《2.2基本不等式》教案、导学案与同步练习

《第二章一元二次函数、方程和不等式》《2.2基本不等式》教案【教材分析】《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。【教学重难点】重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入：在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1.重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.重要不等式2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:____a>0,b>0___.(2)等号成立的条件:当且仅当__a=b____时取等号.注意：一正二定三等.2ab3.几个重要的不等式2ab(1)a2+b2≥______(a,b∈R).(2)≥____2(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).aba+baba+b4.设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、典例分析、举一反三题型一利用基本不等式求最值例1求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求的最小值；（2）x>0,求的最小值；（3）x<3，求的最大值；【答案】见解析【解析】（1）由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x>0,等号成立的条件是即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.跟踪训练一（1）已知x>0,y>0，且求x+y的最小值；（2）已知x<求函数的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.【答案】见解析【解析】题型二利用基本不等式解决实际问题例2（１）用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园,（２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym，篱笆的长度为(1)由已知得由x+y2≥所以2x当且仅当x=y=10(2)由已知得2x+由xy⩽x+y2=18当且仅当x=y=9解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）跟踪训练二1.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.【答案】见解析【解析】（1）设的长为米，则米由矩形的面积大于得：又，得：，解得：或即长的取值范围为：（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本48页习题2.2【教学反思】本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，先通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不等式的条件是一正二定三等。《2.2基本不等式》导学案【学习目标】1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。【重点与难点】重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．【学习过程】一、预习导入阅读课本44-45页，填写。1.重要不等式2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.注意：一正二定三等.3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).4.设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.【小试牛刀】1.已知x>0，求x+1x的最小值2.已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14【自主探究】题型一利用基本不等式求最值例1求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求的最小值；（2）x>0,求的最小值；（3）x<3，求的最大值；跟踪训练一（1）已知x>0,y>0，且求x+y的最小值；（2）已知x<求函数的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.题型二利用基本不等式解决实际问题例2（１）用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园,（２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？跟踪训练二1.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.【课堂检测】1．已知，且，则最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数的最小值为(

)A．6 B．7 C．8 D．93．已知，则的最小值是（）A． B． C．5 D．44．若函数在处取最小值，则等于（）A．3 B． C． D．45．已知正数、满足，则的最大值为__________．6．当时，的最大值为__________.7．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？答案小试牛刀1．【答案】见解析【解析】因为x>0，所以x+1x当且仅当x=1x，即x2=1，x=12．【答案】见证明【解析】证明：因为x，y都是正数，所以x+y（1）当积xy等于定值P时，x+y2所以x+y≥2P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P.（2）当和x+y等于定值S时，xy⩽所以xy⩽

当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值14自主探究例1【答案】见解析【解析】（1）由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x>0,等号成立的条件是即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.跟踪训练一【答案】见解析【解析】例2【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x

m,(1)由已知得由x+y2≥所以2x当且仅当x=y=10(2)由已知得2x+由xy⩽x+y2=18当且仅当x=y=9跟踪训练二1.【答案】见解析【解析】（1）设的长为米，则米由矩形的面积大于得：又，得：，解得：或即长的取值范围为：（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米当堂检测 1-4．DCAA5．56.-37．【答案】（1）；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当时，（万件），所以，所以，所以，每件产品的销售价格为（万元），所以年利润所以，其中.（2）因为时，，即所以，当且仅当，即（万元）时，（万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.《2.2基本不等式》同步练习一第1课时基本不等式的证明巩固基础1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝03．对x∈R且x≠0都成立的不等式是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 B．x＋eq\f(1,x)≤－2C.eq\f(|x|,x2＋1)≥eq\f(1,2) D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥24．已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.eq\f(1,x＋y) B.eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))C.eq\r(\f(1,2x2＋y2)) D.eq\f(1,2\r(xy))5．给出下列不等式：①x＋eq\f(1,x)≥2；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq\f(x2＋y2,xy)≥2；④eq\f(x2＋y2,2)>xy；⑤eq\f(|x＋y|,2)≥eq\r(|xy|).其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.7．设a，b，c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.综合应用8．若0<a<b，a＋b＝1，则a，eq\f(1,2)，2ab中最大的数为()A．a B．2abC.eq\f(1,2) D．无法确定9．已知a>0，b>0，则eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)中最小的是()A.eq\f(a＋b,2) B.eq\r(ab)C.eq\r(\f(a2＋b2,2)) D.eq\f(2ab,a＋b)10．设a>0，b>0，则下列不等式中不一定成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥411．