（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何 61 立体几何的综合应用 文-人教版高三数学试题

训练目标对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练，提高综合分析论证能力，培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明；(2)平行、垂直关系的应用；(3)探索性问题.解题策略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”，找准“线”是关键；(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”，利用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口.1．(2015·南京二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．2．(2015·潍坊模拟)如图，边长为eq\r(2)的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝1.点M在线段EC上．(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)判断点M的位置，使得三棱锥B－CDM的体积为eq\f(\r(2),18).3．(2015·德阳高中二诊)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD＝90°，AB＝1，AD＝2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，AN⊥CF，垂足为N.(1)求证：BF∥平面PAC；(2)求证：AN⊥平面CDF；(3)求三棱锥B－CEF的体积．4．(2015·青岛一模)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AB＝eq\r(3)，AD＝AA1＝3，E1为A1B1中点．证明：(1)B1D∥平面AD1E1；(2)平面ACD1⊥平面BDD1B1.5．如图，已知四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，FA⊥平面ABCD，FA＝AB＝2DE.(1)判断B，C，E，F四点是否共面，并证明你的结论；(2)若CG⊥平面ABCD，且CG＝FA，请问在平面ADEF上是否存在一点H，使得直线GH⊥平面BEF？若存在，求出H点的位置；若不存在，请说明理由．答案解析1．(1)证明连结AC.不妨设AD＝1，因为AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，所以CD＝1，AB＝2.因为∠ADC＝90°，所以AC＝eq\r(2)，∠CAB＝45°.在△ABC中，由余弦定理得BC＝eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2.所以BC⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PC.又PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC.(2)解如图，因为AB∥CD，CD⊂平面CDMN，AB⊄平面CDMN，所以AB∥平面CDMN.因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN.在△PAB中，因为M为PA的中点，所以N为PB的中点，即PN∶PB的值为eq\f(1,2).2．(1)证明∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝eq\r(2)，又AD＝eq\r(2)，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥ED，又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADEF，又BD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)解如图，点M在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，又ED⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD.又V三棱锥B－CDM＝V三棱锥M－BCD＝eq\f(1,3)·MN·S△BDC＝eq\f(\r(2),18)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×MN＝eq\f(\r(2),18)，∴MN＝eq\f(\r(2),3)，又eq\f(MN,ED)＝eq\f(CM,CE)＝eq\f(\f(\r(2),3),\r(2))＝eq\f(1,3)，∴CM＝eq\f(1,3)CE.∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．3．(1)证明如图，连结BD交AC于O，连结PO.∵PO是△BDF的中位线，∴PO∥BF.∵PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP，∴BF∥平面PAC.(2)证明∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD.∵CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD.又∵CD⊥AC，AC∩AF＝A，AC⊂平面ACF，AF⊂平面ACF，∴CD⊥平面ACF，∵AN⊂平面ACF，∴CD⊥AN.∵AN⊥CF，CD∩CF＝C，且CF⊂平面CDF，CD⊂平面CDF，∴AN⊥平面CDF.(3)解∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，CA⊥AB，CA⊂平面ABCD，∴CA⊥平面ABEF，CA＝eq\r(BC2－BA2)＝eq\r(3)，∴V三棱锥B－CEF＝V三棱锥C－BEF＝eq\f(1,3)S△BEF×CA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6).4．证明(1)如图，连结A1D交AD1于点G，连结E1G，因为ABCD－A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点．又E1为A1B1的中点，所以E1G是△A1B1D的中位线，所以B1D∥E1G.又B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1.(2)设AC∩BD＝H，如图．因为AD∥BC，所以△BHC∽△DHA.又BC＝1，AD＝3，所以eq\f(AH,CH)＝eq\f(DH,BH)＝eq\f(AD,BC)＝3.因为AD∥BC，∠BAD＝90°，所以∠ABC＝90°，所以AC＝eq\r(1＋3)＝2，BD＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3)，从而CH＝eq\f(1,2)，BH＝eq\f(\r(3),2)，所以CH2＋BH2＝BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD.因为ABCD－A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD，所以侧棱BB1⊥底面ABCD.又AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC.因为BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BDD1B1.因为AC⊂平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1.5．解(1)B，C，E，F四点不共面，下面用反证法证明：假设B，C，E，F四点共面．因为FA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，所以FA∥ED，且有A，F，E，D四点共面．因为BC∥DA，BC⊄平面ADEF，AD⊂平面ADEF，所以BC∥平面ADEF.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以BC∥EF，所以AD∥EF.又因为FA∥ED，所以四边形ADEF为平行四边形，所以AF＝ED，与已知矛盾，所以假设不成立，所以B，C，E，F四点不共面．(2)H点即为AD的中点．如图，延长DE至M点，使EM＝DE，过B点作BN綊CG，连结HG，GM，NF，FM，HM，AN，NG.结合已知可得NA是GH在平面ABNF内的射影，因为四边形ABNF是正方形，所以BF⊥AN，又BF⊥AD，AD∩AN＝A，所以BF⊥平面HANG，因为HG⊂