山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

2021——2022学年高一下学期教学质量检测

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1

Z=-------

1.已知复数1+i,则复数Z共辗复数的虚部为()

11

A.—1B.1C.-------D.—

22

答案：D

11-i11.-11

解析：z=T7T=(ι÷i)(ι-i)^^i1'则z=5+3，

故复数Z共筑复数的虚部为T.

故选：D.

2.高一、1班有学生54人，高一、2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一

部分人组成4x4方队，进行会操比赛，则高一J班和高一、2班分别被抽取的人数是()

A.9、7B.15、1C.8、8D.12、4

答案：A

54

解析：由题意得高一、1班被抽取的人数为-------χl6=9人，

54+42

高一、2班被抽取的人数一二一χl6=7人，

54+42

故选：A

3.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0∙8,乙做对的概率为0.9,下列说法错

误的是()

A.两人都做对的概率是0.72B.恰好有一人做对的概率是0.26

C.两人都做错的概率是0.15D.至少有一人做对的概率是0.98

答案：C

解析：由于甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,

故两人都做对的概率是0.8x0.9=0.72,所以A正确；

恰好有一人做对的概率是0∙8X(1-0∙9)+(1-0.8)X0.9=0.26,故B正确;

两人都做错的概率是(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,故C错误;

至少有一人做对的概率是1一(1—0.8)X(1-0.9)=0.98,故D正确，

故选：C

4.已知向量α=(-1,2),⅛=(2,∕M),若aLb，则m=()

-11

A.-1B.1C.--D.一

44

答案：B

解析：因为a_Lb，

所以(―l)x2+2m=0,解得m=1.

故选：B

5.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,

经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给

出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm),那么该壶的最大盛水量为()

C.20√H)τz-cm3D.204乃Cm3

答案：B

解析：由题意得上底面半径为4,面积S∣=%x4?=16万，

下底面半径为6,面积S2=乃X6?=36万，圆台高力为6,

则圆台的体积V=；(S∣+S2+占瓦)〃=；(16万+364+√16τrχ36万)χ6=1521cπ?.

故选：B

6.甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取100件产品进行检

验.采取以下方法抽取：从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取

两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽

取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是()

A.甲车间30件，乙车间70件B.甲车间70件，乙车间30件

C.甲车间59件，乙车间41件D.甲车间41件，乙车间59件

答案：D

解析：解：因为从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球,

42

抽到两球颜色相同的概率为C+C抽到两球颜色不同的概率为

C

CC63

C-Io-5,

2

所以从两车间抽取IOO件产品进行检验，甲车间抽取产品数为IOoXM=40件，乙车间抽取

3

产品数为IoOXM=60件，

所以两车间分别抽取的产品数最接近的是甲车间41件，乙车间59件，

故选：D.

7.在.∙ΛBC中，角人及C对边分别为a、b、c,且喀4=乌，当α=J7"=2时，ABC

sinB3b

的面积是（）

A.3B.立D.平

r3√3

222

答案：C

解析：对于竺1=叵，用正弦定理得：COSA近SinA

sinB3b

因为Aw（0,»），且tanA=6,所以A=

由余弦定理/=∕72+C2-2%CoSA得：7=4+/—2x2cχ1,

2

解得：c=3（C=—1舍去）.

所以AfiC的面积是S=L从SinA=Lχ2x3x3

2222

故选：C

8.某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午

就餐的顾客中随机抽取了loo人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人

次），则下列说法正确的是（）

老年人中年人青年人

满意

度

自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐

IO

分

121202201

（满

意）

5分

（-2263412

般）

0分

（不

116232

满

思）

A.满意度为0.5

B.不满意度为0.1

C.三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐

D,从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1

答案：D

解析：解：对A：满意度为12+1+2咚2土20±1=056,故选项A错误；

100

对B：不满意度为"1+6丫上3+2=015,故选项B错误；

100

1532

对C：老年人选择自助餐的频率为［=至，中年人选择自助餐的频率为£=云，青年人

27

选择自助餐的频率为A=石，由鸟>4>6,可得中年人更倾向于选择自助餐，故选项C

错误；

对D:从点餐不满意的顾客中选取2人有C；=10种选法，其中两人都是中年人有C；=l种

选法，所以从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是L=O.1,故选项

10

D正确.故选：D.

