2023年上海市高考数学考前20天复习-10 解三角形大题综合教师版

10解三角形大题综合

1.（2023•上海•高三专题练习）己知工ABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c.

（1）若α=2b=Gc,,ABC的面积S=后，求c；

（2）若cosA=cosB=也cosC,求SinC.

【答案】（1）4：（2）巫.

3

【分析】（1）由给定条件求出CoSC,再由三角形面积公式即可求解；

（2）由题设条件得4=8,再由三角形内角和定理及二倍角公式建立方程求解即得.

【详解】（1）—45C中，令α=2√5f,则6=√5f,c=2f,

+j2―c2∖2t2+3t2-4t2_11

山余弦定理得COSC=sinC=Vl-cos2C=

2ab2-2√3∕∙√3r~li12

因为43C的面积S=岳，所以La加inC='2八∙√5∕∙0∙=岳,

2212

解得/=2,所以c=4；

(2)因函数y=cosΛ^在(0,π)单调递减，由cosA=cosB,

得A=B，8为锐角，COSC=COSor-A-3)=-CoS23,

XcosB=∖∣3cosC>BPWcosB=-ʌ/ɜcos2B,cos2B=2cos2B-1»

/ɔ/ɜ

2√3COS2B+COSB-√3=0,解得CoSB=土或COSB=-J(舍公)，

32

则CoSC=鬻j所以SinC=述.

√333

2.(2023•上海•统考模拟预测)在ΛBC中，角A,B,C对应边为α,b,c,其中6=2.

⑴若A+C=120。，且α=2c,求边长c；

o

(2)若A-C=15,¢7=72csinA,求二AfiC的面积Sabc.

【答案】(1)友

⑵3-√5

【分析】（1）利用正弦定理以及=角恒等变换的知识求得c.

（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】（I）依题意，a=2c,

由正弦定理得sinΛ=2sinC,即Sin（1200-C）=2sinC,

—cosC+ɪsinC=2sinCtanC=-,

223

由于0°<C<120°,所以C=30°,则A=90°,8=60°,

.cb⅛sinC2

由正弦定理得.R-=一于二一Γ^∙

SinCsinBsinB√33

~2

（2）依题意，a=∖∕2csinA

由正弦定理得SinA=J^SinCSinA，

由于15。<4<180。,sinA>O,所以SinC=也,

2

由于A—C=15°>0,所以C为锐角，所以C=45。，

则A=60"=75°,

sin75°=sin（450+30o）=sin45ocos30°+cos45osin30°=,

cbbsinC2x/ɔ4ʌ/ɜ-1）（∣-、

由正弦定理得碇=而万,C=FF=京Q=夙ɪ[®L）=2（后-1）,

4

所以Sz⅛,A0c=g%csinA=；x2x2（G-l）x^^=3-75.

3.(2023•上海•高三专题练习)已知函数/(x)=fsinx-cosx(rWR)

(1)若函数”χ)为偶函数，求实数/的值;

⑵当f=6时，在AfiC中(A8,C所对的边分别为a、b、c),若/(2A)=2,c=3,

且JWC的面积为26，求”的值.

【答案】(IH=O

√73

(2)a=------

3

【分析】(1)根据偶函数满足f(r)=∕(x),即可求解.

(2)先有辅助角公式得"x)=2Sin(X-T,代入"2A)=2,即可求解A=1,然后根

据余弦定理即可求解.

【详解】（1）任取XWR-X）=TSinX-CoSX

因为函数/(x)为偶函数.所以

/(τ)=∕(x)nt=0

(法二：特值法，再验证)由函数”X)为偶函数知个方卜图，(可取不同特殊值)

得T=t,/=O

又当」=0时，/(X)=-CoSX,函数/(x)为偶函数，.∙.f=0.

