2023年高考数学一轮复习讲义：第九章 9-5椭圆及其性质

§9.5椭圆及其性质

【考试要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对

称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点Q,3的距离的和等于常数（大于∣QF2∣）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点

F∣,F,叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离焦叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

ɪ

图形

β,∖θk1∕β2ɪ

力+:=l(tf>6>0)

标准方程方+方=1(〃》>0)

≡一〃≤rz⅞α且一一<yWZ?—bWxWb且一αWyW4

Al（一，,o）,as。）4(0,—a),A2(O,a)

顶点

（0,――，生（0,份为(一40),Bz(AO)

轴长短轴长为长轴长为2a

焦点FlLc,0),尸』(0,—c),B(0,C)

焦距

∖F↑F2∖=2C

对称性对称轴：X轴和y轴,对称中心：原点

离心率^=^(0<e<l)

a,b,c的关系H="+’2

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（X0,yo）与两焦点构成的叫做焦点三角形.如图所示，设NFlPF2=9.

(1)当P为短轴端点时，。最大，S最大.

1,θ

Q)S&FPF=5FFlilPF2∣Sino="an5=Φ0∣.

QZvr2N乙

(3)1PFIlmaX=α+c,IPQImin=α-c.

IPQI+1PB

(4)∣PFI∣∙∣PF2∣≤

(5)4c∙2=∣PFι∣2+∣P3∣2-2IpFlllPF2lCOSθ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与两个定点Q,尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（X）

（2）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（√）

（3）++5=1（%表示焦点在），轴上的椭圆.（X）

（4）/+*=13>b>0）与力+京=I3>b>0）的焦距相等.（√）

工教材改编题1

72

1.设P是椭圆会+太=1上的点，若Fι,乃是椭圆的两个焦点，则IPQl+IPBI等于（）

A.4B.5

C.8D.IO

答案D

解析依椭圆的定义知，

∣PFI∣+∣PF2∣=2×5=10.

2.若椭圆C：f+f=l,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）

A.3B.2+√3

C.2D.√3+l

答案A

解析由题意知α=2,⅛=√3,所以c=l,距离的最大值为α+c=3.

3.（2022•深圳模拟）已知椭圆C的焦点在X轴上，且离心率为则C的方程可以为

答案获+万=1（答案不唯一）

解析因为焦点在X轴上，所以设椭圆的方程为a+方=1,a>b>O,

因为离心率为V

所珠=;,

斫以C2/一从1

所以/_42-4.

则万一3

则足一中

•探究核心题型

题型一椭圆的定义及其应用

例1(1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上任意一点，NQ,0),线段AN的垂直

平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

答案B

解析点P在线段AN的垂直平分线上，故∣%∣=∣PN∣.又AM是圆的半径，所以∣PM+∣PN∣=∣PM

+∣∕¾∣=∣AM=6>∣MN∣.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆.

ɪ2V2

⑵设点P为椭圆C：”+彳=1(a>2)上一点，F1,巳分别为C的左、右焦点，且NQPF2=60。,

则4PQF2的面积为.

答案华

解析由题意知，C=声二i

又∕F∣PB=60°,IFIPI+∣PF2∣=20,

2

∣F,F2∣=2√α-4,

∙∙∙∣F∣F2∣2=(∣F∣P∣+∣PBI)2—2∣FIPlIPF2∣-2∣FIPMPF2∣COS60°

=4廿一3|BPHPF2∣=4∕-16,

Λ∣FlP∣∙∣PF2∣=y,

；•SAPg=IlQPHPCIsin60°

ɪlx∣6χ√3

—2X3X2

_4小

-3,

延伸探究若将本例(2)中“NF|PF2=60。”改成“PFI_LPF2"，求aPQB的面积.

