《专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式》重难点突破与专题训练

《专题03等式的性质与不等式的性质、基本不等式》重难点突破知识结构思维导图学法指导与考点梳理知识点1一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b的解的情况：当a>0时，；当a<0时，；当a=0时，i)若b≤0，则取所有实数；ii)若b>0，则无解。知识点2分式方程、分式不等式的解法1、分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法：

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法知识点3二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 一般式二次函数一元二次方程[一元二次不等式图像与解或无解无解R无解表中，2、恒成立恒成立知识点4绝对值不等式1、a>0时，①；②或x>a2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得或；．知识点5基本不等式1、基本不等式(或)均值不等式2、基本不等式的变形与拓展(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．(3)若,则；(4)若,则（当且仅当时取“=”）；(5)若,则（当且仅当时取“=”）．(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．(8)一个重要的不等式链：．重难点题型突破重难点1等式与不等式的性质不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例1．（1）若，则下列不等式错误的是（）A． B． C． D．（2）已知，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【变式训练1】．下列不等式中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式训练2】．设，，则的大小关系为____．【变式训练3】．下列不等式中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则重难点2分式不等式与绝对值不等式例2．不等式的解集是（）A． B． C． D．【变式训练1】．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}【变式训练2】．如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（）A． B． C． D．重难点3二次函数、一元二次方程与一元二次不等式例3．不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【变式训练1】．不等式的解集为（）A． B． C． D．【变式训练2】．不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．【变式训练3】．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．重难点4基本不等式例4.（1）已知，若，则的最小值为（）A．3 B．2 C． D．1（2）函数的最大值为（）A． B． C． D．1【变式训练1】．（1）已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．6（2）设若的最小值为（）A8B4C1D（3）．已知，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【变式训练2】（1）．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.（2）．正实数，满足，则的()A．最小值为 B．最大值为C．最小值为3 D．最大值为3（3）．函数的最小值为（）A.3 B.2 C. D.课堂定时训练（45分钟）1．若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．62．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（）A．B．=C．<<D．=3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（） A． B．C．D．4．已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）5．不等式的解集为____________．6．关于x的不等式的解集为则________，________．7．解下列两个关于x的不等式：（1）；（2）8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是．9．已知函数在时取得最小值，则__．10．若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．《专题03等式的性质与不等式的性质、基本不等式》重难点突破答案解析一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点1一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b的解的情况：当a>0时，；当a<0时，；当a=0时，i)若b≤0，则取所有实数；ii)若b>0，则无解。知识点2分式方程、分式不等式的解法1、分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法：