(法三：观察法，需举反例)f(x)=tsinx-cosx,

f=0时，函数/(X)为偶函数，F(X)=-COSX

任选Xe凡/(-x)=-COSX,则有XeR,"-x)=-cosx="x)

当r≠0时，举反例,如/用端卜°，/(-加图≠°,

此时/(x)为非奇非偶函数,所以，函数〃x)为偶函数时f=0;

(2)当f=当时,/(X)=百SinX-cosX=2sin(x-1],

由“24)=2,则有2sin°A-弓)=2,A∈(0,π)=>A=^

由题意S=—besinA=2Λ∕3=>b=-f

23

在，ASC中，a2=b2+c2-2⅛ccosA=f-1+3?-2x9x3Xj=二，

⑶329

则”叵

3

4.(2023•上海静安•统考一模)平面向量m=(39也依0$2外,〃=((：0§乂-\/^),函数

y=fW=fn∙n+-.

(1)求函数y=fM的最小正周期；

TT

(2)若xe[0q],求)，=/*)的值域；

(3)在4A8C中，内角A、B、C的对边分别为久b、c,已知/(B)=α=2,⅛=√7,

求^ABC的面积.

【答案】⑴无

⑶述

2

【分析】(1)利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到/(x)=6Sin∣2x-?

然后求最小正周期即可；

(2)利用换元法和三角函数单调性求值域即可；

(3)利用余弦定理得到c,然后利用三角形面积公式求面积即可.

【详解】(1)

m∙n=3sinXCOSX-y∣3cos2X=-sin2x-^~cos2x=y/3sin(2x-,

222V6√2

所以/(x)=GSin(2Xq)

最小正周期为).

/c、»rɪC兀八兀TC5τr

(2)⅛,//=2%——,X∈0,—,——≤χ/≤,

6L2」66

TJsin〃在-U上严格增，在ɪ,ɪ上严格减，sin(-g)=-4，sin竽=!，

_OZJ[_Zoj∖O√Z62

「√3'

Sing=I,所以y=F(X)的值域为―一,6.

(3)f(B)=ʌ/ɜ»即Sin(28一看)=1,

因为8为三角形内角，所以3=q.

4÷r2—71

cosB=------------=—»即c'-2c-3=0,解得c=3∙

2×2×c2

所以△A3C的面积为LQCSin5=3χY^=2叵.

222

5.(2023•上海嘉定•统考二模)已知向量α=(sinx,l+cos2x),〃=(COSX,g),/(x)=tz∙⅛.

(1)求函数y=∕(x)的最大值及相应X的值；

7Ir

(2)在ABC中，角A为锐角，且A+B=F，/(A)=1,BC=2,求边AC的长.

【答案】(1)最大值也土!■，此时x=g+Zπ,Ar∈Z≡

28

(2)AC=√6

【分析】(1)利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数y=∕(χ)

的解析式，再由正弦函数的性质求解；

(2)由(1)求出角A的值，再利用正弦定理求出AC边的长作答.

【详解】⑴依题意,

ʃ,、cos2x+l1/.cc、16.,C兀、1

t(x)=CosxsinX+-----------=—(sɪn2x+cos2x)+—=——sm(2x+—)+—

222242

当2x+；=]+2E,即x=]+E,A∈Z时，y=∕(H取最大值与1.

(2)由(1)及/(A)=I得：4sin[2A+；]+，=l,即Sinl2A+；)=也,

因…%则KA+：哼因此,2呜咚则A/

而A+8=詈，有B=,

∙R2sin-

BC得，4c='CsmB=——1=@

在.4BC中，由正弦定理

sinAsinBsinASin'

、4

所以边AC的长为指.

53

6.（2023•上海黄浦•统考二模）在ABC中，cosΛ=--,cosB=^.

（1）求SinC的值;

（2）若AB=4,求ASC的周长和面积.

【答案】（1）兽；

OD

（2）周长32,面积24.

【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得SinC的值;

（2）先利用正弦定理求得JlBC的。力的长，进而求得二ΛBC的周长和面枳.

53

【详解】(1)在ABC中,cosA=--,cosB=-,又A3∈(θ,π),

则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosASin3=百、，+1一■JXW=函.

