（江苏专用）高考数学 专题11 算法、复数、推理与证明 81 复数 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应用复数的几何意义.训练题型(1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与应用；(4)复数的几何意义的应用.解题策略(1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系.1．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是实数，则t＝________.2．(2015·安徽屯溪一中月考)若复数z满足(1＋eq\r(3)i)z＝2eq\r(3)i(i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点在第________象限．3．若z＝sinθ－eq\f(3,5)＋(cosθ－eq\f(4,5))i是纯虚数，则tan(θ－eq\f(π,4))＝________.4．(2015·山东日照一中阶段检测)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.5．设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,3－i)为纯虚数，则实数a的值为________．6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＋b＝1，现有如下三个结论：①z可能为实数；②z不可能为纯虚数；③若z的共轭复数为，则z·＝a2＋b2.其中正确结论的个数为________．7．(2015·苏北三市高三第二次调研考试)已知i是虚数单位，实数a，b满足(3＋4i)(a＋bi)＝10i，则3a－4b的值是________．8．(2015·江苏阜宁中学调研)若复数z＝i＋i2016，则＋eq\f(10,z)的模等于________．9．(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若eq\f(z1,z2)对应的点在复平面内的第四象限，则实数a的取值范围为________________．10．若复数z满足z＋i＝eq\f(3＋i,i)(i为虚数单位)，则|z|＝______.11．下列命题中正确的是________．①已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的充要条件；②当z是非零实数时，|z＋eq\f(1,z)|≥2恒成立；③复数z＝(1－i)3的实部和虚部都是－2；④设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则eq\f(\x\to(z),z)＝－i.12．已知复数z＝1－i在复平面内对应的向量为Oeq\o(Z,\s\up6(→))，把eq\o(OZ,\s\up6(→))按逆时针方向旋转θ得到一个新向量eq\o(OZ1,\s\up6(→)).若eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应一个纯虚数z1，则当θ取最小正角时，z1＝________.13．若复数z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，eq\x\to(z1)＋z2是实数，则实数a＝________.14．已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：C→R满足对任意的z1，z2∈C，以及任意的λ∈R，都有f(λz1＋(1－λ)z2)＝λf(z1)＋(1－λ)f(z2)，则称映射f具有性质P，给出如下映射：①f1：C→R，f1(z)＝x－y，z＝x＋yi(x，y∈R)；②f2：C→R，f2(z)＝x2－y，z＝x＋yi(x，y∈R)；③f3：C→R，f3(z)＝2x＋y，z＝x＋yi(x，y∈R)．其中具有性质P的映射为________．(写出所有满足条件的映射的序号)答案解析1．－eq\f(3,4)2.一3.－74.3＋4i5.36．2解析当b＝0时，a＝1，此时z＝1为实数，故①正确；当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，故②错误；z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，故③正确．7．0解析∵(3＋4i)(a＋bi)＝10i，∴(3a－4b)＋(4a＋3b)i＝10i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝0，,4a＋3b＝10，))∴3a－4b＝0.8．6eq\r(2)解析z＝i＋i2016＝1＋i，＝1－i，∴＋eq\f(10,z)＝1－i＋eq\f(10,1＋i)＝1－i＋10×eq\f(1－i,2)＝6－6i，其模为6eq\r(2).9．(－6，eq\f(3,2))解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－ai,1＋2i)＝eq\f(3－ai1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(3－2a,5)－eq\f(6＋a,5)i，因为eq\f(z1,z2)对应的点在复平面内的第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,6＋a>0，))解得－6<a<eq\f(3,2).10.eq\r(17)11.②③12.eq\r(2)i解析因为旋转时复数的模不发生变化，又z＝1－i在复平面内对应的点在第四象限，所以复数z1在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，所以z1＝|1－i|i＝eq\r(2)i.13．3解析eq\x\to(z1)＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝(eq\f(3,a＋5)＋eq\f(2,1－a))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i，∵eq\x\to(z1)＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.14．①③解析设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则λz1＋(1－λ)z2＝[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]i.对于①，f1(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，而λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)＝λ(a－b)＋(1－λ)(c－d)＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，∴f1(λz1＋(1－λ)z2)＝λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)，所以f1具有性质P；对于②，f2(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]2－[bλ＋d(1－λ)]，而λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)＝λ(a2－b)＋(1－λ)(c2－d)，显然f2(λz1＋(1－λ)z2)与λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)不恒相等，所以f2不具有性质P；对于③，f3(λz1＋(1－λ)z2)＝2[aλ＋c(1－