（江苏专用）高考数学 专题9 平面解析几何 68 椭圆的定义与标准方程 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程.训练题型(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值.解题策略(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及a、b、c之间的关系列方程求参数值.1．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.2．(2015·厦门上学期期末)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值为8，则m＝________.3．(2015·四川石室中学“一诊”)点F为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A，使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为________．4．(2015·三明模拟)设F1，F2是椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．5．(2015·衡水冀州中学上学期第四次月考)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为________．6．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆的方程为________．7．我们把离心率为黄金比eq\f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为________．8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．9．(2015·上海市十三校联考)若椭圆的方程为eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.10．(2015·合肥一模)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，过点(1，eq\f(1,2))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________．11．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦点，若P是第一象限内该椭圆上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\f(5,4)，则点P的坐标为________．12．已知中心在原点，焦点坐标为(0，±5eq\r(2))的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为eq\f(1,2)，则该椭圆的方程为________________．13．已知椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则PF1·PF2＝________.14．设定点F1(0，－3)、F2(0,3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，则点P的轨迹是____________．答案解析1.eq\f(7,2)解析不妨设F1的坐标为(eq\r(3)，0)，P点坐标为(x0，y0)，∵PF1与x轴垂直，∴x0＝eq\r(3).把x0＝eq\r(3)代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)，∴PF1＝eq\f(1,2)，∴PF2＝4－PF1＝eq\f(7,2).2．1解析设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.3.eq\r(3)－1解析由题意，可设椭圆的焦点F的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点(eq\f(c,2)，eq\f(\r(3),2)c)在椭圆上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，因为e∈(0,1)，解得e＝eq\r(3)－1.4．24解析∵PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，∴PF1＝8，PF2＝6，∵F1F2＝10，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×8×6＝24.5.eq\r(2)解析由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2c，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，则方程ax2＋2bx＋c＝0为2x2＋2eq\r(3)x＋1＝0，所以x1＋x2＝－eq\r(3)，x1x2＝eq\f(1,2)，则点P(x1，x2)到原点的距离为d＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2))＝eq\r(x1＋x22－2x1x2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2).6.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1解析设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由点P(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2a＝2×2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.7．0解析设PF1＝m，PF2＝n，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a，,4c2＝m2＋n2，))mn＝2a2－2c2.而eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(c,a)，所以mn＝2a2－2(eq\f(\r(5)－1,2)a)2＝(eq\r(5)－1)a2，与m＋n＝2a联立无实数解．8.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析设圆M的半径为r，则MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.9．4或8解析①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.10.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析由题意可设斜率存在的切线的方程为y－eq\f(1,2)＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由eq\f(|－2k＋1|,\r(4k2＋4))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，即c＝1，令x＝0得上顶点为(0,2)，即b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.11．(1，eq\f(\r(3),2))解析设P(x，y)(x>0，y>0)，F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,x＋\r(3)x－\r(3)＋y2＝－\f(5,4)，,x>0，y>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(\r(3),2)，))即P(1，eq\f(\r(3),2))．12.eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1解析根据题意可设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b2＋a2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，则可得弦的中点的横坐标为eq\f(6b2,9b2＋a2)，即eq\f(6b2,9b2＋a2)＝eq\f(1,2)，又a2－b2＝50，解得a2＝75，b2＝25，所以椭圆的方程为eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.13．48解析依题意得，a＝7，b＝2eq\r(6)，c＝eq\r(49－24)＝5，F1F2＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100.又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2