(2)C=AB=4,XsinA=—,sinB=-sinC=-

135t65

4

12一

•nA•B5

SL-m

-C13S∙iCC-

则由正弦定理得。∙C×4=15,Z?=×4=13,

S1n16

一sl16

in一

6565

则的周长为15+13+4=32

45C的面积为,"sinC=Jχl5χ13χ3=24.

2265

7.（2023•上海金山•统考二模）在ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、氏c,

已知α=2√∑,C=45o.

⑴若SinA=√5sin8,求c；

(2)若B-A=15。,求.ABC的面积.

【答案】(I)C=2

(2)2+—

3

（分析】（1）根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.

（2）先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.

【详解】（1）由SiIlA=夜sinB,应用正弦定理得“=啦匕=20,."=2.

2=8+4-2x2&x2x正=4,即得c=2.

2

B-A=I5°

（2）因为

β+A=135o

2√2c_J_

又由正弦定理得语=近‘°=耳’

TT

Sabc=ɪizcsinβ=-×2>j2×sin75?=ɪ×2∖∣2×-i∙×=2+.

22ʤ243

8.（2023•上海松江•统考二模）在锐角.ABC中，内角A、B、C所对边分别为。、b、c,

且2匕SinA=百〃.

（D求角B;

⑵求cosA+cos8+cosC的最大值.

【答案】（呜

【分析】（1）根据正弦定理得2sinBsin4=石sin4,则SinB=也，结合角8的范围即

2

可求出角8的大小.

（2）通过三角恒等变换得CoSA+cosB+cosC=sin（4+S）+g,结合角A的范围即可得

到其最值.

【详解】（1）由2。SinA=GQ结合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA,

因为ABC为锐角三角形，所以SinAW0,

所以SinB=»

2

BeM,故3吟

（2）结合（1）的结论有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

=COSALSA+立sinA+l=^sinA÷icosA÷i

222222

=sinA÷-+ɪ

62

0<2兀一A<Z

32rZMπ.π

山＜,可得:∙ς<A<;,

0<ΜO2

π

当A=1时,sin(A+%I=1，

6max

即COSA+cosB+cosC的最大值是∣∙.

9.（2023•上海闵行•统考二模）在，ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、

已知SinA=Sin28,a=4,b-6.

⑴求CoSB的值；

（2）求A5C的面积.

【答案】（I）COSB=g

⑵80

【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.

（2）根据余弦定理可得c,由cos5可得sin5,进而可得面积.

【详解】（1）在ABC中，由正弦定理‘二=々，

sinAsinB

又SinA=sin2B=2sinBCoSB,

a

g、i⅛ππ46

2sinBcosBSinB2sinBcosθsinB

解得CoSB=g；

（2）由（1）得cos8=:,则sin8=述，

33

6

又由余弦定理COS8=M^~-==1,c>0,

Iac2X4c3

解得c=6,

所以S=LCSinB=JX4x6x2夜=8后.

223

10.(2023•上海•高三专题练习)已知X∈凡机=(2cosx,2百sinX),n=(cosx,cosx),

⑴设ʃ(ɪ)=加∙〃，求函数y=/(x)的解析式及最大值;

⑵设AABC的三个内角人民C的对边分别为&Ac,当%=A时，机=Q〃，且c=26，

求的面积.

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+?)+l,最大值为3.

⑵石或

【分析】(1)利用向量数量积的运算、降次公式、辅助角公式对f(x)的表达式进行化

简，进而求得f(x)的最大值.

(2)利用向量共线求得4,A,利用余弦定理求得分,由此求得三角形ABC的面枳.

【详解】(I)/(x)=2cos2X+2∖∕3sinxcosX=ʌ/ɜsin2x+cos2x+l

=2sin0x+,+l,f(x)的最大值为3.

(2)X=A时，m=an，

(2cosA,2√3sinA)=(acosA,acosA),

.A=acosA

=>a=2,tanA=—,

CsinA=acosA3

TT

由于OvAv乃，所以A=：,

6

由余弦定理得储=从+/一CCoSA,

h

4=⅛2+12-2⅛×2√3×-,从一60+8=0,

2

解得匕=2或b=4.

