《4.1.1 n次方根与分数指数幂》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第１课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；2.理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质；3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：根式的概念；b.逻辑推理：根式与分数指数幂的互化；c.数学运算：根式的化简；d.直观想象：指数幂的运算法则；e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围；【教学重难点】重点：根式的概念、分数指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；【教学过程】教学过程教学设计意图（一）、温故知新1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×2.eq\r(4,16)的运算结果是()A．2B．－2C±2D．±eq\r(2)A[eq\r(4,16)＝eq\r(4,24)＝2.]3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()Aeq\r(4,m2)B.eq\r(5,m)Ceq\r(6,m)D.eq\r(5,－m)C[当m<0时，eq\r(6,m)没有意义，其余各式均有意义．]4．若x3＝－5，则x＝________.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，则x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]（二）、探索新知探究1n次方根的概念问题例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，则x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意义，求实数x的取值范围为________.(1)3；±2(2)±eq\r(6,2016)(3)[－3，＋∞]解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因为x6＝2016，所以x＝±eq\r(6,2016).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．[规律方法]n次方根的个数及符号的确定1.n的奇偶性决定了n次方根的个数；2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中无意义的有()A．1个B．2个C3个D．0个A[①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.]探究2利用根式的性质化简求值例2化简下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24)；[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.))跟踪训练2．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．[解]∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).探究3根式与分数指数幂的互化(1)观察以下式子,并总结出规律:(a>0)结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?；；总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；1.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)5＝eq\r(53).()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq\r(4,a2)＝a.()答案](1)×(2)×(3)×跟踪训练1.用根式表示下列各式:(a＞0)，，，2.用分数指数幂表示下列各式：；；；[规律方法]根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。合作探究：探究1.仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。发展学生数学推理能力；探究2.通过根式的化简，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力；三、当堂达标1．下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq\r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C3D．4【答案】B[①16的4次方根应是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.]2．已知m10＝2，则m等于()A.eq\r(10,2)B．－eq\r(10,2)Ceq\r(210)D．±eq\r(10,2)【答案】D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±eq\r(10,2).]3.把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))B．－(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))C-aeq\s\up12(eq\f(3,2))D．aeq\s\up12(eq\f(3,2))[答案]D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]4.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.【答案】1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]5.（设x<0，则(eq\r(－x))2＝________.【答案】－x[∵x<0，∴－x>0，∴eq\r(－x)2＝－x.]6．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．7.(1)若x<0，则x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值.思路探究：(1)由x<0，先计算|x|及eq\r(x2)，再化简．(2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.][解](2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.1.1n次方根与分数指数幂》导学案【学习目标】1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算性质；【重点难点】重点难点根式的概念根式的性质分数指数幂的意义指数幂的运算性质分式与指数幂的意义原式化简求值【知识梳理】1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，eq\r(n,an)＝a.(2)n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(1)(eq\r(n,a))n的含义是什么？[提示](eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂．(2)(eq\r(n,a))n中实数a的取值范围是任意实数吗？[提示]不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.自主小测；1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()2.eq\r(4,16)的运算结果是()A．2B．－2C±2D．±eq\r(2)3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()Aeq\r(4,m2)B.eq\r(5,m)Ceq\r(6,m)D.eq\r(5,－m)4．若x3＝－5，则x＝________.【学习过程】探究1n次方根的概念问题例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，则x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意义，求实数x的取值范围为________.[规律方法]n次方根的个数及符号的确定1.n的奇偶性决定了n次方根的个数；2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中无意义的有()A．1个B．2个C3个D．0个探究2利用根式的性质化简求值例2化简下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24)；跟踪训练2．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．探究3根式与分数指数幂的互化2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?；；(1)观察以下式子,并总结出规律:(a>0)结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；1.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)5eq\s\up12(eq\f(2,3))＝eq\r(53).()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up12(eq\f(1,2)).()跟踪训练3.用根式表示下列各式:(a＞0)，，，2.用分数指数幂表示下列各式：；；；[规律方法]根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．【达标检测】1．下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq\r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C3D．42．已知m10＝2，则m等于()A.eq\r(10,2)B．－eq\r(10,2)Ceq\r(210)D．±eq\r(10,2)3.把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))B．－(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))C-aeq\s\up12(eq\f(3,2))D．aeq\s\up12(eq\f(3,2))4.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.5.（设x<0，则(eq\r(－x))2＝________.6．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．7.(1)若x<0，则x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值.【课堂小结】利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。参考答案：一、知识梳理自主小测1.[答案](1)√(2)×(3)×2.A[eq\r(4,16)＝eq\r(4,24)＝2.]3.C[当m<0时，eq\r(6,m)没有意义，其余各式均有意义．]4.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，则x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]二、学习过程探究1：(1)3；±2(2)±eq\r(6,2016)(3)[－3，＋∞]解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因为x6＝2016，所以x＝±eq\r(6,2016).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．跟踪训练1A[①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.]探究2：[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.))跟踪训练2;[解]∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).探究3：答案](1)×(2)×(3)×:三、达标检测1.【答案】B[①16的4次方根应是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.]2.【答案】B[①16的4次方根应是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.]3.[答案]D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]4.【答案】1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]5.【答案】－x[∵x<0，∴－x>0，∴eq\r(－x)2＝－x.]7.思路探究：(1)由x<0，先计算|x|及eq\r(x2)，再化简．(2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.][解](2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))《4.1.1n次方根与分数指数幂》同步练习一基础巩固1．已知，则()A． B． C． D．2．下列各式正确的是（）A． B．C． D．3．已知x5=–243，那么x=A．3 B．–3C．–3或3 D．不存在4．=A.2 B.–2C.±2 D.45．已知，则化为（）A． B． C． D．6．若2x＝16，则x＝________.7．根式__________．8．计算：21能力提升9．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A. B.C. D.10．已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A．2 B． C． D．211．=______．12．计算题素养达成13．（1）计算：；（2）已知，求的值。4.1.1n次方根与分数指数幂答案解析基础巩固1．已知，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】，则.故选D.2．下列各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，，故D正确．故选：D．3．已知x5=–243，那么x=A．3 B．–3C．–3或3 D．不存在【答案】B【解析】∵x5=–243，∴x=．故选B．4．=A.2 B.–2C.±2 D.4【答案】A【解析】由题意，=|–2|=2，故选A．5．已知，则化为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选B.6．若2x＝16，则x＝________.【答案】【解析】函数在R上单调递增，又因为，所以.7．根式__________．【答案】【解析】.8．计算：21【答案】1【解析】21能力提升9．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A．（x≥0），因此不正确；B．（x≠0），因此不正确；C．（xy＞0），因此正确；D．，因此不正确．故选：C．10．已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B11．=______．【答案】【解析】，．故答案为：．12．计算题【答案】2【解析】化简.素养达成13．（