，故C正确；D中，，故D错误.故选：AC.三、填空题15．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由题得，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案为＜16．设，且满足，，则的大小关系为_______．【答案】．【解析】因为，所以．又因为，所以，所以，综上可得，．17．（若，，则在①，②，③，④，⑤这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.【答案】②④【解析】令，则，故①错误；令，则：，故③错误；令，则：，故⑤错误；由于，，根据不等式的性质可知，故②正确；由于，，则，根据不等式的性质可知，故④正确.故答案为：②④四、双空题18．关于的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，的值为_______.【答案】2【解析】解得，解得.由题图知这个不等式组的解集是，且，.故答案为；219．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.【答案】【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付元，则.②设顾客一次购买干果的总价为元，当时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当时，.即对恒成立，则，，又,所以.20．（1）“且”是“且”的________条件；（2）“且”是“且”的________条件.【答案】充要充分非必要【解析】（1）根据不等式性质可得“且”“且”，所以“且”是“且”的充分条件；“且”“且”，所以“且”是“且”的必要条件.所以“且”是“且”的充要条件.（2）根据不等式性质可得“且”“且”，所以“且”是“且”的充分条件；例如：满足“且”，但是不满足“且”.“且”不能推出“且”.所以“且”是“且”的非必要条件.所以“且”是“且”的充分非必要条件.故答案为：充要；充分非必要.21．已知，则的取值范围为____，的取值范围为______.【答案】【解析】∵，∴.又∵，∴.由，得，即.故答案为：(1)(2).五、解答题22．如果，，证明：.【答案】证明见解析.【解析】证明：由，，则，又,，则，又，故.23．已知，，求证：.【答案】证明见解析.【解析】，因为，，所以，，故，即证：.24．已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均为正实数，当时，；当时，，则.综上所述，.25．当都为正数且时，试比较代数式与的大小．【答案】【解析】因为，所以因此因为为正数，所以因此，当且仅当时等号成立26．（甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．【答案】甲先到达B地．【解析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．方法一因为，即，所以甲先到达B地．方法二，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地．27．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）当，且时，与.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因此，；（2）.①当时，即，时，，；②当时，即，时，，.综上所述，当，且时，.2.2基本不等式一、单选题1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．2．若，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．3．已知x，y＞0且x+4y=1，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．114．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（）A．3年 B．4年C．5年 D．6年5．已知实数，，，则的最小值是（）A． B． C． D．6．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（）A．1 B． C．2 D．7．已知，，，且，，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设为任意正数．则这三个数（）A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于210．已知，，则的最小值为（）A． B．6 C． D．二、多选题11．已知函数，则该函数的（）．A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为12．已知实数、满足，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．13．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（）A．ab有最大值 B．有最大值C．有最小值2 D．有最大值14．设，，给出下列不等式恒成立的是（）.A． B．C． D．三、填空题15．已知，则的最小值为______．16．若，则“”是“”的_____条件17．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．四、双空题18．若，则的最小值是______，此时______.19．用一根长为的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________；高为________.20．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.21．已知正数、满足，则：（1）的最小值为________．（2）若恒成立，则实数的取值范围是______．五、解答题22．已知a，b，c为任意实数，求证：．23．设，，都是正数，求证：．24．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.25．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？26．(1)已知x>3，求y=x+4x-(2)已知x>0，y>0，x2+y3=2，求xy27．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．2.2基本不等式答案解析一、单选题1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以所以，即，故A，B正确.因为，所以，所以故C正确.当时，，故D错误.故选：D2．若，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又由基本不等式可得：，所以，又，所以，因此.故选：C.3．已知x，y＞0且x+4y=1，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】且，∴当且仅当时，等号成立．∴的最小值为9．故选：B．4．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A．3年 B．4年C．5年 D．6年【答案】C【解析】可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11∴a=－1．即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号.故选C．5．已知实数，，，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B6．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】设，，在上恒成立，需，，当且仅当，即时等号成立，.故选：D.7．已知，，，且，，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由知，，，，当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B8．已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.9．设为任意正数．则这三个数（）A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】假设三个数均小于2，即，故，而，当时等号成立，这与矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；取，计算排除BD；取，计算排除A.故选：C.10．已知，，则的最小值为（）A． B．6 C． D．【答案】B【解析】因为，，由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立．故选：B．二、多选题11．已知函数，则该函数的（）．A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为【答案】CD【解析】，函数，当且仅当时取等号，该函数有最大值．无最小值．故选：CD．12．已知实数、满足，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为，于是，A项不成立；由得，B项正确；由基本不等式可知，因为，所以等号取不到，所以C项正确；当，时，D项不成立.故选：BC.13．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（）A．ab有最大值 B．有最大值C．有最小值2 D．有最大值【答案】AB【解析】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.对B,,故,当且仅当时取等号.故B正确.对C,.当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.对D,,即,故有最小值.故D错误.故选：AB14．设，，给出下列不等式恒成立的是（）.A． B．C． D．【答案】ACD【解析】设，，，成立，，不成立，当且仅当即时取等号，故成立，，，，当且仅当，即时取等号，故成立，故选：．三、填空题15．已知，则的最小值为______．【答案】．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值．，当且仅当，解得，又因为，所以时等号成立．故答案为：．16．