当6=2时，S^ABC=^⅛csinA=^×2×2>∕3×^=ʌ/ɜ,

当方=4时,5Az(C=gbcsinA=gχ4χ2√5xg=2√5.

11.(2023•上海崇明•统考二模)在4ABC中，a,b,C,分别是内角A,B,C的对边,

机=(20+c,b),〃=(COS3,CoSC),帆〃=0.

(1)求角8大小；

/7t1兀2兀

(2)设/(x)=2CoSKSinx+--2sin2xsinB+2sinxcosxcos(A÷C),当XE—,——时,

k3√L63」

求/("的最小值及相应的尤

【答案】(1)8=个9JT

7τr

(2)当X=在时，/(x)有最小值一2.

【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；

（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为

“x）=2sin（2x+g）,最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的X值.

【详解】（1）由己知条件得a∙〃=（24+c）cosB+Z?COSC=0,

由正弦定理得（2SinA+sinC）COSB+sinBCoSC=0,

即2sinAcosS+sinCcosB+sinBcosC=O,2sinAcosB÷sin(B+C)=0,

则2sinAcosB+sinA=0,

VsinA≠0,.'cosB=--,

2

ɔjr

又∙.∙3∈(0㈤,Λβ=y;

(2)/(ɪ)=2cosxsin^x+^-2sin2XSin8+2SinXCOSJICoS(A+C)

ɔ(ɪ.ʌ/ɜ]∕τ.2,∙

=2COSx-sιnx÷——cosx-√3smx÷Sinxcosx

122J

=2SinXCosx+bcos2ʃ-ʌ/ɜsin2x

=sin2x+>∕3cos2x=2sin∣2x+]J.

π2π~]CπΓ2π5π^l-,八.(C∕τ

*∙*x∈—,—.2xH—∈—,—,—2≤2sin2xH—≤y∣3,

L63J3L33J(3J

则f(x)的最小值一2,其中2%+方=与，即当X=^l时，“X)有最小值一2.

12.（2023•上海•高三专题练习）如图，在扇形AOB中，点C为AB上一点，D,E分别

sin2ZDCEsinZCDEsinΛCED3

为线段。4,0B上的点,且COJ_OA,CE_L08,

sin2ZCDE+sin2ZCED-sin2ΛDCE4

(1)求/AOB的大小；

(2)若扇形的半径为30,求ACDE面积的最大值.

【答案M呜

力225√3

4

【分析】(1)在△口?£中利用正弦定理进行角化边转化，再结合余弦定理及同角的三

角函数关系式得到关于CoSNf>CE的一元二次方程，进而得到∕Σ>CE,可知/AO5和

NoCE互补，可求得/AOB；

(2)连接0C,设NAOC=，(0<θ<^),利用锐角三角函数可得到8和CE,结合

三角形面积公式SAoC£=；xC。XCEXSinNDCE,利用三角恒等变换化简，由三角函数的图

像及其值域即可求解.

【详解】(1)在ADCE中，由正弦定理得：%咎E=Y，又由余弦定理得：

CE2+CD~-DE“4

2

CE∙CD∙sinZ.DCE3z.λ.2八C八八

∖VLf------------------小左»化间得：2sm^Z.DCE÷3cos/DCE=0，

2义CE义CD×cosNDCE4

即20-c(√NDCE)+38SZDCE=O=QCOSNDCE+l)(cosNDCE-2)=0,

]2TT

解得：COSNDCE=--，COSZDcE=2(舍去)，0<ZDCE<π,则NOCE=一，

23

TT

又CDLOA,CE工OB,.∙.ZDCE+Z4QB=π,所以ZAoB=—.

