（江苏专用）高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第4讲 离散型随机变量及其概率分布练习 理-人教版高三数学试题

第十一章计数原理、随机变量及其分布第4讲离散型随机变量及其概率分布练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________.解析P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案0.792.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a值为________.解析∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).答案eq\f(1,55)3.设随机变量X的概率分布如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于________.解析由概率分布的性质，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)4.(2016·常州质检)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________.解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).答案eq\f(12,35)5.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.解析由于随机变量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每个数的概率均为eq\f(1,n).∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.答案106.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”可以表示为________.解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.答案ξ＝67.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.解析相应的基本事件空间有36个基本事件，所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的概率分布为________.解析η的所有可能值为0，1，2.P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的概率分布为η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)二、解答题9.(2015·重庆卷节选)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的概率分布.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的概率分布为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)10.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq\f(49,60).(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).所以随机变量X的概率分布是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若随机变量η的概率分布如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围是________.解析由概率分布知：P(η＜－1)＝0.1，P(η＜0)＝0.3，P(η＜1)＝0.5，P(η＜2)＝0.8，∴当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围为1＜x≤2.答案(1，2]12.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值为________.解析因为P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，所以eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝eq\f(4,5)a＝1.∴a＝eq\f(5,4)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)13.(2016·泰州一模)不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次.设两次取出的小球上的数字之和为ξ，求随机变量ξ的概率分布.解由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝eq\f(2,10)×eq\f(2,10)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,10)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(2,10)＝eq\f(3,25)，P(ξ＝4)＝eq\f(2,10)×eq\f(5,10)＋eq\f(5,10)×eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(29,100)，P(ξ＝5)＝eq\f(3,10)×eq\f(5,10)＋eq\f(5,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝6)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,10)＝eq\f(1,4).所以随机变量ξ的概率分布为ξ23456Peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(29,100)eq\f(3,10)eq\f(1,4)14.(2016·南通调研)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求随机变量X的概率分布.解(1)由题意知，x，y可能的取值为1，2，3，则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3.因此，随机变量X的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，所以P(X＝3)＝eq\f(2,9).故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为eq\f(2,9).(2)X的所有取值为0，1，2，3.当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，当X＝1时，有x＝1，y＝