2023版高考数学一轮复习讲义：第十二章复数、推理与证明、算法12-1 数系的扩充与复数的引入

第十二章复数、推理与证明、算法

第一节数系的扩充与复数的引入

,最新考纲,

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

・考向预测•

考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共辄复数、复数的模等)，复数相等的

充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.

学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素恭.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的和.若

,则〃+加为实数，若,则α+历为虚数，若,则a+加

为纯虚数.

(2)复数相等："+bi=c+di=(a,b,c)"GR).

(3)共辗复数：“+历与c+4i共轨=(a,b,c,J∈R).

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.叫做实轴,

叫做虚轴.实轴上的点都表示;虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示

复数集C和复平面内的组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面

内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的.

(5)复数的模

向量位的模，叫做复数z=α+力的模，记作IZl或∣α+bi∣,即IZI=Ia+bi∣=.

2.复数的几何意义

3.复数的运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

设z∣="+bi,z2=c+di(mb,c,J∈R),贝IJ

①加法：Zi+z2=(α+历)+(c+di)=

②减法：Zi-Z2=(〃+⅛i)—(c+rfi)=

③乘法：zι∙Z2=(α+Ai)∙(c+di)=.

z_a+bi_(a+bi)(c-di)

④除法:1(c+di≠O).

z2c+di(c+di)(c-di)

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z|、Z2、Z3《c,有Zl+z2=z2+z∣,(Z1+z2)

+Z3=Z1+(Z2+Z3).

二、必明3个常用结论

l-i

1.(l±i)2=÷2i;—=i

i—ɪ1+i

2.-b+m^i(a+bi);

4,,4,,+14n+24n+3+

3.i=l,i=i,i=-l,i=~i,i4"+i4nl+j4n+2+i4«+3=0>〃GN*.

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).

(1)方程x2+x+l=0没有解.()

(2)复数z=α+历(α,∕J∈R)中，虚部为bi.()

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i

等.()

(4)原点是实轴与虚轴的交点.()

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量

的模.()

(6)复数z=-l+2i的共聊复数对应点在第四象限.()

(二)教材改编

2」选修2-2∙Pκυ例题改编］已知z=(m+l)+("?—l)i在复平面内对应的点在第四象限，

则实数机的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-1,3)

C.(I,+8)D.(一8,一1)

3.［选修2-2P16复习参考题A组Tl⑵改编愎数z=U(i为虚数单位)的共辗复数是

1—1

(三)易错易混

4.(对复数的虚部认识不清)已知复数ZI满足(2—i)zι=6+2i,zɪ-⅛Z2-ιn~2m(m,H∈R)

互为共轨复数，则Zl的虚部为,m+n=.

5.(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数Zi和Z2对应的点分别是A和8,

则包=________.

Zl

(四)走进高考

6.［2021∙全国卷I］若z=l+i,则∣Z2-2Z∣=()

A.OB.1C.√2D.2

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一复数的有关概念［基础性］

L若复数Z满足zi=3—5i,则Z的虚部为()

A.-3B.3C.5D.—5

2.［2022∙广东深圳市高三质量评估偌复数Z=叁T为纯虚数，则实数α的值为()

a+ι

A.-1B.--C.OD.I

2

3.已知Z为复数，i为虚数单位.若复数对为纯虚数，则团=()

z+ι

A.2B.√2C.1D.—

2

反思感悟求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共较复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所

以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即q+bi(α,6GR)的形

式，再根据题意列方程(组)求解.

考点二复数的代数运算［基础性J

［例1］(l)［2021∙北京卷］在复平面内，复数Z满足(Li)z=2,则z=()

A.2+iB.2-iC.LiD.1+i

(2)［2021•全国乙卷］设2(z+乞)+3(z—5)=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.IT

(3)［2O21•全国甲卷］已知(l-i>z=3+2i,贝∣Jz=()

A.-l-∣iB.-l+∣i

C.--+iD.---i

22

听课笔记：

反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略

复数的在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部

加减法相加减，虚部与虚部相加减)计算即可

复数的复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类

乘法同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可__________________

复数的除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的嘉

除法写成最简形式_____________________________________________________

【对点训练】

1∙设复数Z满足y=i,则z=()

I-Z

1.3.Dl3.

AΛ∙g+?B.

1313

c^5+5iD-^i-5i

2.若复数Z满足z(l+2i)=(l+i)2(i为虚数单位)，则厄+i202∣∣=()

A.-B.—C.-D.1

555

3.［2022∙浙江省舟山中学高三月考］若z=2+i,贝”ZI=,ɪ=.