3

TrTr

(2)连接。C,可得OC=30,设ZAoC=6(0<θ<-),则NBOC=5-9,

在氏。£)(7中，8=30Sin氏在用OEC中，CE=30s陪旬,

所以，CDE的面积S=ɪ×CD×CE×sinZDCE=ɪ×30sinθ×3Osin-6,jχsin

=225GsinCoSO—;Sinθ[=225χ∕^[弓SinOcosO—ɪsin2θ)=2256(乎Sin21θ+ɪeos20—；

1∙Ucc兀、11225√3.(CCπ}225√3

=225√3-sin20+-——=———sin2Θ+--------—,

_2I6)4」2Vðj4,

_225>∕3.(CCπ∖225G.八π

即hπS=———sin2<9+--------—(zr0<Θ<-),

2I6；43

因为0<0<三，所以m<29+[<∙,则当2。+?=1=。=]时，即C为AB中点时，

3666626

CDE的面积S取得最大值Sa=管@.

4

13.(2023•上海•高三专题练习)如图，圆内接四边形ABCD中，cosB=-5，A。=BC=3,

CD=5.

(1)求边AC的长；

(2)设∕84C=α,ΛACB=β,求sin(2α+Q)的值.

【答案】(1)回；

⑵迎

10

【分析】(1)利用圆内接四边形的性质，结合余弦定理计算作答.

(2)在中，利用正弦定理求出Sinα,再利用诱导公式、差角的正弦公式计算作

答.

(1)

4

圆内接四边形43Cf)中，3+。=%,cosO=-CosB=M,

4

⅛∆ACDψ,由余弦定理得AC?=%。?+。。?一2AQ∙CZ)COsO=9+25-2χ3x5XW=I0,

所以边AC的长是Ji6.

(2)

2

依题意，sinB=Vl-cosB=ɪ,在AABC中，a+β=π-B18为钝角,

3

3x

由正弦定理得：∕⅞=旦，W..：n.T_gCsinB_5_97i0,

sιn8sιnaSma-二^一前一寸

而α为锐角，则COSa=更运

50

所以Sin(2α+分)=sin(万一8+α)=sin(8-α)=sin8cosα-cos8sina

313√IO49√IO3√IO

=-X----------------1-----X-------------=-------------.

55055010

14.(2023•上海•高三专题练习)在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为小b,0且

cos(B+C)a

cosC2b+c

⑴求角4；

(2)若b=l,cosC=,求α,

7

■依心、〃.2π

【答案】（1）4=7

(2)a=H,c=2.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解;

（2）求出SinB,再利用正弦定理得解.

(1)

解：因为c°s(B+C)a匚匚“cosAa

-----,所以------=———

cosC2b+ccosC2⅛+c

CoSAsinA

由正弦定理得-

cosC2sinB+sinC

所以2sinβ∞sA+sinCcosΛ=-cosCsinΛ,

所以2sinBCOSA=—(cosCsinA+sinCcosA),

即2sinBcosA=-sin(A+C)=-sinB.

因为sin6wθ,所以CoSA=-g

因为Ae（O,乃），所以A=

(2)

r2√7?而

解：若cosC=---γ-»C∈(θ,τr),则SinC=1-

7

~7~7

SinACoSC+coSASinC=迫Xm+J4x叵=虫

则sin6=sin(A+C)=

27V2j714

b

由正弦定理得√ΣT-G一⑨，

sinBsinAsinC

1427

解得α=>∕7.c=2.

15.（2023•上海•高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其

标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体,

屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不

到2毫米.

图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.

图1图2

图3

如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AA'∕∕PP,∕∕θσ∕∕BB',

其中A4'=280米；圆心距OO'=160米：半径R=75米：椭圆中心P与圆心。的距离

PO=40米，C、C'为直线PP与半圆的交点，NCoB=60。.

（1）设α=∕4'AB,计算Sina的值；

（2）计算NCoP的大小（精确到1°）.

3

【答案】（1）（2）24.

【分析】（1）由。。'为等腰梯形WA'中位线，根据对称性易知CoSa="二?,进

2OA

而可求sine.