二、多选题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某学校有Iooo名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测

试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（）

A.频率分布直方图中“的值为0.005

B.估计这100名学生成绩的中位数约为77

C估计这100名学生成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为160

答案：AB

解析：对于A,由频率分布直方图可得10（2α+3α+7α+6α+2α）=l,解得α=0.005,

所以A正确，

对于B,由频率分布直方图可知，前2组的频率和为10x5XQoO5=0.25<0.5,前3组的

频率和为10xl2χ0.005=0.6>0.5,所以中位数在第3组，设中位数为χ,则

0.25+7X0.005（x-70）=0.5,解得XB77,所以B正确，

对于C,由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75,所以C错误，

对于D,由频率分布直方图可知成绩在［60,70）的频率为3x0.005x10=0.15,所以总体

中成绩落在［60,70）内的学生人数约为0.15x1000=150人，所以D错误，

故选：AB

JT

10.已知.ABC三个内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,且NC=—，c=2,则下列

3

结论正确的有（）

A..ABC面积的最大值为GB.bcosA+acosB=>/2

cosR

CABC周长的最大值为6D.的取值范围为

cosA

答案：AC

ɑ?+—41

解析：解：对于A,由余弦定理得：COSC=U^_∑=l,解得：a2+b2^ab+4^

Iah2

由基本不等式得：a2+b2=ab+4≥2ab<当且仅当α=b时，等号成立，

所以a〃<4,故SABC=g4∕?SinC<g∖故A正确；

对于B,∕?COSB+αcos3="•"-+a∙a+C-=∙^-=c=2，故B不正确;

2bc2ac2c

z>2+A2—41

对于C,由余弦定理得：CoSC=J^~-=-，解得：/+/=40+4,

2ab2

所以(α+b)2=3^+4≤3×+4，当且仅当。=〃时，等号成立,

解得α+A<4,当且仅当。=〃时，等号成立，

所以，A6C周长∕=α+b+c<4+2=6,所以「ABC周长的最大值为6,故C正确;

一CoS(A+]√3.λ1λ

——SinA——cosA∕τ

对于D,cosβ22√31，

—------------------=——tanAx——

cosAcosAcosA22

因为A∈

f0,—,所以tan4∈b0?,-百)D(O,+8)

所以日tanA-g∈(-8,-2)

{2,+00故D错误.

故选：AC.

11.如图，在ABC中，JBC=6,D,E是BC的三等分点，且AO∙AE=4,则（）

A

—1—

B.AD=-AB+-AE

22

.2.2

d∙A8~+AC~=28

答案：BCD

1ɪ/∙∖12

解析：对于A,AE^AC+CE^AC+-CB=AC+-（AB-AC]^-AB+-AC,故选

项A不正确；

对于B,由题意得。为8E的中点，所以Az）=—ABH—AE,故选项B正确；

22

对于C,取。E的中点G,由BC=6,£>,E是BC的三等分点得G是BC的中点，且DE=2,

所以

.(IΛ(1、2I2

ADAE^∖AG——DE∙AG+-DE=AG——DE=4,

I2)I2J4

所以AG2=5，ABAC=（AΛG+∣BCj=ΛG2=5-9=-4,

故选项C正确；

对于D,由G是BC的中点得AB+AC=2AG，两边平方得

AB2+2ABAC+AC2=4AG2-所以AB?+AC，=20+8=28，故选项D正确.

故选：BCD.

12.如图1所示，四边形ABCZ）是边长为2的正方形，E、F、M分别为BC、CD、BE

的中点，分别沿AE、Af'及跖所在直线把“即、Z∖AED和AEFc折起，使8、C、

。三点重合于点尸，得到如图2所示的三棱锥P-g',则下列结论中正确的有（）

图1图2

A.四面体∕¾EF中互相垂直的棱有3对

2

B.三棱锥河一AEE体积为§

C.4W与平面PEF所成角的正切值为4

Jl3TT

D.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为

[42J

答案：CD

解析：对于A选项，易知AE=A、=J2?+F=石,EF=√12+12=√2»

翻折前AB_L3E，CE1.CF,ADrDF,

翻折后，则有B4_LPE，PAYPF，PELPF,

所以PA_L平面尸"，PAlEF,

因为△人£尸是非直角的等腰三角形，所以，四面体24所中互相垂直的棱有4对，A错;

对于B选项，因为A4LPE,PA±PF,PELPF，PEPF=P,

PE、PFU平面PEF，PA上平面PEF,

M为PE的中点,则“MEF=5工叼=∕X5Xl-=W,

∙'∙Vu-AEF~A-MEF-T^ΔMEF'卓=1]、2=ZB错；

534。

对于C选项，因为QAJ_平面PM,W与平面？斯所成角为NAMP,

PA

在RtAMP中，tanNAMP=——=4,C对；

PM

对于D选项，将三棱锥AEF补成长方体PEQA-FGN”，

则三棱锥P-AEF的外接球球心。为体对角线PN的中点，

且PN=JPE2+PF?+P#=娓,即球。的半径为R=*，

所以，过点”的平面截三棱锥P-A所的外接球所得截面圆的半径设为广，

设球心。到截面圆的距离为d,则O≤d≤QM,

O、M分别为PN、PE的中点，则OM=LEN=立堂.=好,

222

则0≤d≤亭，："=找"e[；停;则%∕∈ɪ,ɪ,

TT377

因此，过点M的平面截三棱锥尸一AEE的外接球所得截面的面积的取值范围为

[42

D对.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.复数(α-i)(3+4i)在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数

a=,

答案：7

解析：由题意得(α-i)(3+4i)=3α+4αi-3i-4i2=3α+4+(4α-3)i,

在复平面内对应的点为(3α+4,44-3)

因为该点在第一、三象限的角平分线上，

所以3α+4=4α-3,解得α=7.

