山东省济南市天桥区泺口实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）

-2024学年第二学期九年级寒假作业效果调研数学试题(2024.2)注意事项：本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．第I卷（选择题共40分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列各数中，属于无理数的是（）A.34B.9C.﹣2272.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3.中国空间站"天宫一号"运行在距离地球平均高度约375000米处，数375000用科学记数法表示是（）A.3.75×106B.37.5x104C.3.75x105D.0.375x1064.如图，已知直线a//b，现将含45°角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若∠1=23°，则∠2的度数为（）A.22°B.23°C.67°D.68°（第4题图）（第6题图）5.下列运算正确的是（）A.x3·x2=x5B.(x3)2=x5C.(x+1)2=x2+1D.(2x)2=2x26.如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论一定正确的是（）A.a<bB.a>bC.a2－b2<0D.a－b<07.如果从﹣1，2，3三个数中取一个数记作m，又从0，1，﹣2三个数中任取一个数记作n，那么点P(m，n）恰在第四象限的概率为（）A.29B.19C.18.已知反比例函数y=﹣kxA.该函数图象在第二、四象限B.点（1，﹣6）在该函数图象上C.当x>1时，﹣6<y<0D.y随x的增大而增大9.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12A.AD平分∠BACB.AF=AE=DE=DFC.S△ADF:S△CDF=5:4D.S△ADF=10（第9题图）（第10题图）10.如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的"焦点"。抛物线的焦点位置有一种特性：如图2，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长．若抛物线的表达式为：y=12x2A.(0，3)B.(0，4)C.(0，72)D.(0，9第II卷（非选择题共110分）二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.分解因式：x2－4x+4=.12.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共15个，这些球除外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，则口袋中红球约有.13.已知一元二次方程x2－3x+m=0的一个根为x1=1，则另一个根x2=.14.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上，⨀M经过点A、B、C、D，则tan∠BDC的值为.（第14题图）（第15题图）（第16题图）15.如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图像由线段OA和射线AB组成，则一次购买8千克这种苹果比分8次购买1千克这种苹果可节省的金额为元.16.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC=AD，BC>AB，tan∠ABC=2，且AB//CD，AB=3，BD=42，则对角线AC的长为.三．解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分6分）计算：（﹣12）﹣1+4sin60°－﹣2318.（本小题满分6分）解不等式组：5x－19.（本小题满分6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE，BF.求证：∠ABF=∠CDE.20.（本小题满分8分）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN)．已知基座高度MN=1m，主臂MP=5m，测得主臂伸展角∠PME=37°.（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45(1)求点P到地面的高度.(2)当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ=113°，求QN.21.某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.其中60≤x<70这一组的数据如下：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)表格中a=，b=，m=，(2)60≤x<70这一组数据的众数是，中位数是，平均分是.(3)若全校共有1500名学生参与竞赛，试估计成绩不少于80分的学生人数．22.（本小题满分8分）如图，直线AC与⊙O相切于点C，射线AO与⊙O交于点D，E，连接CD，CE.(1)求证:∠ACD=∠E.(2)若AC=23，AD=2，求弧CD的长．23.（本小题满分10分）学校期中考试后，一班班委会决定购买一批笔记本作为奖品，鼓励成绩优异和进步较大同学，他们先用60元买了A类笔记本，又用60元买了B类笔记本，A类笔记本的价格比B类笔记本的价格高50%，他们所买的A类笔记本比所买的B类笔记本少2本.(1)求他们买的A类笔记本和B类笔记本的价格各是多少元？(2)二班也购买了相同的两种笔记本共20本，且购买总费用不超过260元，求二班至少购买多少本B类笔记本？24.（本小题满分10分）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y=x+1x描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；(2)已知点（x1，y1)，(x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0<x1≤x2≤1，则y1y2；若1<x1＜x2，则y1y2.（填">"，"="，"<").(3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为w千元．①请写出w关于x的函数关系式.②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x的范围．25.（本小题满分12分）如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD.(1)如图②，将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由：如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；(3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BFCD26.（本小题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴A(﹣1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C(0，﹣3)，连接BC.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1，点D为抛物线上第四象限中的点，过点D作DH⊥x轴，垂足为H，延长DH至点E，且AE//BC，求五边形ACDBE的面积的最大值；(3)如图2，作AM//BC，且与抛物线交于点M，连接BM，点N为CB延长线上点，∠ANC=∠AMB，若点P为直线MN上动点，求PB+PC最小值．答案一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列各数中，属于无理数的是（A）A.34B.9C.﹣2272.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（B）3.中国空间站"天宫一号"运行在距离地球平均高度约375000米处，数375000用科学记数法表示是（C）A.3.75×106B.37.5x104C.3.75x105D.0.375x1064.如图，已知直线a//b，现将含45°角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若∠1=23°，则∠2的度数为（D）A.22°B.23°C.67°D.68°（第4题图）（第6题图）5.下列运算正确的是（A）A.x3·x2=x5B.(x3)2=x5C.(x+1)2=x2+1D.(2x)2=2x26.如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论一定正确的是（C）A.a<bB.a>bC.a2－b2<0D.a－b<07.如果从﹣1，2，3三个数中取一个数记作m，又从0，1，﹣2三个数中任取一个数记作n，那么点P(m，n）恰在第四象限的概率为（A）A.29B.19C.18.已知反比例函数y=﹣kxA.该函数图象在第二、四象限B.点（1，﹣6）在该函数图象上C.当x>1时，﹣6<y<0D.y随x的增大而增大9.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12A.AD平分∠BACB.AF=AE=DE=DFC.S△ADF:S△CDF=5:4D.S△ADF=10（第9题图）（第10题图）10.如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的"焦点"。