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.eq\f(1,ab)≥8 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4C.eq\r(ab)≥eq\f(1,2) D.eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,2)12．若a＜1，则a＋eq\f(1,a－1)与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a>0，则a2＋1>a.①若a>0，b>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4.③若a>0，b>0，则(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.④若a∈R且a≠0，则eq\f(9,a)＋a≥6.其中恒成立的是________．14．已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8.15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.【参考答案】D解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))，即eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．2.B[解析]a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．3.D[解析]因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以eq\f(|x|,x2＋1)≤eq\f(1,2)，所以C错误，故选D.4.C[解析]解法一：∵x＋y>2eq\r(xy)，∴eq\f(1,x＋y)<eq\f(1,2\r(xy))，排除D；∵eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(x＋y,4xy)＝eq\f(1,\f(4xy,x＋y))>eq\f(1,\f(x＋y2,x＋y))＝eq\f(1,x＋y)，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴eq\f(1,x＋y)>eq\r(\f(1,2x2＋y2))，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则eq\f(1,x＋y)＝eq\f(1,3)；eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(3,8)；eq\r(\f(1,2x2＋y2))＝eq\f(1,\r(10))；eq\f(1,2\r(xy))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(1,\r(8)).其中eq\f(1,\r(10))最小．②解析：当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2；当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤－2，①不正确；因为x与eq\f(1,x)同号，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，eq\f(x2＋y2,2)＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．①③⑤[解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2eq\r(ab)⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2,ab)≥2，⑤正确．7.[证明]因为a，b，c都是正数，所以eq\f(bc,a)，eq\f(ac,b)，eq\f(ab,c)也都是正数．所以eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)≥2c，eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥2a，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2b，三式相加得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．8.C解析：选C.因为0<a<b，a＋b＝1，所以a<eq\f(1,2)，因为ab<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所以2ab<eq\f(1,2)，则a，eq\f(1,2)，2ab中最大的数为eq\f(1,2)，故选C.9.D[解析]因为a>0，b>0，所以eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))＝eq\r(\f(2a2＋b2,4))≥eq\r(\f(a＋b2,4))＝eq\f(a＋b,2)(当且仅当a＝b>0时，等号成立)．所以eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)中最小的是eq\f(2ab,a＋b)，故选D.10.B解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)，当且仅当a＝b且2eq\r(ab)＝eq\f(1,\r(ab))即a＝b＝eq\f(\r(2),2)时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2eq\r(ab)>0，所以eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，所以eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)不一定成立，故B不成立．因为eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，所以eq\f(a2＋b2,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－2ab,a＋b)＝a＋b－eq\f(2ab,a＋b)≥2eq\r(ab)－eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，所以eq\f(a2＋b2,a＋b)≥eq\r(ab)，所以eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.11.B[解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2eq\r(ab)，又a＋b＝1，∴2eq\r(ab)≤1，即eq\r(ab)≤eq\f(1,2).∴ab≤eq\f(1,4).∴eq\f(1,ab)≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤eq\f(1,4)可得a2＋b2＝1－2ab≥eq\f(1,2).所以eq\f(1,a2＋b2)≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.12.a＋eq\f(1,a－1)≤－1解析:因为a＜1，即1－a>0,所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq\f(1,1－a)≥2eq\r(（1－a）·\f(1,1－a))＝2.即a＋eq\f(1,a－1)≤－1.13.①②③[解析]因为(a2＋1)－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．因为a>0，所以a＋eq\f(1,a)≥2，因为b>0，所以b＋eq\f(1,b)≥2，所以当a>0，b>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4，故②恒成立．因为(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，所以(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故eq\f(9,a)＋a≥6是错误的．14.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)＞0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)＞0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．15.[证明]证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a)，同理1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(2,ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，于是eq\f(1,ab)≥4，eq\f(2,ab)≥8，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥1＋8＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时等号成立)).