（2）结合（1）可得α的大小，由正弦定理有SinP=空驾”二，即可求一尸，在

△CPO中即可求NCoP.

【详解】（1）由。0'为等腰梯形ABffA;中位线,

280—160

・・・根据对称性有--2__4，

755

・•3

・.sιnα=一.

5

(2)由Λ47∕Ocr由(1)知⑷。3=Z4'AB=α,则ZPCO=400'=60。一ɑ.

OCOP

•••在Ab。中，由正弦定理嬴7=sin(60。-0，即

ooo

.,,OC∙sin(60-a)75(sin60cosa-cos60sina)l,ll12百-9

sɪnP=---------------=--------------------------,则SinP=-------------，

OP4016

结合(1)可得：/P=132.56°,α=36.87°

NCoP*24。.

16.(2023•上海•高三专题练习)某公园要建造如图所示的绿地OABC,OA,OC为互

相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且

π

/BAO=/BCO,设NBAO=α(0<a<-).

2

JT

（1）当A5=4,a=§时，求AC的长；（结果精确到0.1米）

（2）当AB=6时，求。4BC面积S的最大值及此时ɑ的值.

【答案】（1）11∙6米

（2）当α=小时，养殖场OABC最大的面枳为180+18平方米

O

【分析】（1）在ASC中，根据余弦定理求解即可；

（2）当48=6时，可得5=2*308*84*$治（,一&）,再化简可得5=18&$也（2&-：1+18,

再根据正弦函数的最值分析即可

yrTi7iSTT

【详解】（1）在一ABC中，AB=4,BC=8,ZABC=2π----------=一，由余弦定

3326

理，AC1=AB2+BC2-IABBC-cosZABC=80+32√3-⅛AC=√80+32√3≈11.6•

因此AC的长约为11.6米.

C

B

■TTΛ7Γ

（2）连接08.由题意，AB=BC=6,ZABO=ZCBO=π---a=--a,

44

由正弦定理BC

在^OBC中,0~=得06=6&sina.

smaSinZBOC

于是S=2x；O8x8AXSin（，一α）=36λ∕∑sinasin（？-α）=36>∕2sina^-^-cosa+ɪ-sinɑ

=36SinaCoSa+36si∏2a=18sin2α+18（1-cos2a）=18\/5sin（2a-；）+18,0<<z<ɪ.'⅛

2α-g=g,即α=肆时，S取到最大值，最大值为18√∑+18∙因此，当C=理时,

428o

养殖场QRC最大的面积为18√∑+18平方米

17.（2023•上海•高三专题练习）在ΛBC中，角A、8、C所对的边分别为。、b、J

已知2戾inA-石α=0,且8为锐角.

（1）求角B的大小；

（2）若3c=3α+麻，证明：ΛBC是直角三角形.

【答案】（呜

⑵证明见解析

【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得SinB=电，再由B为锐角即可求解（2）利用

2

正弦定理边化角之后再消元，可得Sin（C-5）=；,再结合C的范围即可得证

【详解】（1）由正弦定理可知，号=上，

SinASinB

2〃SinA-∖∣3a=O,.,.2sinBsinA=GSirL4

又在一ABC中，SinA>0,.∙.2SinB=百，即SinB=3，

5为锐角，.∙.8=q

(2)3c=3a+∖∣3b

n1

所以由正弦定理得：SinC=sinA+sinθ=SinA+—，

32

+L/C+∖nC+L

又A=τr-(B+C),.∙.SinC=Sin+C

2222

即ɪsinɑ——cosCsinfC-q］二，»

222{3)2

C6沙Tdga

故可得C-J=B,

36

即C=f

二.ABC为直角三角形.

18.(2023•上海徐汇•统考二模)已知向量m二(2GCOSj-2s呜)，∕?=^cos∣∙,cos∣^∣,

函数y=f(x)=fn∙n.

(1)设夕£,且/(e)=6+ι,求e的值；

⑵在ABC中，AB=l,/(C)=√3+1,且ABC的面积为乎，求SinA+sin5的值.