故答案为：7

14.ABC中，AB=AC=5,BC=S,则此三角形的外接圆半径是.

25

答案:

~6

解析：由余弦定理得CoSA=AC+AB—以：=25+2564=

2ACAB2×5×525

因为A∈（0,九）,所以SinA=JI-COS2A=—,

25

BC=8

设外接圆半径为R,由正弦定理得SinA-24—，解得R=三

石6

25

故答案：—

6

15.已知样本的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13,19,2θ（α力∈N）,

且样本的中位数为10.5,则a+人=；若要使该样本的方差最小，则

CIb=•

答案：①.21②.110

解析:解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,4,b,12,13,19,2θ（α,⅛∈N）,

且样本的中位数为10.5,

a+bʌ

所以——=10.5,即4+0=21;

2

LLtItɪɪɪ-1-ti∕、？2+3+3+7+α+”+12+13+19+20ʌ

所以样本平均λ数14为-------------------------------------=1i0,

10

要使样本方差最小，即（0-10）2+S-IO-最小，

又因为

(a-10)2+0-10)2=(21-⅛-10)2+0-10)2

,,,(21Y1

=(ll-⅛)2+(h-10)2=2⅛2-42⅛+221=2b——+—,

I2J2

因为∈N,

所以当A=Il或6=10时,（α-10）2+S-10）2取得最小值,

又a+Z?=21,

所以α=ll,b=10或Q=Io=,

所以M=110∙

故答案为：21；110.

16.如图，已知二面角1一/一/?的棱/上有A,B两点，c∈α,ACl/,Deβ,BDVl,

若AC=AB=8D=2,CD=20，有以下结论：

(1)直线AB与Cn所成角的大小为45。；

(2)二面角。一/一尸的大小为60。；

(3)三棱锥A-Bc。的体积为26;

(4)直线CO与平面/所成角的正弦值为亚.

4

则正确结论的序号为.

答案：(1)(2)(4)

解析：如图，在夕内作Z)E〃A3,AE〃瓦),交于E点,

则NCDE即为直线AB与CD所成角或其补角，

因为BOU,AB=BD=2,则AELA8,EOL8。，

故四边形AEQB为正方形，则OEJ_AE,又AC_L/,则OElAC,

而ACCAE-A,故DE-L平面ACE,CEU平面ACE,

故DEJ_CE,又CD=2∙j2,DE=AB=2,故cosNCDE=DE=

CD2

由于0"<NCDE≤90°，故NeoE=45，故（1）正确；

由于ACLA8,E4J.AB,故NcAE为二面角α—/-尸的平面角,

由以上分析可知CE=JE讨二鬲=JH=2,AE=Bo=2,Ae=2，

故ZVlCE为正三角形，则NC4E=60，故(2)正确；

由于Z)El平面4CE,DEU平面AE£>氏故平面ACEL平面AEDB,

且平面ACE｝平面AEE>8=AE,故作C〃_LAE,垂足为H,

则C”,平面AEo8,KCH=ACsin60=JL

所以匕BCD=7CABD=!$ABD，CH=-×-×2×2×G=冬巨,故(3)错误；

A-BLDC-ADUɜΛoL)32V3

连接DH,由于CH，平面AEDB,故ACDH为直线CQ与平面£所成角，

在RtCH。中，SinNCDH="=耳=显,故(4)正确，

CD2√24

故答案为:(1)(2)(4)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，AB是：。的直径，出垂直于：O所在的平面，C是圆周上不同于AB的任意一

点，且P4=A3.求证：

(I)平面PACJ_平面PBC；

(2)当点C(不与A、8重合)在圆周上运动时，求平面PBC与CO所在的平面所成二面

角大小的范围.

答案：(1)证明见解析

(1)

因为以垂直于CO所在的平面ABC,BCU平面ABC,

所以Q4LBC,PA1.AC,

因为4B是。。的直径，

所以AClBC,

因PA,ACu平面以C,

所以BC工平面以C,

因为BCu平面PBC,

所以平面PAC，平面PBC

(2)

因为BC工平面∕¾C,PCU平面%C,

所以BCLPC,又AC工BC,

所以APCA即为平面PBC与(O所在的平面所成二面角的平面角,

设NCAB=6,6e[(),1],圆O的半径为R,

则AC=2RcosG,又∕¾=Aβ=2R,

PA2R1

所以tanNPCA

AC2Rcos6CoSe

因为ee(o4)，所以CoSee(0』),

所以1211/尸。4=—!—〉1,

CoSe

因为NPC4e1()，W

所以NPC4∈

所以平面PBC与-。所在的平面所成二面角大小的范围为

18.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举

办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比

赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的

年龄分布得到如图频率分布直方图∙

频率

(1)试估计IOO名志愿者的平均年龄及第75百分位数；

(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取

5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.