解VPFIIPF2,

.∙.∣PEF+∣PF2∣2=IFlF2|2=4(届—4)

=4廿一16,

又∣PF∣∣+IPF2∣=2”,

.∙.∣PF∣HPF2I=8,

*'S—4

工教师备选，

1.zλABC的两个顶点为A(-3,0),2(3,0),ZsABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()

A⅛+⅛=,^≠0)

B⅛⅛lg0)

C⅛+⅛=lCy≠O)

D立+卷=1Q≠O)

答案A

解析由题知点C到4,8两点的距离之和为10,故C的轨迹为以4-3,0),8(3,0)为焦点，

72

长轴长为10的椭圆，故24=10,c=3,从=/—¢2=16.所以方程为券+汽=1.又A,B,C

92

三点不能共线，所以生+汽=1U≠O).

2.若Fι,F2是椭圆方+]=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且NAFIF2=45。，则AAQF?

的面积为()

A.7B.C.∣Dr~^-

答案C

解析由题意得4=3,⅛=√7,c-y∣2,

.∙.∣F,F2∣≈2√2,IAFII+[AF2I=6.

222

VμF2∣=∣AFl∣+∣F,F2∣-2∣AFι∣-∣FιF2∣cos45°

2

-∣AFI∣+8-4∣AF,∣,

22

Λ(6-∣AFI∣)=∣AF,∣+8-4∣AF1∣,

7

解得∣A∕71∣=,

・•・ZXAQB的面积

S=^X2.X3X乎=*

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值

和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)已知两圆G：(x—4)2+)2=169,C2：(x+4)2+y2=9.动圆M在圆G内部且

和圆Cl相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()

A∙⅛-⅞=lB∙⅛+⅛=l

2222

cx_r=1D^-+X=1

答案D

解析设动圆的圆心M(X,y),半径为广，

圆M与圆C∣:(X-4)2+y2=169内切，

与圆C2：(x+4)2+y2=9外切.

所以IMGI=I3—r,∣MC2∣=3+r.

∣MCι∣+∣Λ∕C2∣=16>∣CιC2∣=8,

由椭圆的定义，M的轨迹是以G,C2为焦点，长轴长为16的椭圆.

则a=8,c=4,

所以"=82—42=48,

动圆的圆心M的轨迹方程为⅛∙⅛=1.

72

⑵(2022・武汉调研)设椭圆，+苧=1的一个焦点为R则对于椭圆上两动点A,B,A48/周

长的最大值为()

A.4+√5B.6

C.2√5+2D.8

答案D

解析设Q为椭圆的另外一个焦点，

则由椭圆的定义可得IAFI+IBQ+IABI=2α—IAQ∖+2a-∖BFl∖+∖AB∖=4a+∖AB∖-∖BF↑I-IAFII=

8+∣ABI—IBFII—IAFI|,

当A,B,Fl三点共线时，

∣AB∣-∣βF,∣-∣AF∣|=0,

当A,B,Fl三点不共线时，

IABI-IBBI-IABIV0,

所以当A,B,Fl三点共线时，AABF的周长取得最大值&

题型二椭圆的标准方程

命题点1定义法

例2已知椭圆C的焦点为尸∣(一1,0),Γ2(l,0),过F2的直线与C交于A,B两点、.若HBI=

2∣F2B∣,[AB∖=∖BFi∖,则C的方程为()

A.y+∕=1B.y+2^=1

y2ɪ-y-

C∙7÷7=1D.§+『1

答案B

解析设椭圆的标准方程为5+5=l(α>b>O),

由椭圆定义可得IAFIl+∣A8∣+由QI=44.

V∣AB1=∣BF∣∣,Λ∣AF∣∣+2∣ABI=4a.

又IAF2∣=2∣B3∣,

3

.∙.∣4B∣=习AF2I，

Λ∣AFι∣+3∣AF2∣=4α.

又IAFll+∣AF2l=2α,

.∙.∣4F2∣=m,A为椭圆的短轴端点.

如图，不妨设A(0,b),

又B(l,0),AF2=2FlB,

将B点坐标代入椭圆方程，1=1,

Qh2

得正+正=I，

.∙∙∕=3,h2=a2-c2=2.