考点三复数的几何意义［基础性、应用性］

［例2］(1)复数毛在复平面内对应的点所在的象限为()

1—ɔɪ

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)［2022•开封市模拟考试］在复平面内，复数含对应的点位于直线y=x的左上方，则实

数”的取值范围是()

A.(-∞,O)B.(一8,1)

C.(0,+∞)D.(1,+∞)

听课笔记：

反思感悟复数几何意义及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量应相互联系，即z="+bi(4,⅛∈R)<≠<Z(0,⅛)<≠<0Z=

(a,b).

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何

联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

［提醒］IZl的几何意义：令z=χ-卜yi(x,j∈R),则IZl=JX2+寸,由此可知表示复数Z

∣Z1-Z2∣的几何意义是々,平面内表示复数Z∣,Z2的两点

的点到原点的距离就是IZl的几何意义;

之间的距离.

【对点训练】

1.[2022∙重庆市高三月考]在复平面内，复数乌对应的点的坐标为()

1—1

A.(-l,1)B.(1,-1)

C.(~1,i)D.(i,-1)

2.[2022∙合肥市教学质量检测]设复数Z满足IZ-Il=IZ—i∣(i为虚数单位)，z在复平面内

对应的点为(x,y),则()

A.y=-χ

B.y=x

C.(χ-1)2+^~1)2=1

D.(x+l)2+(y+l)2=l

第十二章复数、推理与证明、算法

第一节数系的扩充与复数的引入

积累必备知识

1.⑴实部虚部⅛=O⅛≠Oa=O且8≠0(2)4=c且b=d(3)1：二C,

(4)x轴y轴除去原点实数纯虚数实部不为O的虚数点原点(5)√^Γ房

3.(α+c)+(Z>+rf)i(α—c)+(b—d)i(ac—bd)-∖-(ad-∖-bc)∖ac+bd;(p：Mi

1.答案：(I)X(2)X(3)X(4)X(5)√(6)X

2.解析：要使复数Z对应的点在第四象限，应满足+1>°,解得一1<%V1∙

Im-KO

答案：A

3.解析：因为Z=卢=碧偿=詈!=；+、所以，其共轲复数为;一∣i∙

1—1-ɪʌl+!)NNNNN

答案：那i

4.解析:由(2—i)z∣=6+2i,得Zl=FW=容笔当=U^=2+2i,则z2=2-2i,则

Z-I(N—5

∕n=2,n=l,所以机+〃=3.

答案：23

Zz-ɪi(-2+i)12.

5.解析：由题图得：Z]=—2—i,Z2=i,所以:--------1

zɪ一2一i(—2T)(—2+i)555

答案：_"一/

6.解析：Vz=l+i,Λ∣z2-2z∣=|(I+i)2-2(1+i)∣=∣2i-2i-2∣=I-2|=2.

答案：D

提升关键能力

考点一

3-5i-3i+5i2

1.解析：由复数的运算法则，可得Z5-3i,所以复数Z的虚部为一

ii×(-0

3.

答案：A

2.解析：化简原式可得：Z=四T=智咨i=a+l+(；：-2)iz为纯虚数时，ɪtL=0

a+ιaz+la2+laz+ι

〃一/一2≠0即a=-l.

答案：A

3.解析：设Z=〃+砥.,⅛∈R),所以复数言=鬻志

_[a+(bT)i][a_(b+l)i]

a2+(b+l)2

=Q黑需1∙因为复数W为纯虚数，所以〃+炉=1,aWO.所以团=亦可=L

a2+(b+l)zz+ι

答案：C

考点二

22(l÷i)2(l+i)

例1解析：(1)由题意可得：Z=l+i.

l-i(l-i)(l+i)2

(2)设z=0+6i,则2=α-bi,则2(z+刃+3(z-2)=4α+6bi=4+6i,

所以,｛器解得α=Ql,因此,z=l+i.

(3)(l-i)⅛=-2iz=3+2i,Z=合昔=-1+∣i.

答案：(I)D(2)C(3)B

对点训练

1.解析:由F=i得l+2z=i—iz,所以Z=*=霖芸=Y+∣i

1-z2+i(2+i)(2-i)55

答案：C

(l+i)22i(l-2i)4+2i

2.解析:由z(l+2i)=(l+i)2得复数Z