第三章 圆锥曲线的方程（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学知识手册（新教材）

第三章圆锥曲线的方程（公式、定理、结论图表）

「、思维导图

［用平面截圆锥］

匚椭圆，双曲段I找物线

三种圆维曲线的定义

I坐标法

三种圆锥曲线的标准方程］落图

顶点

三种BB锥曲线的几何性质对称性

▼离心率］

三种Bl维曲线的应用渐近线

（双曲线）

知识梳理

一、椭圆的定义

平面内与两个定点尸2的距离的和等于常数（大于IBF2∣）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆

的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题

（1）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆.

①若IMGl+1MgH《玛I,M的轨迹为线段F1F2；

②若IM用+∣M^∣VKg∣,M的轨迹无图形

二、椭圆的方程及简单几何性质

标准方程'+g=l(α>Z>>O)^i+^2=l(fl>⅛>0)

范围-α^X一〃且一A≤y≤5-bWxWb且一0Wv∙α

顶点Aχ(一4,0),—2(〃,0),3ι(0,­b),5?(0,b)Aι(0,­a),A?(0,α),bɪ(一10),吕式瓦。)

轴长长轴长=2m短轴长=25

焦点-1(-c,0),-2(c,0)Pl(0,­c),—2(0,C)

焦距I尸1BI=2C

对称性对称轴X轴和y轴,对称中心(0,0)

三、椭圆的焦点三角形

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正

弦定理、余弦定理.

以椭圆7+方=l(α>)>0)上一点P(Xo,yo)(yo≠O)和焦点外(」,0),尸2(，,0)为顶点的4尸尸1尸2中,若/尸1尸尸2

=θ,则

⑴椭圆的定义：∖PFl∖+∖PF2∖=2a.

222

(2)余弦定理：4c=∣PF,I+∣PF2∣-2∣PFι∣∣PF2∣∙COSθ.

(3)面积公式：S∆PFiF2=∣∣PFι∣∣PF2∣∙sin0,当仇|=从即尸为短轴端点时，S"Fg取最大值，为be.

ɔg

重要结论：SA∕ΨIF2="tan—

2

推导过程：由余弦定理得∣F∣F2F=∣PF∣F+∣PB∣2—2∣PF∣∣∣PF2卜COS，得

2

4C=(]PFl∖+∖PF2∖Y-2∖PFIHPF2∖(1+COSθ)

22

4C=4a-2∣Pfl∣∣PEI(1+cos0)

2b2

H——T

1+cosθ

由三角形的面积公式可得

SΔPFIF2=—∣PF^∣∣PF,Isinθ

.θθ

2osin—cos—

--------=/?2tan

21+cosθ1+cosθ

2cos2-

2

,θ

注：(/'是三角形内切圆的半径)

SΔPFIF2=b~tan-=c∖yp∖={a+c)r

(4)焦点三角形的周长为2(a+c).

(5)在椭圆C：5+∕=l(a>Z>>0)中历，B是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在

短轴端点时，/"P"最大.

四、点与桶圆的位置关系

22

点尸(XO,yo)与椭圆a+g=l(α>'>°)的位置关系：

点尸在椭圆上冷+£=1；点尸在椭圆内部，+1<1；点P在椭圆外部郊+g>l.

五、直线与椭圆的位置关系

直线y=Ax+m与椭圆今+g=l(α>5>0)的位置关系，判断方法：

y=kx+m9

联立《χ2e消y得一元二次方程.

当/>0时，方程有两解,直线与椭圆相交；

当/=0时，方程有一解,直线与椭圆相切；

当/<0时，方程无解,直线与椭圆相离.

六、直线与椭圆相交的弦长公式

1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.

2.求弦长的方法

(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求.

(2)根与系数的关系法：

如果直线的斜率为A,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x∣,yl),(X2,J2),则弦长公式为：

∣Aβ∣=√l+⅛2∙√(xι+x2)2-4X∣X2=Ol+j2)2—4jιj2.