ɔ2

椭圆C的方程为W1.

命题点2待定系数法

例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点小玳，1),P2(-√3,-√2),

则该椭圆的方程为.

答案∙+∖=l

2

解析设椭圆的方程为mχ+"y2=](zπ>θ,72>0,且7#〃).

因为椭圆经过多，P2两点，

所以点P,P2的坐标满足椭圆方程，

6m+n=l,fm-9,

则，」1解得《1

3m+2〃=1,

[n=y

所以所求椭圆的方程为5+⅞L=1.

yɔ

【教师备选】

1.已知椭圆C：/+g=l(n>6>0)的左、右焦点分别为F∣,F2,离心率为看过B的直线与

椭圆C交于A,8两点,若4F∣AB的周长为8,则椭圆方程为()

由椭圆的定义可知，的周长为4“，

所以44=8,Q=2,

又离心率为今

所以c=l,⅛2=3,

所以椭圆方程为3+(=1.

√2、伤

2.设椭圆Q+v∕=1("7>O,〃>0)的右焦点为(2,0),离心率为V，则此椭圆的方程为

答案⅞+7≈ι

解析椭圆的右焦点为(2,0),

所以加2-/=4,e=乎=看，

所以m=2∖β,代入苏一〃2=4,得层=4,

所以椭圆方程为⅞L+9=1.

O4

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

⑵待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,A当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

一般可设所求椭圆的方程为ιnx2+ny2=∖(m>O,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置，用待定系

数法求出m,n的值即可.

跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F∣(-√5,O),F2(√5,0),M是椭圆上一点，若

MFiLMF2,IMQl∙∣MB∣=8,则该椭圆的方程是()

A*/B.⅞+y=l

22

C—XV1

答案C

解析设IMQ|=，小IMBI=",

因为M∣“FI∣∙∣MF2∣=8,

∣F,F2∣=2√5,

所以m2+n2=20,mn=8,

所以(加+几)2=36,

所以加+〃=24=6,所以0=3.

因为C=小，

所以h=y∣a2-c2=2.

所以椭圆的方程是蒋+9=1.

⑵已知外(一1,0),6(1,0)是椭圆C的两个焦点，过巳且垂直于X轴的直线交C于A，B两点,

且|4剧=3,则C的方程为()

A.y+>∙2=1B.y+^=1

c⅞+∙3=1D[+?=I

答案C

解析如图，IAF2∣=;IABI=|,∣F∣F2I=2,

由椭圆定义,

3

-

2

在RtΔAFlF2中，

由①②得o=2,Λb2=a2-c2=3.

.∙.椭圆C的方程为，+]=1∙

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

22

例4(1)(2022•湛江模拟)已知F是椭圆C：，+方=l(d>6>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且

3

斜率相的直线与以点尸为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为()

答案A

解析过椭圆C的下顶点(0,-6)且斜率为]的直线方程为y=%一从即%—y—8=0,

F(c,0),由点到直线距离公式，

3

即/=一的c+3,即(2c-b)(c+2b)=0,

则2c-0=0,b=2c.

又a2=b2+c2,即672=(2C)2+C2=5C2,

解得Aw

(2)已知Fl,B分别是椭圆,+*=l(α>6>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P,使NEPF2

=90。，则椭圆的离心率e的取值范围为()

AG,叫B惇1）

C∙（θ,叫D母1）

答案B

解析若椭圆上存在点P,使得PFl_LP&,则以原点为圆心，QF2为直径的圆与椭圆必有交

点，如图，

可得即C

所以2C2*2,即e?*,

又e<l,所以6丘［孚，1）.

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出“，c,利用离心率公式e=5求解.

（2）由“与〃的关系求离心率，利用变形公式求解.

（3）构造α,C的齐次式.可以不求出α,C的具体值，而是得出α与C的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围（最值）

例5（1）以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最

小值为（）

A.IB.√2

C.2D.2√2

答案D

解析设4,6,C分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为

6时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以T><2（⅛=l,故匕C=1,故

24=2亚转N2√5应=2啦（当且仅当6=c=l时取等号）.

