平面向量的线性运算以及坐标运算

一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量)数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加（减）法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷运算性质：=1\*GB3①交换律：；=2\*GB3②结合律：；=3\*GB3③．3、向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①；=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量的单位向量是；（10）若，则；（11）若，则；（12）若，则；（13）若，则。例2、给出下列几个命题：若，则；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若，则。其中不正确命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5例3、如图，在中，，M为BC的中点，则=________。（用表示）变式：1、化简下列各式：（1）；（2）；（3）。2、已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（）A．B．C．D．3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（）（1）时，与的方向一定相反；（2）时，与的方向一定相同；三、课后作业1、若有以下命题：=1\*GB3①两个相等向量的模相等；=2\*GB3②若和都是单位向量，则；=3\*GB3③相等的两个向量一定是共线向量；=4\*GB3④，，则；=5\*GB3⑤零向量是唯一没有方向的向量；=6\*GB3⑥两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。2、已知下列各式：①；②③④其中结果为零向量的个数为（）A．1B．2C．3D．43、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（） A． B．C． D．4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；此时．5、若则的取值范围是图16、（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量()图1A.B.C.D.7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____8、设为两个不共线的向量，若与共线，则=__________________9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．10、如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：思考题：设点O在△ABC内部，且有，求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90°，则称a与b，记作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标：设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数，使得，记作。（2）平面向量的坐标运算①，则有，，，②设，则有；③向量共线的坐标表示：设，则有a与b共线，；④中点公式设，P为的中点，则对任一点O，有，所以点P的坐标是。二、专题经典讲练例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）A.B.C.D.例2、已知，向量，若，求向量。变式：1、已知，求。2、若，则=___________。3、设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（(A)（1，－1）(B)（－1，1）(C)（－4，6）(D)（4，－6）4、已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为（）A．0B．－8C．2D．例2、已知点，设的平分线AE与BC相交于E，且，则等于（）A.2B.C.-3D.变式：1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的 （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为()例3、已知点A(1,－2),若向量与={2,3}同向,=2,则点B的坐标为.变式：1、已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是 （） A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]2、已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（） A． B． C．16，0 D．4，03、若平面向量与向量的夹角是，且，则A. B. C.D.4、若向量，满足，则与所成角的大小为________．例4、若向量，且，求的值。变式：1、已知向量且∥，则=（A）（B）（C）（D）2、向量，当为何值时，A、B、C三点共线。3、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为（）(A)(B)(C)(D)例5、已知三点，点P满足（1）为何值时，点P在正比例函数的图像上？（2）设点P在第三象限，求的取值范围。课后作业1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，2、已知点（）A． B． C． D．3、已知，，，若，则等于（）A．B．C．D．4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量,则向量的坐标为6、在直角坐标系xO