注：(1)已知弦AB是椭圆「+三=1(α>A>O)的一条弦，中点M坐标为(%,为)，则AB的斜率

ab

M2

⅛+F-

2

lyχa"

为一一产，运用点差法求的斜率，设∣B(x,y)、都在椭圆上，

ABA(X,y),22iA82Æ

a^y

0⅛+/-

Ia

两式相减得：⅛≠÷⅛≠=0,心产2一

即江之bx+*2_bX。_力Xo

l

~；-2-'故'iΛB—2~^

%一%2。乂+%aΛ。%

b2

(2)弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值：-

a2

七、双曲线的定义

把平面内与两个定点B,F2的距离的差的钮值等于非零常数(小于IFlgl)的点的轨迹叫做双曲线.这

两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

注：1、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:P={M∖∖∖MFl∖-∖MF2Il=2a,O<la<∖FiF2∖}.常数要小于两个定点的距离.

2、对双曲线定义中限制条件的理解

(1)当IIM尸II-IM巳∣∣=24>吗尸2∣时，M的轨迹不存在.

⑵当IlMBI-∣M3∣l=24=吗尸2∣时，M的轨迹是分别以尸I,尸2为端点的两条射线.

⑶当IlM尸Il-IM/2∣∣=0,即IM尸II=IM尸2∣时，M的轨迹是线段尸匹的垂直平分线.

(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支.具体是哪一支,取决于IMGl

与IM居I的大小.

①若IMFi∖>∖MF21.则IM耳I—IMEI>O,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支；

②若IMF11<∣MF21,则IMEITMK∣>O,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.

八、双曲线的方程及简单几何性质

y2X2

a2b211

标准方程

(α>0,⅛>0)(α>0,⅛>0)

焦点尸1(-C,()),-2(C,0)尸l(0,-C),尸(20,C)

焦距EF2∣=2C

范围xW—α或xdα,y∈R尽一α或y》a,x∈R

性质对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原直

顶点4(一0,0),A2(4.O)Aι(0,­a),A2(O,a)

实轴：线段皿，长：2a；

轴虚轴：线段为①，长：2b；

双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义

和正弦定理、余弦定理.

22

以双曲线二一∙⅞∙=1(。>0力>0)上一点P(X0,yo)O⅛WO)和焦点F,(-C,O),&(c,0)为顶点的4PFiB

a~b

中，若NFIPF'2=0，则

⑴双曲线的定义：IlP用-IPBIl=2a

余弦定理：222

(2)IF1F21=∣PF.∣+∣PF2∣-2∣PFI∣∣PF2∣∙COS0.

(3)面积公式：SΔPFIF2=∣∣PFIl∣PF2∣∙sinθ,

b2

重要结论：SAPFIFI=----K

U

tan—

2

推导过程：由余弦定理得出”2|2=|「人|2+|尸产2|2-2|「尸|||尸尸2卜《)5，得

22

4C=(∣∣PF,1-∖PF2∖∖)-2∖PFI∣∣PF2∖(l+cos^)

22

4C=4a+2∣PFlIlPKl(I-CoSe)

∖PF∖∖PFμ

l21-cosθ

由三角形的面积公式可得

SAmQ=JPF肃PF?Isin。

`.θθ

•ɔ2sin—cos—j2

ɪ2b2SlnZe222b

•sin。=/72=b=

1—cos6l-c。Se2si*tan

2

十、直线与双曲线的位置关系

1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为αχ2+%χ+c=0的形式，在a#0的情况下考察方

程的判别式.

(l)∕>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.

(2)/=0时，直线与双曲线只有二仝公共点.

(3M<()时，直线与双曲线投有公共点.

当α=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有二仝公共点.

注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.

2、弦长公式

直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A(M,χ),8(%,%)两点，则

2222

IAβ∣=^(l+k)(x,-x2)=,y(l+k)λ∕(x,+x2)-4x1x2=J1+')(必一=J,+*),®+%)—.(

(k为直线斜率)

2h2

3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、8两点，则弦长IABl=2.

a

十一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线Kl不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线

的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

注：①在抛物线定义中，若去掉条件“，不经过点尸'，点的轨迹还是抛物线吗？

不一定是，若点尸在直线/上，点的轨迹是过点尸且垂直于直线/的直线.

②定义的实质可归纳为“一动三定”

一个动点一个定点/(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点尸的距离

与它到定直线/的距离之比等于1).

