《4.2.1 指数函数的概念》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数《4.2.1指数函数的概念》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.1节《指数函数的概念》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点)2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：指数函数的概念；b.逻辑推理：指数函数的底数特点；c.数学运算：待定系数法求指数函数解析式；d.直观想象：指数函数图像；e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；【教学重难点】重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；【教学过程】教学过程设计意图（一）、创设问题情境对于幂ax(a>0（二）、探索新知问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；……x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么y＝1.11x（x∈[０，＋∞））．①这是一个函数，其中指数x是自变量．问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3；……死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730．根据已知条件，（1-p)5730＝12,从而1-p=(12)1设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x，即y=((12)15730)x,（x∈[如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和(，那么函数y＝1.11x和y=可以表示为y=a指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1．思考辨析(1)y＝x2是指数函数．()(2)函数y＝2－x不是指数函数．()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√（三）典例解析例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；解：因为f(x)＝ax,且f(3)=π,则a3=π，解得a=π于是f(x)＝πx3，所以f(0)=π0=1，f(1)=π13=3π，f跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f-则f(－2)＝________.解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得aeq\s\up12(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).[规律方法]1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f（0）－g（0）＝412000．当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．开门见山，通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出研究课题：指数函数。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。探究问题：探究1.通过景区门票价格制定与参观景区人数，两个变量函数关系的建立，体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养；通过典例问题的分析，让学生体验实际问题分析方法，及指数函数变化特点。培养分析问题与解决问题的能力；探究2.通过生物体死亡时间与体内碳14含量，函数关系的建立，体会指数函数应用的广泛性，并建立指数函数的概念。体会由特殊到一般的研究方法，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养；通过典例分析，进一步熟悉指数函数的概念，及认识到指数函数变化迅速的特点；三、当堂达标1．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－x【答案】D[由指数函数的定义可知D正确．]2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）．【答案】C[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．]3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)[由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.【答案】eq\r(2)x[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝2，∴a＝eq\r(2)(a＝－eq\r(2)舍去)，∴f(x)＝eq\r(2)x.]通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的概念，及了解指数函数变化特点，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结1、指数函数概念函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.2.1指数函数的概念》导学案【学习目标】1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点)2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)【重点难点】重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；【知识梳理】指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?[提示]规定a大于0且不等于1的理由：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．(2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…时在实数范围内函数值不存在．(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.【学习过程】（一）、提出问题对于幂ax(a>0（二）、探索新知问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1．思考辨析(1)y＝x2是指数函数．()(2)函数y＝2－x不是指数函数．()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．()（三）典例解析例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f-则f(－2)＝________.[规律方法]1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．【达标检测】1．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－x2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）．3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.【课堂小结】1、指数函数概念函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.参考答案：二、学习过程（一）问题探究问题1：观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；……x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么y＝1.11x（x∈[０，＋∞））．①这是一个函数，其中指数x是自变量．问题2：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；死亡2年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2；死亡3年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3；……死亡5730年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730．根据已知条件，（1-p)5730＝12,从而1-p=(12)1设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x，即y=((12)15730)x,（x∈[０，＋∞））．如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和(，那么函数y＝1.11x和y=可以表示为y=a（二）探究新知思考辨析[答案](1)×(2)×(3)√（三）典例解析例1.分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；解：因为f(x)＝ax,且f(3)=π,则a3=π，解得a