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法知识点3二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 一般式二次函数一元二次方程一元二次不等式图像与解或无解无解R无解表中，2、恒成立恒成立知识点4绝对值不等式1、a>0时，①；②或x>a2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得或；．知识点5基本不等式1、基本不等式(或)均值不等式2、基本不等式的变形与拓展(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．(3)若,则；(4)若,则（当且仅当时取“=”）；(5)若,则（当且仅当时取“=”）．(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．(8)一个重要的不等式链：．三、重难点题型突破重难点1等式与不等式的性质不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例1．（1）若，则下列不等式错误的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，故A对；∵，∴，，∴，故B错；∵，∴，即，∴，故C对；∵，∴，∴，即，故D对；故选B．（2）已知，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由不等式的性质可知，若，则：，，，.故选：C.【变式训练1】．下列不等式中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A【变式训练2】．设，，则的大小关系为__________．【答案】【解析】，，因为，所以，即.故答案为:.【变式训练3】．下列不等式中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A重难点2分式不等式与绝对值不等式例2．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，解得，故选：B.【变式训练1】．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}【答案】D【解析】依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.【变式训练2】．如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得|x-3|+|x-4|＜a有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a＞1.故选：A重难点3二次函数、一元二次方程与一元二次不等式例3．不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，如图函数开口向上，与轴的交点为：，，可得不等式的解集为：或.故选：B【变式训练1】．不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，不等式，可化为，解得，即不等式的解集为.故选：A.【变式训练2】．不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】由得：，，，即不等式的解集为，故选：C【变式训练3】．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.当时，不等式的解集为，此时；当时，不等式的解集为，，合乎题意；当时，不等式的解集为，由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.重难点4基本不等式例4.（1）已知，若，则的最小值为（）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故选：C（2）函数的最大值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。【变式训练1】．（1）已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．6【答案】A【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A（2）设若的最小值为（）A8B4C1D【答案】B【解析】选B.因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择B.（3）．已知，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.【变式训练2】（1）．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.【答案】3【解析】根据题意，正数a、b满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.（2）．正实数，满足，则的()A．最小值为 B．最大值为C．最小值为3 D．最大值为3【答案】A【解析】，所以的最小值为，故选:A.（3）．函数的最小值为（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A。课堂定时训练（45分钟）1．若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】，，.2．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（）A．B．=C．<<D．=【答案】．A【解析】设从甲地到乙地所走路程为，则．∵,∴,∴．选A．3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（） A． B．C．D．【答案】．D【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取，此时，因此B不正确；对于C取，此时，因此C不正确；对于D，∵，∴，∴，D正确．4．已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）【答案】【解析】∵，，，即．故答案为：.5．不等式的解集为____________．【答案】【解析】由得，所以不等式的解集为．故答案为：.6．关于x的不等式的解集为则________，________．【答案】1【解析】因为不等式的解集为，所以方程的两根分别为，，故由韦达定理可得.故答案为：；1.7．解下列两个关于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）或；（2）．【解析】（1），∴，解得或，故不等式的解集为或．（2）易得，解得，故不等式的解集为．8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是．【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．9．已知函数在时取得最小值，则__．【答案】．【解析】因为，，当且仅当，即，解得．10．若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．【答案】【解析】正实数、满足，，由基本不等式得，可得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.故答案为：；.《专题03等式的性质与不等式的性质、基本不等式》专题训练【基础巩固】1．若，，则一定有（）A．B．C．D．2．已知集合M={∈R|}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{-1，0，1，2}C．{-1，0，2，3}D．{0，1，2，3}3．设，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（） A． B．C．D．5．不等式的解集是___________．6．已知函数在时取得最小值，则_______7．已知，，且，则的取值范围是_______．8．已知函数在时取得最小值，则_______．9．若实数满足，则的最大值是_______．10．设，则的最小值为．【能力提升】11．设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．312．若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．613.设，R，，则的最小值为（）A.B.C.D.14.若直线，过点，则的最小值为（）A.6B.8C.9D.1015．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．1016．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．17．设集合，，则A． B． C． D．，18．已知集合，2，，，，则等于A．B．，C．，1，2，D．，0，1，2，19．已知集合，2，，，则A．，，0，1，2， B．，，0，1， C．，2， D．，20．设集合，，则A．， B．，，C．， D．，，21．下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．22．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件23．已知，则的最小值是．24．已知，且，则的最小值为_________．25．设，则的最小值为．《专题03等式的性质与不等式的性质、基本不等式》专题训练答案解析【基础巩固】1．若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以，故选D．2．已知集合M={∈R|}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{-1，0，1，2}C．{-1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}，故选A．3．设，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知和，比较与，因为，所以，同理由得；作差法：，所以，综上可得；故选B．4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（） A． B．C．D．【答案】D【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取，此时，因此B不正确；对于C取，此时，因此C不正确；对于D，∵，∴，，∴，D正确．5．不等式的解集是___________．【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．6．已知函数在时取得最小值，则_______【答案】【解析】因为，，当且仅当，即，解得．7．已知，，且，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，且，又时，，时，，当时，，所以取值范围为．8．已知函数在时取得最小值，则_______．【答案】【解析】因为，，当且仅当，即，解得．9．若实数满足，则的最大值是_______．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，．10．设，则的最小值为．【答案】9【解析】由柯西不等式可知．【能力提升】11．设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3【答案】B【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号此时，．，故选B．12．若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】，∴，∴．13.设，R，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由基本不等式得，则.又因为，则有，即，所以的最小值为.故选A.14.若直线，过点，则的最小值为（）A.6B.8C.9D.10【答案】C【解