十二、抛物线的方程及简单几何性质

类型y2=2px(p>0)y2=-2px(p>O)x2=2py[p>Q)x2=-2py(p>0)

X=X=Ey=W

准线x2x2y=~2

范围x≥0,j∈Rx≤0,j∈Rx∈R,j≥0x∈R,j≤0

性质

对称轴X轴y轴

顶点0(0,0)

离心率

开口方向向右向左向上向下

十三、直线与抛物线的位置关系

设直线/:y=kx+m,抛物线：y=2pχ(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于X的方程炉炉+2(.

-p)x+,"2=0.

⑴若A≠0,当/>0时,直线与抛物线相交，有两个交点；

当/=O时,直线与抛物线相切，有一个交点；

当/<0时,直线与抛物线相离，没有公共点.

(2)若A=0,直线与抛物线有二个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.

十四、弦长问题

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(X】，yι),B(x2,力)两点，那么线段AB叫做焦点弦,

如图：设A5是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若Aa1,%),B(x2,y2),则IAM=Xl+4+小

02

注：(1)X1∙X2=4∙

2

(2)yι∙y2=-p.

(3)∣A3∣=XI+X2+P=(G是直线AB的倾斜角).

112

（4）西+丽=5为定值（厂是抛物线的焦点）.

（5）求弦长问题的方法

①一般弦长：∣AB∣=Λ∕1+P∣X∣-X2∖,或归8|=\/1+表也一X2∣∙

②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A（X1,Jl）,3（X2,J2）,则lA8∣=x∣+刈+p.

〈常用结论》

1.轨迹类型：方程一+—=1,当/〃=〃>0时表示圆；当力>〃>0或〃>加〉0时表不椭圆；当初<0时表不双曲

mn

线.

2.椭圆结论：

（1）如图1：①焦点△£/!为周长CA长数=2a+2。、面积SARAR=6∙tan

9A2

②△/品的周长为：CAABJ=AB③通径：Ma=—（椭圆、双曲线通用）；

a

⑵如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0W∕4∕½W∕4物2；

②焦半径范围：a-c≤∣∕^∣≤a+c（长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点）；

/2

③I尸。|范围：8W∣AO∣Wa（长、短轴顶点到原点最远、最近；④斜率：kpA∖∙kp4=一%

（3）点/（加,Jb）和椭圆的关系:

222222

①点户在椭圆内=2+杀1.②点P在椭圆上=2+乍=1.③点产在椭圆外=2+V>ι.

ababab

（4）椭圆扁平程度：因为个"J=qιS,所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越

圆.'''

3.双曲线结论：

⑴如图3：①动点一到同侧焦点用的距离最小值为：∣ΛSls⅛=∣4K∣=c—a；

②焦点到渐近线的距离为：IKM=左

22

⑵渐近线求法结论：可直接令方程当一⅛=Λ（∕l≠0）等号右边的常数为0,化简解得;

ab

4.抛物线结论：

如图4：抛物线y=2PXS>0）焦点弦46,设小小，力）、庾及，女），46的中点£,准线为1.

⑴焦半径问题：①焦半径：I=IA9|=为+5∖BF∖=∖BC∖=x^（随焦点位置变动而改变）；

②焦点弦：∣46∣=xι+xz+p=一乌不（其中，。为直线16的倾斜角）；©777T+r⅛Γ=^:

sinQ∕itt∖∖/JrIp

（2）A6两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即不•&=£，必•Μ=一/（随焦点动而变）；图4

（3）其他结论：①心&w=斌其中，。为直线48的倾斜角）；②以/8为直径的圆必与准线相切于点"

<解题方法与技巧》

一、“回归定义”解题的三点应用

应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的

轨迹方程；

应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解

决；

应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图

形，利用几何意义去解决.

提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.

典例1：(1)一动圆与两圆：Λ2+J2=1和*+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为()

A.抛物线B.双曲线C.双曲线的一支D.椭圆

(2)在平面直角坐标系X。)，中，椭圆C的中心为原点，焦点Q,尸2在X轴上，离心率为坐.过吊的直线

/交C于A,B两点，且aABF2的周长为16,那么C的方程为.

解析：(l)x2+y2=l是圆心为原点，半径为1的圆，r2+γ2—6x+5=0化为标准方程为(X-3)2+)2=4,

是圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为J

[∣PO∣=r+l

则，=>∣β⅜∣-∣po∣=ι<μo∣=3,符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.