若，则“”是“”的_____条件【答案】充分不必要【解析】当时，由基本不等式，可得，当时，有，解得，充分性是成立的；例如：当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故答案为充分不必要条件.17．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．【答案】4【解析】若实数满足,则,当且仅当时,上式取得最小值4故答案为：4四、双空题18．若，则的最小值是______，此时______.【答案】9【解析】因为，即所以当且仅当即时取等号．故第一空填9，第二空填19．用一根长为的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________；高为________.【答案】3【解析】设窗户的宽为，则其高为，要使阳光充足，只要面积最大，，当且仅当时等号成立，这时高为.故答案为：(1).(2).3用基本不等式求最值问题:已知，则：(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小)(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)20．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于________，此时a=__________.【答案】3【解析】根据题意，正数a、b满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.21．已知正数、满足，则：（1）的最小值为________．（2）若恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】(1)因为正数､满足,所以,当且仅当时取等号,所以;(2)因为正数､满足,,当且仅当,即时取等号,所以;故答案为:五、解答题22．已知a，b，c为任意实数，求证：．【答案】见解析【解析】∵，，∴．即．当且仅当时，等号成立．23．设，，都是正数，求证：．【答案】详见解析【解析】证明：∵，，都是正数，∴由重要不等式可得：①，当且仅当时等号成立，即；②，当且仅当时等号成立，即；③，当且仅当时等号成立，即；∴①②③得：∴；当且仅当时等号成立.24．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，故.所以（当且仅当时取等号）.法二：，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤，于是，，因此（当且仅当时取等号）.25．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.【解析】设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.26．(1)已知x>3，求y=x+4x-(2)已知x>0，y>0，x2+y3=2，求xy【答案】(1)当x=5时，y的最小值为7．(2)x=2，y=3时，xy的最大值为6．【解析】(1)已知x>3，则：x-故：y=x+4当且仅当：x-解得：x=5，即：当x=5时，y的最小值为7．(2)已知x>0，y>0，x2则：x2解得：xy≤即：x2解得：x=2，y=3时，xy的最大值为6．27．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．【答案】.【解析】由，则．当且仅当即时取到最小值16．若恒成立，则．2.3二次函数与一元二次方程、一元二次不等式一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则的子集个数为（）A．2 B．4 C．6 D．83．已知，关于的一元二次不等式的解集为（）A．，或 B．C．，或 D．4．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．［－4，4］B．（－4，4）C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）5．“不等式x2-x+m>0A．m>14 B．m<146．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（）A． B． C． D．7．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．8．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（）．A． B．或 C． D．或9．对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（）．A． B． C．或 D．或10．定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（）A． B．C． D．二、多选题11．已知集合，则()A． B．C． D．12．下列四个不等式中，解集为的是（）A． B．C． D．13．已知函数有且只有一个零点，则()A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A．-8 B．-5 C．1 D．4三、填空题15．已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_______.16．不等式x2-kx+1>0对任意实数x17．若关于的不等式的解集，则的值为_____．四、双空题18．若不等式的解集为，则________．________．19．则的范围是___;则的范围是_______20．已知不等式.（1）若不等式在上有解，则实数的取值范围是__________；（2）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.21．已知集合，，若，则实数的取值范围是______，若，则实数的取值范围是______.五、解答题22．解下列不等式：（1）；（2）；（3）.23．已知不等式的解集为，求不等式的解集.24．记不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B．（1）求A；（2）若，求实数a的取值范围．25．已知关于x的不等式（1）若不等式的解集是，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．26．命题；命题（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值27．解关于的不等式2.3二次函数与一元二次方程、一元二次不等式答案解析一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，，则，故选：A．2．已知集合，，则的子集个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由得，故，其子集个数为.故选B.3．已知，关于的一元二次不等式的解集为（）A．，或 B．C．，或 D．【答案】B【解析】依题意可化为，由于，故不等式的解集为.故选B.4．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．［－4，4］B．（－4，4）C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.5．“不等式x2-x+m>0A．m>14 B．m<14【答案】A【解析】∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m＞1又∵m＞14⇒△＝1﹣4所以m＞14是“不等式x2﹣x+故选：A．6．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为关于x的不等式的解集为，所以，又，所以，解得，因为，所以.故选：A.7．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．8．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（）．A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】原不等式组等价于,由题意不等式组解集非空可得，故选：A．9．对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（）．A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由已知得即解得．又当时，原不等式可化为，显然恒成立．故a的取值范围是．故选：A．10．定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式可化为，即对任意实数都成立，，解得.故选B.二、多选题11．已知集合，则()A． B．C． D．【答案】AD【解析】由解得，故,.故选AD.12．下列四个不等式中，解集为的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，对应函数开口向下，显然解集不为；对于B，，对应的函数开口向上，，其解集为；对于C，，对应的函数开口向上，其解集为；对于D，对应的函数开口向下，其解集为；故选：BCD.13．已知函数有且只有一个零点，则()A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】因为有且只有一个零点，故可得，即可.对：等价于，显然，故正确；对：，故正确；对：因为不等式的解集为，故可得，故错误；对：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，故可得，故可得，故正确.故选：ABD.14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A．-8 B．-5 C．1 D．4【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知⫋，所以或，即.故选：ACD三、填空题15．已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】若命题“，”是假命题，则“，”为真命题，则只需满足，解得.故答案为：.16．不等式x2-kx+1>0对任意实数x【答案】(【解析】∵不等式x2-kx+1>0∴△∴-2＜k故答案为：(17．若关于的不等式的解集，则的值为______．【答案】-3【解析】显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．四、双空题18．若不等式的解集为，则______．______．【