（2）如图，焦点在X轴上的椭圆£+£=130）的离心率e=*F,A分别是椭圆的左焦点和右

顶点，P是椭圆上任意一点，则河••皮的最大值为

答案4

解析由题意知。=2,因为C='=/

所以c=1,

222

所以h=a-c=3f

故椭圆的方程为3+1=1.

设尸点的坐标为(沏，泗)，

所以一2WΛ⅛≤2,—"∖Z3≤yo≤√3∙

因为F(-l,0),A(2,0),

所以PF=(-Lxo,一州)，

PA-(2~xo,—yo),

所以际•两="一加一2+的=品一xo+1=∕A¾-2)2,

所以当项=-2时，即•或取得最大值4.

【教师备选】

1.嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的桶圆形轨道，如图中轨道③所示，其近

月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为

3476公里，则下列选项中正确的是()

A.焦距长约为400公里

B.长轴长约为3988公里

C.两焦点坐标约为(±150,0)

75

D.离心率约为丽

答案D

解析设该椭圆的长半轴长为α,半焦距长为c.

依题意可得月球半径约为］X3476=1738,

。一C=100+1738=1838,

α+c=400+l738=2138,

所以2。=1838+2138=3976,a=∖988,

c=2138-1988=150,2c=300,

椭圆的离心率约为e=?=品=就，

可得D正确，A,B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误.

2.(2022.太原模拟)若点。和点F分别为椭圆千+5=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任

意一点，则5>∙崩的最大值为()

A.2B.3C.6D.8

答案C

解析由椭圆5+5=1可得尸(-1,0)，

点0(0,0).

设P(x,y)(-2≤x≤2).

=*+X+3=[(X+2)2+2,—2≤Λ≤2,

当且仅当x=2时，OPFP取得最大值6.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；

(2)利用函数，尤其是二次函数;

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟踪训练3⑴(2022・济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F2,以Fl为圆心，IFIF2∣为半

径的圆与E交于P,。两点.若APQB为直角三角形，则E的离心率为()

n小一1

A.√2-1tɔ.2

D.√2+l

答案A

解析不妨设椭圆E的方程为，+g=l(n>Z>O),如图所示,

•.•△PFiB为直角三角形，

J.PF∖LF∖F2,

又IPFlI=IFI尸2∣=2c,

Λ∣PF2∣=2√2C,

Λ∣PF∣I+∣PF2∣ɪ2c+2√2c=2«,

，椭圆E的离心率e=^=y∣2-l.

92

(2)已知椭圆C：a+g=l(a>b>O),点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P,使得/AP8

=120。，则该椭圆的离心率的取值范围是()

C(O,叫D(O,I

答案A

解析如图,

当尸在上顶点时，NAPB最大,

此时NAPB2120。，

则NAP0260。，

所以tan/APONtan60o=√3,

即£》小，a2^3b2,a2^3(a2-c2),

所以2(72≤3C2,

则溶

所以椭圆的离心率的取值范围是半，1)

课时精练

C基础保分练

1.已知动点M到两个定点4(-2,0),8(2,0)的距离之和为6,则动点M的轨迹方程为()

A&+)2=1B.5+[=l

C.∙^^+Λ2=1D∙]+"k=ɪ

答案D

解析由题意有6>2+2=4,

故点例的轨迹为焦点在X轴上的椭圆,

贝IJ2α=6,C=2,故〃2=9,

所以b2=a2~c2=5,

故椭圆的方程为5+9=1.

22

2.若椭圆C：次+廿=l(aM>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为()

答案C

解析依题意可知，c=b,

又a=y∣b2+c2z=√2c,

.∙.椭圆的离心率e=5=乎.