=π于是f(x)＝πx3，所以f(0)=π0=1，f(1)=π13=3π，f跟踪训练1解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得aeq\s\up12(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).例2.解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．三、达标检测1【答案】D[由指数函数的定义可知D正确．]2【答案】C[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．]3【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)[由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]4【答案】eq\r(2)x[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝2，∴a＝eq\r(2)(a＝－eq\r(2)舍去)，∴f(x)＝eq\r(2)x.]《4.2.1指数函数的概念》同步练习一基础巩固1．下列函数一定是指数函数的是（）A. B. C. D.2．函数，x∈N＋，则f(2)等于()A.2B.8C.16D.3．函数是指数函数，则A. B. C. D.4．下列函数：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝3·2x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．35．指数函数y=f（x）的图象经过点（–2，），那么f（4）f（2）=A.8 B.16 C.32 D.646．若的图象过点，则______.7．若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，则f(x)＝___，g(x)＝___.8．已知指函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，(1)求f(0)的值；(2)如果f(2)＝9，求实数a的值.能力提升9．函数是指数函数，则实数（）A. B. C. D.或10．函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,3)，且在y轴上的截距为2，则f(x)的解析式为_____．11．给出下列命题:①与都等于(n∈N*);②；③函数与都不是指数函数；④若（且），则．其中正确的是____.12．已知函数，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．素养达成13．求下列各式的值．（1）指数函数的图象经过点，求的值；（2）；（3）若，求的值．4.2.1指数函数的概念答案解析基础巩固1．下列函数一定是指数函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选：D.2．函数，x∈N＋，则f(2)等于()A.2B.8C.16D.【答案】D【解析】由题意可得：.本题选择D选项.3．函数是指数函数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是指数函数，∴，解得，∴，∴．故选D．4．下列函数：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝3·2x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由题意可得y＝6x，y＝32x=9x为正整数指数函数，题中所给的其余函数不是正整数指数函数，即正整数指数函数的个数为2.本题选择C选项.5．指数函数y=f（x）的图象经过点（–2，），那么f（4）f（2）=A.8 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】设指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1），由函数图象经过点（–2，），可得a–2=，解得a=2．所以函数的解析式为y=2x，所以f（4）f（2）=24×22=64．故选D．6．若的图象过点，则______.【答案】2【解析】函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2．故答案为：27．若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，则f(x)＝___，g(x)＝___.【答案】【解析】设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα将（2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α解得a＝2，α＝2故答案为：f（x）＝2x，g（x）＝x28．已知指函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，(1)求f(0)的值；(2)如果f(2)＝9，求实数a的值.【答案】(1)1;(2)3.【解析】(1).(2)，.能力提升9．函数是指数函数，则实数（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】由指数函数的定义，得，解得或，故选D.10．函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,3)，且在y轴上的截距为2，则f(x)的解析式为_____．【答案】f(x)＝2x＋1【解析】由题意得a＋b＝3，又当x＝0时，f(0)＝1＋b＝2，∴b＝1，a＝2.∴f(x)＝2x＋1.所以函数的解析式为f(x)＝2x＋1.11．给出下列命题:①与都等于(n∈N*);②；③函数与都不是指数函数；④若（且），则．其中正确的是____.【答案】③.【解析】①错误,当为偶数,时不成立,②错误,,③正确,两个函数均不符合指数函数的定义,④错误,当时,,而当时,.故答案为③.12．已知函数，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．【答案】（1）a=1．（2）x的值为–1．【解析】（1）由已知得，解得.（2）由（1）知，又，则，即，即，令，则，又因为，解得，即，解得.素养达成13．求下列各式的值．（1）指数函数的图象经过点，求的值；（2）；（3）若，求的值．【答案】（1）1；（2）；（3）1【解析】（1）∵的图象经过点，∴，即，∴于是，∴（2）原式=（3）由已知得：《4.2.1指数函数的概念》同步练习二一、选择题1．下列函数中指数函数的个数是（）．①②

③

④A.0 B. C. D.2．若有意义，则的取值范围是（）A．B．C．D．3．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A．B．C．－1D．－14.函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（）A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠15．已知函数，则的值为（）A．81 B．27 C．9 D．6．放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（）A．10小时 B．8小时 C．12小时 D．15小时二、填空题7．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.8．已知则=__________.9．已知函数的值域为集合A，集合，则10.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/ml．那么此人至少过小时才能开车(精确到1小时)．三、解答题11．已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8，定义域为R的函数f(x)=g(x)-g(-x)．(1)求y=g(x)y=f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性；12．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．4.2.1指数函数的概念答案解析一、选择题1．下列函数中指数函数的个数是（）．①②

③

④A.0 B. C. D.【答案】B【解析】形如的函数称为指数函数.2．若有意义，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以即，故应选D.3．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A．B．C．－1D．－1【答案】D【解析】设平均增长率为