（江苏专用）高考数学 专题10 概率与统计 77 古典概型 文-人教版高三数学试题

训练目标理解古典概型的概念、会求古典概型的概率.训练题型(1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率；(3)古典概型的应用.解题策略读懂题目，抓住解决问题的实质，即：确定基本事件个数及所求事件包含基本事件的个数.1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次，若用A表示投进球这一事件，则A的频率为________．2．(2015·江西临川二中一模)同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是________．3．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是________．4．(2015·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是________．5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为________．6．(2015·辽宁师范大学附中模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________．7．(2015·嘉兴二模)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．8．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是________．9．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是________．10．(2015·浙江杭州富阳二中质检)设a∈{1,2,3}，b∈{2,4,6}，则函数y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)是减函数的概率为________．11．(2015·浙江重点中学协作体上学期第二次适应性测试)已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．12．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是______；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．13．(2015·江西会昌中学月考)某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．14．如图所示，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为________．答案解析1.eq\f(4,5)2.eq\f(1,9)解析同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).3.eq\f(1,6)解析设两位老师分别为A，B，两位学生分别为C，D，则他们站成一排合影的所有基本事件为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDBA，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共有24个，每位老师都不站在两端的基本事件为CABD，CBAD，DABC，DBAC，共有4个，故所求概率为P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).4.eq\f(1,2)解析将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5.eq\f(4,9)解析试验包含的所有事件共有6×6＝36种，其中满足题设条件的有如下情形：若a＝1，则b＝1,2；若a＝2，则b＝1,2,3；若a＝3，则b＝2,3,4；若a＝4，则b＝3,4,5；若a＝5，则b＝4,5,6；若a＝6，则b＝5,6.即满足题设条件的情形共有16种，故他们“心相近”的概率为P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).6.eq\f(1,3)解析由于a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，故可得24个三位数．若b＝1，则“凹数”有213,214,312,314,412,413，共6个；若b＝2，则“凹数”有324,423，共2个，所以这个三位数为“凹数”的概率为eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).7.eq\f(2,5)解析如图为正六边形ABCDEF,6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).8.eq\f(1,9)解析分类讨论法求解．个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).9.eq\f(1,2)解析设“取出两件产品全是正品”为事件A，三件正品的编号分别为a，b，c，一件次品的编号为d，则基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，事件A包含的基本事件为ab，ac，bc共3个．因此P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).10.eq\f(7,9)解析由题意可知本题是一个古典概型，因为试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字，所以共有9种结果，满足条件的事件是函数y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)＝－logeq\f(b,a)x是一个减函数，只要底数大于1，列举出所有的情况有a＝1，b＝2；a＝1，b＝4；a＝1，b＝6；a＝2，b＝4；a＝2，b＝6；a＝3，b＝4；a＝3，b＝6，共7种结果，所以概率是P＝eq\f(7,9).11.eq\f(3,7)解析因为|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以k2≤15，又因为k∈Z，所以k∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－k,3)，若△ABC为直角三角形，则Aeq\o(C,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(B,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(C,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，解得k＝－2，或k＝3，或k＝－1，或k＝8(舍去)，满足条件的有3个，所以所求概率为eq\f(3,7).12.eq\f(1,3)eq\f(1,4)解析第二次能打开门说明第一次是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为2×2＝4，基本事件总数为4×3＝12，所求概率为P1＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为4×4＝16，所求概率为P2＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).13.eq\f(1,3)解析当a>b时，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)⇒eq\f(b,a)<eq\f(1,2)⇒a>2b，符合a>2b的情况：当b＝1时，a＝3,4,5,6；当b＝2时，a＝5,6，总共有6种情况，则概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理，当a<b时，e>eq\f(\r(3),2)的概率也为eq\f(1,6)，综上可知，e>eq\f(\r(3),2)的概率为eq\f(1,3).1