2

3.椭圆^+y=l的两个焦点分别是F”F2,点P是椭圆上任意一点，则耐•配的取值范

围是()

A.[-1,1]B.[-1,0]

C.fθ,ɪ]D.[-1,2]

答案C

解析设Fl为左焦点，

则由椭圆方程得Q(-l,0),F2(LO),

设P(x,ʃ),—√2≤x≤√2,

ʌPFi=(—1-%,—y),PF2=(1—X,—y),

7

则？K∙7M=Λ2+y2-l=zfe[0,i].

4.设e是椭圆作+Y=I的离心率，且e∈Q,1),则实数上的取值范围是()

A.(0,3)B(3,y)

C.(0,3)U(^y,+8)D.(0,2)

答案C

解析当fc>4时，CKk-4,

1A——4

由条件知甲L^一<1，

解得Q竽；

当0<Z<4时，c=√4→,

14-k

由条件知了，-<1,解得0<⅛<3.

5.已知Q,B分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交

椭圆于点M,N,若过Q的直线是圆B的切线，则椭圆的离心率为()

A.√3-lB.2-√3

答案A

解析：过Fl的直线是圆尸2的切线，

O

ΛZF1MF2=90,∖MF2∖=C,

∙.∙∣B啊=2c,

Λ∣MF∣∣=√3c,

由椭圆定义可得

∣MFI∣+∣MF2∣=C+√3C=2Λ,

椭圆的离心率e=1—1.

6.(2022・济南模拟)已知椭圆C：∖+g=l(α>3>0)的左、右焦点分别为Q,F2,且IQF2∣=2,

点P(l,l)在椭圆内部，点。在桶圆上，则以下说法不正确的是()

A.∣QE∣+∣QP∣的最小值为2〃一1

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为(o,咛W)

D.若AK=而，则椭圆C的长轴长为小+寸万

答案B

解析由题意可知2c=2,则c=l,因为点。在椭圆上,

所以IQQl+IQBI=2",∖QF↑∖+∖QP∖=2a-∖QF2∖+∖QP∖,

又一IW-IQF2∣+∣QP∣W1,所以A正确；

因为点P(l,l)在椭圆内部，所以6>1,2比>2,

所以B错误；

因为点P(l,l)在椭圆内部，所以方+*<1,

222

即/+〃2—°2%2<0,又C=],⅛=α-c,

所以(<?—l)+q2-q2(q2-])<0,

化简可得/-3后+1>0(4>1),

解得q2>3^^β或〃2<3J(舍去),

则椭圆C的离心率

又O<e<l,所以椭圆C的离心率的取值范围为0,

所以C正确;

由丽=前可得，Fl为P。的中点，

而P(l,l),F∣(-1,0),

所以。(一3,—1).

∖QFi∖+∖QF2∖

=√(-3+1)2+(-1-0)2+√(-3-1)2+(-1-O)2

~yβ+y[∖7-2a,

所以D正确.

7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22,现太阳光与地面的夹角为

60°,则此椭圆形影子的离心率为.

答案

解析由图可得，椭圆的短轴长28=22=b=ll,

222222

2。=而亦=道=α=下，

2

8.(2021•全国甲卷)已知B,B为椭圆C：器+"=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原

点对称的两点，且IPQI=IFIF2∣,则四边形尸FIQF2的面积为

答案8

解析根据椭圆的对称性及IPQl=IEF21可以得到四边形PQQF2为对角线相等的平行四边形,

所以四边形PB。&为矩形.设IPFlI=m,则∣Pf⅛l=2α—IPFlI=8-m,则IPQF+俨&卜=.+

222222

(8-W)=2m+64-16∕M=∣FIF2I=4C=4(Λ-⅛)=48,

得m(8-m)=8,所以四边形PQQF2的面积为IPFIlX|尸尸2|=〃?(8—，〃)=8.

9.已知椭圆的长轴长为10,两焦点Fi,尸2的坐标分别为(3,0)和(一3,0).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为短轴的一个端点，求△吊PE的面积.

