《3.1.1函数的概念》教案与同步练习

《3.1.1函数的概念》教案【教材分析】函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.【教学目标与核心素养】课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。2.掌握判定函数和函数相等的方法。3.学会求函数的定义域与函数值。数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。【教学重难点】重点：函数的概念，函数的三要素。难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景引入某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？二、新知导学1．函数的概念定义设A、B是非空的__数集__，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意一个数x__，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__x__的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.[知识点拨](1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__{x|a＜x＜b}开区间__(a，b)__{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[知识点拨](1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．三、课前小测1．下列四个图形中，是函数图象的为(D)A．③④ B．①C．①②③ D．①③④[解析]由函数定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，图①③④满足函数的定义，故选D．2．区间[5,8)表示的集合是(C)A．{x|x≤5或x>8} B．{x|5<x≤8}C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}[解析]区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．3．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(C)A．3 B．7C．11 D．25[解析]f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．4．函数y＝eq\r(7＋6x－x2)的定义域是__[－1,7]__.[解析]要使函数y＝eq\r(7＋6x－x2)有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝eq\r(7＋6x－x2)的定义域是[－1,7]．5．已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(3)求f[g(x)]的解析式．[解析](1)f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(2)＝22＋2＝6.(2)f[g(2)]＝eq\f(1,1＋g2)＝eq\f(1,1＋6)＝eq\f(1,7).(3)f[g(x)]＝eq\f(1,1＋gx)＝eq\f(1,1＋x2＋2)＝eq\f(1,x2＋3).四、课堂互动探究命题方向1⇨函数概念的理解典例1(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(B)A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(C)[思路分析](1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．[解析](1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±eq\r(1－x2)，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．『规律方法』1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．〔跟踪练习1〕下列对应是否为A到B的函数：(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[解析](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．命题方向2⇨求函数的定义域典例2求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(x＋20,|x|－x)；(2)f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)－eq\r(4－x).[思路分析]eq\x(观察函数解析式的特点)→eq\x(列不等式组)→eq\x(求自变量的取值范围)[解析](1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≠0,|x|－x≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－2,|x|≠x))，解得x<0，且x≠－2.故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x≥0,x－1≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤4,x≠1)).故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．『规律方法』求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．〔跟踪练习2〕函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定义域是(C)A．[－1，＋∞) B．[－1,0]C．(－1，＋∞) D．(－1,0)[解析]要使函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，∴函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定义域为(－1，＋∞)．命题方向3⇨求函数值典例3已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x∈R.(1)求f(2)，f(eq\f(1,2))，f(3)，f(eq\f(1,3))的值；(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2018))的值．[思路分析](1)将x＝2，eq\f(1,2)，3，eq\f(1,3)代入f(x)＝eq\f(x,1＋x)计算即可；(2)由(1)中求得f(2)，f(eq\f(1,2))，f(3)，f(eq\f(1,3))的值可得f(2)＋f(eq\f(1,2))与f(3)＋f(eq\f(1,3))的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2018))的值．[解析](1)∵f(x)＝eq\f(x,1＋x)，∴f(2)＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，f(eq\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，f(3)＝eq\f(3,1＋3)＝eq\f(3,4)，f(eq\f(1,3))＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).(2)由(1)知，f(2)＋f(eq\f(1,2))＝1，f(3)＋f(eq\f(1,3))＝1.∴f(a)＋f(eq\f(1,a))＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(\f(1,a),1＋\f(1,a))＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(1,a)·eq\f(a,1＋a)＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(1,1＋a)＝1，∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2018))＝f(2)＋f(eq\f(1,2))＋f(3)＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(2018)＋f(eq\f(1,2018))＝2017.『规律方法』解题时要注意审题，观察分析、发现规律．〔跟踪练习3〕已知函数f(x)＝eq\f(x2－1,x2＋1)，则f(1)＋eq\f(f2,f\f(1,2))＋…＋eq\f(f10,f\f(1,10))＝__－9__.[解析]eq\f(fx,f\f(1,x))＝eq\f(\f(x2－1,x2＋1),\f(\f(1,x2)－1,\f(1,x2)＋1))＝eq\f(\f(x2－1,x2＋1),\f(1－x2,1＋x2))＝－1，∴eq\f(f2,f\f(1,2))＝eq\f(f3,f\f(1,3))＝…＝eq\f(f10,f\f(1,10))＝－1，又∵f(1)＝0，∴f(1)＋eq\f(f2,f\f(1,2))＋…＋eq\f(f10,f\f(1,10))＝－9.求函数定义域时非等价化简解析式而致误典例4求函数y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋2)的定义域．[错解]y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋2)＝eq\r(x2－4)，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2.∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤－2}．[错因分析]事实上，函数y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋2)与y＝eq\r(x2－4)并不表示同一个函数，求函数定义域应根据原始条件的制约．[正解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0,x＋2≥0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,x≥－2)).即x≥2.∴函数的定义域为{x|x≥2}．求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法典例5求函数y＝eq\f(3x＋2,x－2)的值域．[思路分析]这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋eq\f(c,x＋b)的形式再求函数的值域．[解析]∵y＝eq\f(3x＋2,x－2)＝eq\f(3x－6＋8,x－2)＝3＋eq\f(8,x－2)，又∵eq\f(8,x－2)≠0，∴y≠3.∴函数y＝eq\f(3x＋2,x－2)的值域是{y|y∈R，且y≠3}．『规律方法』求y＝eq\f(ax＋c,x＋b)这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋eq\f(c－ab,x＋b)的形式．2．配方法典例6求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．[思路分析]这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．[解析]∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．『规律方法』遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)的形式，从而求得函数的值域．3．换元法典例7求函数y＝x＋eq\r(2x－1)的值域．[思路分析]忽略常数系数，则x与eq\r(2x－1)隐含二次关系，若令eq\r(2x－1)＝t，则x＝eq\f(1,2)(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由eq\r(2x－1)有意义确定，故t的允许取值范围就是eq\r(2x－1)的取值范围．[解析]设u＝eq\r(2x－1)(x≥eq\f(1,2))，则x＝eq\f(1＋u2,2)(u≥0)，于是y＝eq\f(1＋u2,2)＋u＝eq\f(u＋12,2)(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥eq\f(1,2).故函数y＝x＋eq\r(2x－1)的值域为[eq\f(1,2)，＋∞)．『规律方法』求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．五、课堂检测1．下列表格中的x与y能构成函数的是(C)A．x非负数非正数y1－1B．x奇数0偶数y10－1C．x有理数无理数y1－1D．x自然数整数有理数y10－1[解析]A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．2．下列各组函数中，表示同一函数的是(A)A．y＝x与y＝eq\r(3,x3) B．y＝x2与y＝eq\f(x3,x)C．y＝1与y＝(x－1)0 D．y＝|x|与y＝(eq\r(x))2[解析]选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．3．函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)的定义域为(D)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)[解析]要使函数有意义，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x－2≠0))，∴x≥1且x≠2，故选D．4．已知f(x)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝__eq\f(3,2)__.[解析]∵f(x)＝2x＋3，∴f(m)＝2m＋3＝6，∴2m＝3，∴m＝eq\f(3,2).5．已知函数f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．[解析]∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝eq\f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝x2＋ax＋eq\f(1,4)(a2＋3)．又∵g[f(x)]＝x2＋x＋1，∴x2＋ax＋eq\f(1,4)(a2＋3)＝x2＋x＋1，故a＝1.《函数的概念》同步练习A级基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是(B)A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素[解析]由函数定义域、值域、对应关系的相关知识，易知选B．2．已知区间[a,2a＋1]，则实数a满足的条件是(D)A．a∈R B．a≤－1C．a≥－1 D．a>－1[解析]由题意得2a＋1>a，∴a>－1，故选D．3．函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域是(C)A．(5,9) B．[5,0]C．{5,7,9} D．{5,6,7,8,9}[解析]由题意，函数的定义域为{2,3,4}，当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9，所以函数的值域为{5,7,9}．4．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(C)A．fx→y＝eq\f(1,2)x B．fx→y＝eq\f(1,3)xC．fx→y＝eq\f(2,3)x D．fx→y＝eq\r(x)[解析]对于选项C，当x＝4时，y＝eq\f(8,3)＞2不合题意．故选C．5．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝(C)A．2 B．5C．－5 D．－eq\f(1,5)[解析]∵f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，∴f(x)＝eq\f(1,fx＋2)，∴f(1)＝eq\f(1,f3)＝－5，∴f(3)＝－eq\f(1,5).∴f(5)＝eq\f(1,f3)＝－5.6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为(C)A．可能有无数个 B．只有一个C．至多一个 D．至少一个[解析]根据函数定义，一个自变量x只能对应一个函数值y，而y＝f(x)的定义域中不一定含有m.二、填空题7．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝__－eq\f(5,6)__.[解析]f(t)＝eq\f(1,t＋1)＝6.∴t＝－eq\f(5,6).8．已知f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__5__.[解析]∵f(x)＝2x－1，∴f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝2×3－1＝5.三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,x＋2)；(2)f(x)＝eq\r(3x＋2)；(3)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,3－x).[解析](1)要使函数有意义，须使x＋2≠0，∴x≠－2，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠－2}．(2)要使函数有意义，须使3x＋2≥0，∴x≥－eq\f(2,3)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≥－eq\f(2,3)}．(3)要使函数有意义，须使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,3－x≠0))，∴x≥－1且x≠3，∴函数f(x)的定义域为{x|x≥－1且x≠3}．B级素养提升一、选择题1．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(A)A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2[解析]∵f(x)＝3x2－1，∴f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝3a2－1－3a2＋1＝0.2．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(B)[解析]A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B．3．函数f(x)＝eq\f(1,\r(1－2x))的定义域为M，g(x)＝eq\r(x＋1)的定义域为N，则M∩N＝(B)A．[－1，＋∞) B．[－1，eq\f(1,2))C．(－1，eq\f(1,2)) D．(－∞，eq\f(1,2))[解析]∵M＝{x|x<eq\f(1,2)}，N＝{x|x≥－1}，∴M∩N＝{x|－1≤x<eq\f(1,2)}．故选B．4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为(C)x123f(x)231x123g(x)321A．{1} B．{2}C．{3} D．∅[解析]由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；当