答案：(1)平均年龄43.5岁，第75百分位数为52.5

(2)0.9

(1)

由题意得(0.015+0.025+a+0.02+0.01)×10=l,解得α=0.030,

所以100名志愿者的平均年龄为

25×0.015×10+35×0.025×10÷45χ0.03χl0+55χ0.02χl0+65χ0.01χl0=43.5岁，

因为0.015x10+0.025x10+0.03x10=0.7<0.75,

0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.02×10=0.9>0.75,

所以第75百分位数位于［50,60)内，设第75百分位数为X,

则0.7+(X—50)X0.02=0.75,解得X=52.5,

所以第75百分位数为52.5

(2)

40

医疗组抽取人数为5x-------=2人，设为a,b,则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C,

40+60

5人中选取3人组成综合组，情况可能为(αS,A),(α,伍3),(α,"C),(α,AB),(a,4,0,

(a,B,Q,(b,A,B∖(b,A,C),(b,B,C),(A,BQ,共10种，

至少有1人来自医疗组的情况为

(a,b,A),(a,b,B),(a,b,C),(a,A,B),(a,A,C),(a,B,C),(b,A,B),(b,A,C),(b,B,C),共9

种，

9

所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率P=Z=0∙9

IO

19.如图，一条河两岸平行，河的宽度AC=疯m，一艘船从河边的A点出发到达对岸的

3点，船只在河内行驶的路程ΛB=2km,行驶时间为0.2h∙已知船在静水中的速度W的大小

为间，水流的速度%的大小为∣%∣=2kιWh∙求:

⑴

(2)船在静水中速度匕与水流速度为夹角的余弦值.

答案：(1)∣W∣=2>∕ΣT

⑵叵

14

(1)

因为船只在河内行驶的路程AB=Tkm,行驶时间为0∙2h，

所以船只沿AB方向的速度为M=—=1Okm/h.

II0.2

由AC=J^km，Aβ=2km,根据勾股定理可得：BC=拉?-3=1km,所以ZBAC=30°,

即(丫2,丫)=6。。

由U=H+%，得：v1=v2-V»

所以M=J=-2丫；∙r+v~=Λ∕22-2×2×10COS60O+102=2^∣21.

(2)

因为U=M+%,所以一二卜［+匕)，

即10()=(2√ΣTy+2x2历x2CoS(vrW)+22,解得：CoSel,匕)=答

即船在静水中速度匕与水流速度岭夹角的余弦值为叵.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是梯形，AD//BC,且AT>=26C,

PA±PD,AB=PB.

(1)若F为巩的中点，求证防〃平面PCD

(2)求证QA_L平面尸CD

答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

(1)

取Pz)中点E,连接EF、EC,如图所示

因为瓦F分别为尸。、以中点，

所以EE//A。，且EF=；A。，

又因为A。〃BC,且AZ)=2BC,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四边形MBC为平行四边形，

所以BF//EC，

因为B/Z平面Pe7),ECU平面PCr>,

所以班1〃平面PCz)

(2)

因为AB=P8,尸为雨中点，

所以跖_LAT5,则EC_LAP,

因为Q4,PE＞，EC,POu平面PCQ,

所以Q4L平面PCD

21.如图，在A5C中，已知AC=1,AB=3,ABAC=W,且尸A+PB+PC=0∙求

COSZAPC.

ʌʌʌ,11√91

答案：-ɪʌ

182

解析：由题意得IABl=3,∣AC∣=1,AB,AC的夹角为Nfi4C=60。，

PA+PB+PC=O，则PB+PC=-PA，

又4月=尸月一PA=定一Λ4,所以AB+AC=PB—P4+PC—PA=-3PA，

1111

故P4=—§(AB+AC),同理尸C=§(8C+AC)=§(AC—AB+AC)=§(2AC-AB)

于是

,1,12211B

∣PA∣2=[--(AB+4C)]2=-(A8+2ABAC+AC)=-(9+2×3×l×-+l)=—,

∙∙∣PA∣=平，

L-I?

1122

∣PC∣29=-(2AC-AB)=-(AB-4ABAC+4AC)

=’(9-4x3χlχL+4)=Z,.∙∙∣PCI=—，

9293

I1

pa.pγ--(AB+AC)∙-(2AC