[∖PA∖=r+2

72

(2)设椭圆方程为a+%=im>b>O),因为AB过Fl且4,8在椭圆上，如图所示，

则AA8F2的周长为∣A8∣+HF2∣+∣8∕72∣=∣AQI+∣AF2∣+∣8F]∣+∣8F2∣=4q=16,Λa=4.

又离心率e=^=2»∙*∙c=2√2,.*.⅛2=6Γ-C2=8,

92

.∙.椭圆C的方程为蛋+5=1.

Ioð

72

答案：(I)C⑵讳+3f=1

二、求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

(1)定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

(2)定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴

上时，可设方程为RX2+0/2=](勿>0,∕7>0).

(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

典例2：(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,O),离心率等于+则C的方程是()

A⅞+1=1B⅞+⅜=1c∙f+⅛=1d⅞+⅝=1

(2)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线「一，=1(4>0,心0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2,则该

双曲线的方程为.

尸产

解析：⑴由题意得Jg=I,解得I=]，

则⅛2=tz2-C∙2=3,故椭圆方程为于+'=1.

(2)由题意得(c，解得“,则从=C2-∕=3,

_=2c=2

Ia

因此双曲线方程为χ2-]=l.

2

答案：(I)D(2)Λ2-f=l

三、圆锥曲线的性质及应用

1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线

(双曲线)、离心率和准线(抛物线).

2.椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练掌握.

r2V2ʌ/ɜV22

典例3：(1)若椭圆5+b=l(4>8>0)的离心率为与，则双曲线《一v3=1的渐近线方程为()

C4U4xΛCz

A.γ=+∣xB.y=±2xC.y=±4xD.y=±%

(2)已知双曲线「一g=l(α>O,8>0)的左焦点为F,离心率为√Σ若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双

曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()

2222222

A工一匕=1—匕=1--r=l

A∙44-1B88-1cc,48^1DR「∣

解析：⑴由椭圆的离心率可知宗=--=*工,=/

故双曲线的渐近线方程为y=±^x.

(2)由题意可得§=陋，即又左焦点F(-c,0),P(0,4),

则直线PF的方程为丁二=H~,化简即得y=j+4.

4—()。十Cc

结合已知条件和图象易知直线P尸与y=3平行,

,c=√2α,

4bIa-=8,

则一=一，即4〃=姐故，4“=姐解得J

ca

221[∕r=8,

[a+b=ct

故双曲线方程为⅛■一5=1.

OO

答案：(I)A(2)B

四、直线与圆锥曲线相交，经常出现弦长、中点弦问题.

(1)处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系

数的关系，代入弦长公式M用="剂为一粒或Ia=亥I，其中左为直线四的斜率，J(A-1,

%),B(xz,%).

(2)处理中点弦问题，一般有两种思路，思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不

求；思路二：利用“点差法”.

v2,2/ʒ

典例4：已知椭圆了+]=l(α>b>O)的一个顶点为A(O,1),离心率为彳，过点8(0,-2)及左焦点Fl的

直线交椭圆于C,C两点，右焦点设为危.

(1)求椭圆的方程；

(2)求4CZ)F2的面积.

2

解：⑴由题意知Z>=l,A乎，且02=c+序，解得&=巾，C=1,

2

易得椭圆方程为，+.V2=L

⑵∙.∙Q(-l,0),二直线BFl的方程为y=-2x~2,

y=-2x-2

得9Λ2+16X+6=0.

VJ=162-4×9×6=40>0,所以直线与椭圆有两个公共点,

16

JC∣+X2=-9

设为C(X1,y∣),D(X,V),则

22

χr12=q

ʌ∖CD∖=√l+(-2)2lxι—X2∣=-3+x2)2—4x∣X2=小(一学)一4X∣=^√2,

又点F2到直线BFl的距离d=W，

故5ΔCDF2=⅛CD∣-<∕=∣√Tδ.

五、圆锥曲线中的定值、定点问题

(1)定值问题的常见类型及解题策略

①求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.

②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形

求得.

③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

(2)定点问题的两种解法

①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关

系，找到定点.

②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

典例5：在平面直角坐标系Xoy中，直线/与抛物线γ2=4x相交于不同的A,B两点.

(1)如果直线/过抛物线的焦点，求宓•励的值；

(2)如果∂λm=-4