第2课时基本不等式的综合应用巩固基础1.eq\r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.eq\f(9,2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)2．设x>0，则y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3B．3－2eq\r(2)C．3－2eq\r(3)D．－13．若0＜x＜eq\f(1,2)，则函数y＝xeq\r(1－4x2)的最大值为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件5．已知a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为()A．8B．7C．6D．56．已知y＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．7．已知y＝x＋eq\f(1,x).(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．8．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.(1)求ab的最小值；(2)求a＋2b的最小值．综合应用9．已知a<b，则eq\f(b－a＋1,b－a)＋b－a的最小值为()A．3B．2C．4 D．110．已知实数x，y满足x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为()A．2B．4C．6 D．811．设x＞0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为()A．0B.eq\f(1,2)C．1D.eq\f(3,2)12．已知x≥eq\f(5,2)，则y＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4)B．最小值eq\f(5,4)zaC．最大值1 D．最小值113．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．814．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．15．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．16．设a>b>c，且eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(m,a－c)恒成立，求m的取值范围．17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋eq\f(1,x－3)的最大值；(2)已知x＞0，求y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．【参考答案】B解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，所以eq\r(（3－a）（a＋6）)≤eq\f(（3－a）＋（a＋6）,2)＝eq\f(9,2).即eq\r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为eq\f(9,2).C解析：y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)时取等号．3.C解析：因为0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－4x2＞0，所以xeq\r(1－4x2)＝eq\f(1,2)×2xeq\r(1－4x2)≤eq\f(1,2)×eq\f(4x2＋1－4x2,2)＝eq\f(1,4)，当且仅当2x＝eq\r(1－4x2)，即x＝eq\f(\r(2),4)时等号成立，故选C.B解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.C解析：可得6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，所以2a＋b＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(2b,a)时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.6.36解析：y＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，此时y取得最小值4eq\r(a).又由已知x＝3时，y的最小值为4eq\r(a)，所以eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36.7.解：(1)因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,－x)))≤－2eq\r(（－x）·\f(1,－x))＝－2，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.8.解：因为2a＋b＝ab，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1；(1)因为a>0，b>0，所以1＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)＝eq\f(1,2)，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；(2)a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9.A解析：因为a<b，所以b－a>0，由基本不等式可得eq\f(b－a＋1,b－a)＋b－a＝1＋eq\f(1,b－a)＋(b－a)≥1＋2eq\r(\f(1,b－a)·（b－a）)＝3，当且仅当eq\f(1,b－a)＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，eq\f(b－a＋1,b－a)＋b－a的最小值为3,故选A.D解析：因为x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)时等号成立．故选D.A解析：选A.因为x＞0，所以x＋eq\f(1,2)＞0，所以y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立，所以函数的最小值为0.12.D解析：y＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(（x－2）2＋1,2（x－2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(1,x－2)))，因为x≥eq\f(5,2)，所以x－2＞0，所以eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(1,x－2)))≥eq\f(1,2)·2eq\r(（x－2）·\f(1,x－2))＝1，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.B解析(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(ax,y)＋eq\f(y,x)≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(y,x)＝\r(a)时取等号)).∵(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(eq\r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.14.eq\f(3,2)解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝eq\f(1,6)(2x·3y)≤eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2).当且仅当2x＝3y，即x＝eq\f(3,2)，y＝1时，xy取到最大值eq\f(3,2).15.8解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(2（2m＋n）,n)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥8.16.解由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)≥m.要使原不等式恒成立，只需eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)的最小值不小于m即可．因为eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)＝eq\f(a－b＋b－c,a－b)＋eq\f(a－b＋b－c,b－c)＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)×\f(a－b,b－c))＝4，当且仅当eq\f(b－c,a－b)＝eq\f(a－b,b－c)，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}.17.