抛物线的焦点位置有一种特性：如图2，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长．若抛物线的表达式为：y=12x2A.(0，3)B.(0，4)C.(0，72)D.(0，9第II卷（非选择题共110分）二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.分解因式：x2－4x+4=（x－2）2.12.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共15个，这些球除外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，则口袋中红球约有3.13.已知一元二次方程x2－3x+m=0的一个根为x1=1，则另一个根x2=2.14.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上，⨀M经过点A、B、C、D，则tan∠BDC的值为32（第14题图）（第15题图）（第16题图）15.如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图像由线段OA和射线AB组成，则一次购买8千克这种苹果比分8次购买1千克这种苹果可节省的金额为12元.16.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC=AD，BC>AB，tan∠ABC=2，且AB//CD，AB=3，BD=42，则对角线AC的长为17.三．解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分6分）计算：（﹣12）﹣1+4sin60°－﹣23=﹣2+23－23+1=﹣118.（本小题满分6分）解不等式组：5x－解不等式①得x＞2解不等式②得x≤4不等式组的解集为2＜x≤419.（本小题满分6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE，BF.求证：∠ABF=∠CDE.证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AB//CD∴∠BAC=∠DCA∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE在△ABF和△CDE中AB=CD∠BAF=∠DCE∴△ABF=△CDE(SAS)∴∠ABF=∠CDE20.（本小题满分8分）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN)．已知基座高度MN=1m，主臂MP=5m，测得主臂伸展角∠PME=37°.（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45(1)求点P到地面的高度.(2)当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ=113°，求QN.(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F由题意得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m在Rt△PFM中，∠PMF=37°，PM=5m∴PF=PM·sin37°≈5×35∴PG=PF+FG=3+1=4m∴点P到地面的高度约为4m(2):∵∠PMF=37°，∠PFM=90°∴∠MPF=53°∵∠MPQ=113°∴∠QPG=113°－53°=60°∵PG=4m∴QG=33PG=33×4=∵PM=5m，PF=3m∴FM=4m∴QN=QG+NG=433+4=21.某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.其中60≤x<70这一组的数据如下：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)表格中a=，b=，m=，(2)60≤x<70这一组数据的众数是，中位数是，平均分是.(3)若全校共有1500名学生参与竞赛，试估计成绩不少于80分的学生人数．(1)a=50×0.1=5b=50－(2+5+18+9+2)=14m=14÷50=0.28(2)根据60≤x<70这一组的数据：61,62,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,69，可知众数为64；中位数是：64+64=64平均数：(61+61+61+62+62+63+63+63+63+64+64+64+64+64+67+68+69+69)÷18=64分(3)1500×（0.28+0.04）=480人22.（本小题满分8分）如图，直线AC与⊙O相切于点C，射线AO与⊙O交于点D，E，连接CD，CE.(1)求证:∠ACD=∠E.(2)若AC=23，AD=2，求弧CD的长．(1)证明：连结OC∵直线AC与⨀O相切于点C∴∠OCA=90°∴∠OCD+∠ACD=90°∵ED为⨀O的直径，∴∠ECD=90°∴∠OCD+∠ECO=90°∴∠ACD=∠ECO∴OE=OC∴∠ECO=∠E∴∠ACD=∠E(2)设OD=OC=x∵AD=2∴AO=AD+OD=(2+x),在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2∴x2+(23)2=(2+x)解得：x=2∴OC=OD=2在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACOC=∴∠AOC=60°∴弧CD的长＝60π×123.（本小题满分10分）学校期中考试后，一班班委会决定购买一批笔记本作为奖品，鼓励成绩优异和进步较大同学，他们先用60元买了A类笔记本，又用60元买了B类笔记本，A类笔记本的价格比B类笔记本的价格高50%，他们所买的A类笔记本比所买的B类笔记本少2本.(1)求他们买的A类笔记本和B类笔记本的价格各是多少元？(2)二班也购买了相同的两种笔记本共20本，且购买总费用不超过260元，求二班至少购买多少本B类笔记本？(1)设B类笔记本单价为x元，则A类笔记本单价为（1+50%）x元，依题意，得：60x－60解得：x=10经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意∴（1+50%）x=15答：A类笔记本单价15元，B类笔记本单价10元．(2)设购买B类笔记本b本，则购买A类笔记本(20－b)本依题意，得：10b+15(20－b)≤260解得：b≥8答：至少购买B类笔记本8本.（本小题满分10分）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y=x+1x描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；(2)已知点（x1，y1)，(x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0<x1≤x2≤1，则y1y2；若1<x1＜x2，则y1y2.（填">"，"="，"<").(3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为w千元．①请写出w关于x的函数关系式.②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x的范围．（1）（2）＞＜①底面面积为1平方米，一边长为x米∴与之相邻的另一边长为1x∴水池侧面面积的和为：2x+2x=2(x+1x∵下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米；∴y=1+1.5+2(x+1x即：y与x的函数关系式为：y=2.5+x+1②该农户预算不超过5千元，即y≤5∴x+1x∴x+1x根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时12因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长，应控制在1225.（本小题满分12分）如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD.(1)如图②，将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由：如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；(3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BFCD(1)猜想：BF=CD．理由如下：如图所示，连接OC、OD∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点∴OB=OC，∠BOC=90°∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点∴OF=OD，∠DOF=90°∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴BOF=∠COD在△BOF与△COD中，OB=OC∠BOF=∠COD∴△BOF≌△COD(SAS)∴BF=CD(2)答：(1)中的结论不成立．如图所示，连接OC、OD∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点∴OBOC=tan30°=33∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点∴OFOD=tan30°=33∴OBOC=∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴∠BOF=∠COD∴△BOF∽△COD∴BFCD=(3)如答图④所示，连接OC、OD∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点∴OBOC=tanα∵△DEF为等