广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题【含答案解析】

玉林市2023年秋季期高一年级期末教学质量监测数学（试卷总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出补集，进而求出交集.【详解】由题意可得或，则.故选：A2.函数的定义域为（）A且 B.C.且 D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，故选：A.3.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正切公式化简得，由得最小，再利用幂函数与指数函数的单调性比较即可.【详解】由，又，所以最小；由幂函数在单调递增，所以；又由指数函数在上单调递增，所以，故，即；综上，.故选：A.4.若，且为第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函数关系得到，利用正切二倍角公式计算出答案.【详解】，且为第三象限角，故，，则.故选：D5.下列说法中正确的是（）A.若，且，则B.函数的图象是一条直线C.命题“，”的否定是“，”D.函数的最小值为4【答案】C【解析】【分析】利用作差法可得，即A错误；根据函数图象可知的图象是一系列的散点，即B错误；由含有一个量词命题的否定形式可知C正确；利用基本不等式可得等号不成立，所以D错误.【详解】对于A，利用作差法可得，由，且可得，所以，可知A错误；对于B，函数的图象是不连续的散点，并不是直线，即B错误；对于C，由含有一个量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，即C正确；对于D，当时，，则，当且仅当，即时等号成立，显然等号取不到，所以D错误；故选：C6.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.【详解】的图像向左平移个单位长度后为，由关于轴对称，即有，解得，又，故的最小值为.故选：C.7.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R.【详解】当，∴当时，，∵的值域为R，∴当时，值域需包含，∴，解得，故选：C.8.2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通过前2小时消除了20%的污染物求出，再令可求出答案.【详解】依题意有，可得，当时，因此，前6个小时消除了污染物的.故选∶B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列论述中，正确的有（）A.正切函数在定义域内是增函数B.若是第一象限角，则是第一或第三象限角C.锐角一定是第一象限的角D.圆心角为且半径为2的扇形面积是【答案】BCD【解析】【分析】由正切函数单调性判断选项A；列不等式求的范围判断选项B；由象限角的定义判断选项C；求扇形面积验证选项D.【详解】正切函数的单调递增区间为，在定义域内不单调，A选项错误；若是第一象限角，则，得，为偶数时，是第一象限角；为奇数时，是第三象限角，B选项正确；锐角的范围是，一定是第一象限的角，C选项正确；圆心角为且半径为2的扇形面积是，D选项正确.故选：BCD10.函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（）A.函数s=f（t）的定义域为[-3，+∞）B.函数s=f（t）的值域为（0，5]C.当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应D.当时，【答案】BD【解析】【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解【详解】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义域不是[-3，+∞），故A错误；对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，又当时，，则在上单调递增，故D正确；故选：BD11.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．当时，，，所以C错误．反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．故选：AD．12.已知函数，则下列选项中结论正确的是（）A.由可得是的整数倍B.函数为偶函数C.函数在为减函数D.函数在区间上有19个零点【答案】BC【解析】【分析】根据三角恒等变换求得的解析式，对于A，取特殊值，，即可得出判断，对于B，求出的表达式，由三角函数的奇偶性即可判断，对于C，当时，求得，结合正弦函数单调性即可判断；对于D，令，则，由题意解得，由此即可判断．【详解】由题意得函数，对于A，当时，，但不是的整数倍，A错误；对于B，是偶函数，B正确；对于C，当时，，由正弦函数在上单调递减，知在上为减函数，C正确；对于D，令，则，即，由，解得，因为，所以，因此在区间上有20个零点，D错误，故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：______．【答案】2【解析】【分析】根据指数和对数的运算公式进行求解.【详解】，故答案为：2.14.设函数，则_______．【答案】【解析】【分析】根据函数表达式代入即可得出答案.【详解】由题意，在中，，故答案为：.15.已知函数，，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由得到，再根据余弦函数图象和性质得到答案.【详解】因为，所以，所以由余弦函数图象和性质可知，所以的最小值为，故答案为：.16.若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为______．【答案】【解析】【分析】根据条件表示出，化简整理可得，结合k的范围可求出t的范围.【详解】由题意的，则，且，由题意可知，即，所以，因为，所以，则，又因为，且，则，则当时，成立，所以是满足条件的实数对.故答案为：【点睛】方法点睛：函数类新定义的题型，要紧紧围绕新定义的规则解题，由，代入函数解析化简，结合，且，求值即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知1与2是三次函数的两个零点.（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数零点的定义得，解方程即可得答案；（2）由（1）得，进而根据二次函数性质解不等式即可.【详解】解：（1）因为1与2是三次函数的两个零点所以根据函数的零点的定义得：，解得：.（2）由（1）得，根据二次函数的性质得不等式的解集为：所以不等式的解集为18.在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点.求:(1)的值；(2)的值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得；（2）把的二次齐次式化为的式子，再代入求值．【详解】(1)由三角函数定义可得:，所以，.又.所以，原式.(2).由.所以，原式.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查同角间的三角函数关系及诱导公式．三角函数公式较多，在理解基础上加强记忆是正确解决问题的关键．19.已知函数（且）在区间上的最大值是2．（1）求的值；（2）若函数的定义域为，求关于的不等式的解集．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，利用函数单调性和最值，求的值；（2）由的定义域为，求的值，利用单调性解对数不等式.【小问1详解】已知函数（且）在区间上的最大值是2．时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增，则有或，解得或.小问2详解】函数的定义域为，则恒成立，有，由（1）可知，，即，得，解得，即不等式的解集为.20.专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳．（1）试求的函数关系式．（2）若不听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由．【答案】（1）（2）和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目信息和图象，分和两种情况，代入点，求出解析式；（2）分和两种情况，得到不等式，解不等式求出解集，得到结论.【小问1详解】当时，设，将代入得，，解得，故，将代入得，解得，故，综上，【小问2详解】时，令，解得，时，，解得，故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节.21.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．【答案】21.22.【解析】【分析】（1）利用最值求，利用周期求，利用图象上的点，可得的解析式；（2）由函数图象变换得解析式，利用单调性结合区间端点处的函数值，判断实数的取值范围.【小问1详解】由图象可知，，最小正周期，，，，，则，所以.【小问2详解】的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，时，，其中时，，则在上单调递减，在上单调递增，，，在上有两个不等实根，则实数的取值范围为22.已知函数；．（1）解关于的不等式；（2）对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图象求得解集；（2）利用巧妙替换，将题设不等式转化成的不等式，