【答案】(1)-9或!

26

(2)1+3

2

【分析】(1)化简得至∣]∕(x)=2COS(X+宗)+石，代入数据得到CoSB+e)=；,得到

0+-TJT=2⅛π+J^T(⅛∈Z),根据范围得到答案.

63

(2)确定C=£,根据面积公式得到"=26,根据余弦定理得到/+〃=7,得到

6

a+b=2+6,再根据正弦定理得到答案.

【详解】(I)/(ɪ)=2∖∕3cos2--2sin—cos—=^/ɜ(1+cosx)-sinx=2cos∣x+&)+G.

222I6J

/(0)=2cos^+^+√3=^+l,得cos,+R=g,

故e+m=2fat±g(ZGZ),θej-g,g］,故，=_?或［.

632226

π

(2)C∈(O,π),由(1)知C=一,

6

在《ABC中，设内角A、3的对边分别是α,h,则S=∙^=1出?Sin工，故ab=.

226

2222

由余弦定理得1=/+⅛-2tz⅛cos^=tz+⅛-6,故/+⅛=7.

6

〃=2Q=¾∕3L

解得「或，于是α+人=2+6，

b=yJ3[b=2

-TE,口sinAsinBsinC1,,1J3

由正弦定理得----=---=---=—,⅛sinA+sinB=-(«÷⅛)=1+—.

ab\222

19.(2023•上海•高三专题练习)ABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、氏c,满

^b2=a2+c2-ac•

（1）当A为何值时，函数y=2sin2A+cos（与丝）取到最大值，最大值是多少？

⑵若…等于边AC上的高人，求Sin（CU）的值.

【答案】（I）A=5时，y=2sin2A+cos（C券）取得最大值，最大值为2；

（2）y.

【分析】（1）由余弦定理求出B=1,对丫=25也24+8“^^）恒等变形得到

y=1+sin（2A-J利用整体法求解出最大值：

（2）先利用三角形面积公式和正弦定理得到SinASinC=SinC-SinA,再使用和差化积

C-A3C-AC-A13

等得到Sin三2==-sin?,解方程求出：sin三C=;或舍去不合要求的解，

242222

求出答案.

【详解】（1）由〃=/+/—“C得：COSB="C"^^J

2ac2ac2

因为Be（0,π）,所以B=T，

,兀ɔ

π------A-3A

y=2sin2A+cos(———I=l-cos2A+cos3

2

(π\ππ

=1-cos2A÷cos——2A=1-cos2A+cos—cos2A+sin-sin2A

13)33

=IH-----si∏2A——cos2A=1÷sin∣2Λ--I,

22I6J

因为4e(θ,胃所以2A=｛一亮)

所以当2A-2=2,即A=E时，y=2sin2*7A+cosC-3A=l+sin（2A用取得最大值,

6232

最大值为2；

(2)由(1)知:5=

由三角形面积公式得：ɪɑesinB=gbh=∣⅛（c-a）,

从而。CSinB=b(c-Q),由正弦定理得：sinAsinCSinB=Sinβ(sinC-sinA),

因为SinB=立，所以SinASinC=SinC-sinA,

2

沁in22c。Sxin4=s3

由和差化积得：SinC—SinA=2cos

22222

ras..ɔC+A,^C-AI-cos(C+Λ)1—cos(C—A)

因为sin-----------sιn^--------=-----------------L------------------------

2222

cos(C-Λ)cos(C+A)cosCcosΛ+sinCsinΛ-cosCcosΛ+sinCsinA..,

---------------------------------------------------------------=sinCsinA,

222

U匚∙zɔ∙A.20*+A.2C—A.2冗―B.2C-A3.2C-A

所以SIneSInA=SIn---------sin--------=sin----------sin-------=——sin--------

222242

I.；.C-A3.2C-A缶9俎.C-AIT3

故SIn-------=--sm--------,解得：sin--------=一或一一，

242222

因为sinC^4∙e(-l,l),

所以SinCd="

22

20.