解(1)设椭圆的标准方程为

92

吞+方=l(4>b>0),

2«=10,

依题意得,

c=3,

因此α=5,⅛=4,

所以椭圆的标准方程为S⅛=l.

ZJIO

(2)易知Iwl=4,又¢=3,

所以Sy叩=⅛y∕>l×2c=∣×4×6=12.

,

ZΔt∖rr2N乙

77

10.已知椭圆C：5+方=l(α>b>O),焦点人(一c,0),F2(C,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,

c),4到直线£尺的距离为坐。.

⑴求椭圆C的离心率；

(2)若尸为椭圆C上的一点，NHPF2=60。，ZV3QB的面积为小，求椭圆C的方程.

解(1)由题意得，A(一α,O),EFr.x+y=c,

因为A到直线EF2的距离为圣，

gp√P+P-2b，

所以α÷c=√3∕?,

即(α+c)2=3/,又⅛2=α2-c2,

所以3+c)2=3(〃2—C2),

所以2c2+αc-〃2=0,

因为离心率e=∖,

所以2e2+e-1=0,

解得e=£或e=-1(舍)，

所以椭圆C的离心率为今

(2)由(1)知离心率e=£=3，即α=2c,①

因为/FIPF2=60。，ZiPFiB的面积为小，

o

W∣∣PFlHPF2Isin60=√3,

所以IPEIlPF2∣=4,

'∖PFl∖+∖PF2∖=2a,

又｛∣PKf+∣PF2∣2-2IPFIllPCIcos60°

.=(2c)2,

所以。2—C2=3,②

联立①②得α=2,C=I,所以"=层一，=3,

ɔ7

所以椭圆C的标准方程为5+1=l.

立技能提升练

11.（2022.大连模拟）已知椭圆C：器+5=1的左、右焦点分别是Q，B，左、右顶点分别是

4,A2.点P是椭圆C上异于4,4的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.∣PF∣∣+∣PF2∣=4

B.存在点P满足NQPF2=90。

9

C.直线Hh与直线附2的斜率之积为一而

D.若的面积为2币，则点P的横坐标为华

答案C

解析由椭圆方程知α=4,b=3,C=币,

∣PFι∣+∣PF2∣=2α=8,A错误;

当P在椭圆上、下顶点时,

2/—4/1

cos/FiPFz=2〃2=W>°»

即/KPF2最大值小于圣B错误；

若P(xl,y'),则％,

,_

K,

PΛ2~X'-4

y/2

kk2

有PA,'PA2~χ'-16)

/2J2

而而十于-1,

所以一16y'2=9(x,2-16),

≡P*¼∙¼=-⅛C正确；

若P(x',y'),ARPFz的面积为2巾,

即吟j=2市，

故y'=±2,

代入椭圆方程得/=±竽，D错误.

12.2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同

一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运

行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同

的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为24,2c,下列结论不正确的是()

A.飞船向径的取值范围是[°-c,α+c]

B.飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C.飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D.飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

答案C

解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是［a∙-c,α+c］,A正确；

当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运

行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；

T=k=S-l,比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；

a-vc1-τe1十e

根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度

最小，D正确.

13.设Q,&分别是椭圆，+W=l(α>8>0)的左、右焦点，若在直线X=I上存在点P,使线

段PQ的中垂线过点B，则椭圆离心率的取值范围是()

A(O,叫B用

C∙［乎,I)D.净1)

答案D

解析设旺，“，Fι(­c,0),F2(C,0),

由线段PFl的中垂线过点尸2得

∣PF2∣=∣BB∣,

即-，2+,〃2=2C,

得病=4<?一件一c)2=—3+2/+3(？20,

即3c4+2Λ--a4^0,

得3e4+2e2-120,解得e?2；，

又0<e<l,故当WeCL

14.(2021•浙江)已知椭圆，+g=l(4>h>O),焦点F∣(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过FI的直线

和圆(%一分+产/相切，与椭圆的第一象限交于点P,且PFzLv轴，则该直线的斜率是

，椭圆的离心率是.

纪安班亚

口木