解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋eq\f(1,x－3)＋7＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋eq\f(1,3－x)≥2eq\r(2（3－x）·\f(1,3－x))＝2eq\r(2)，当且仅当2(3－x)＝eq\f(1,3－x)，即x＝3－eq\f(\r(2),2)时，等号成立，于是－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))≤－2eq\r(2)，－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))＋7≤7－2eq\r(2)，故y的最大值是7－2eq\r(2).(2)y＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x)).因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，所以0＜y≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.《§2．2．1基本不等式》同步练习二（第一课时）一．选择题1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b4．已知t>0，则y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为()A．－1B．－2C．2D．－55．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．86．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．367．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2) B．4C．eq\f(9,2) D．58．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值()A．3B．4C．eq\f(9,2)D．eq\f(11,2)二．填空题9．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．10．已知x>0，y>0，且eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝1，则3x＋4y的最小值是________．三．解答题11．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．12．求下列函数的最值（1）已知x<eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值．（2）已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，求函数y＝eq\f(1,x)＋eq\f(8,1－2x)的最小值．参考答案一．选择题1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：C2．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b解析：B4．已知t>0，则y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为()A．－1B．－2C．2D．－5解析：B5．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：B6．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析：B7．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2) B．4C．eq\f(9,2) D．58．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值()A．3B．4C．eq\f(9,2)D．eq\f(11,2)解析：B二．填空题9．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，由基本不等式可得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(M2,4)，因为ab的最大值为2，所以eq\f(M2,4)＝2，M>0，所以M＝2eq\r(2)．10．已知x>0，y>0，且eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝1，则3x＋4y的最小值是________．解析：因为x>0，y>0，eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝13＋eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)≥13＋3×2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，所以(3x＋4y)min＝25．三．解答题11．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解析：因为f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为x＝3，所以a＝4×32＝36．12．求下列函数的最值（1）已知x<eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值．（2）已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，求函数y＝eq\f(1,x)＋eq\f(8,1－2x)的最小值．（1）解析：因为x<eq\f(5,4)，所以4x－5<0,5－4x>0．f(x)＝4x－5＋3＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1．当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x＝1，x＝1．所以f(x)max＝f(1)＝1．（2）解析：y＝eq\f(2,2x)＋eq\f(8,1－2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x)＋\f(8,1－2x)))·(2x＋1－2x)＝10＋2·eq\f(1－2x,2x)＋8·eq\f(2x,1－2x)，而x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，2·eq\f(1－2x,2x)＋8·eq\f(2x,1－2x)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当2·eq\f(1－2x,2x)＝8·eq\f(2x,1－2x)，即x＝eq\f(1,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时取到等号，则y≥18，所以函数y＝eq\f(1,x)＋eq\f(8,1－2x)的最小值为18．§2．2．2基本不等式（第二课时）一．选择题1．已知a，bR，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A． B．C． D．a2＋b2>2ab2．已知正数x，y满足eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．03．若x，y是正实数，则(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为()A．6B．9C．12D．154．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为()A．3B．6C．9D．125．已知x>0，则函数y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)的最小值为()A．9B．eq\f(9,2)C．3D．eq\f(3\r(2),2)6．已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()A．－3B．2C．3D．87．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4．5m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A．9．5mB．10mC．10．5mD．11m8．已知a>b，ab＝1，则的最小值为（）A．－4B．2eq\r(2)C．4D．eq\r(2)二．填空题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．10．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价eq\f(p＋q,2)%，若p>q>0，则提价多的方案是________．三．解答题11．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9．12．桑基鱼塘是一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中．(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？参考答案一．选择题1．已知a，bR，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A． B．C． D．a2＋b2>2ab解析：C2．已知正数x，y满足eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．0解析：A3．若x，y是正实数，则(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为()A．6B．9C．12D．15解析：B4．已