2023年高考数学一轮复习讲义：第四章 4-5三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质

【考试要求】1.能画出三角函数的图象2了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助

图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2π］上，正切函数在（一方手上的性质.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数y=sinx,x∈［O,2τr］的图象中，五个关键点是：（0,0）,1），（兀，0），（y-一1），

（2π,0）.

⑵在余弦函数y=cosx,x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：（0,1）,《，0）,（π,T）,停0）,

（2π,1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中Z∈Z）

函数γ=sinXJ=COSXy=tanx

yy

一豆1_TT1-菱

图象20

-3-∑J"~ɪZt

定义域RR

值域LLllr-uιR

周期性2兀2ππ

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增区间2⅛π~2⅛π÷^「2fat一冗，2⅛π］^kπ-2'kπ+2)

竽

递减区间2⅛π÷^,2E+Γ［2E,2］兀+兀］

（E+5，0）

对称中心(kπ,0)口。）

对称轴方程x=kπ+^x=⅛π

【常用结论】

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是由个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是;个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.奇偶性

若«x)=ASin(5+3)(A,ω≠0)f则

TT

(l)*χ)为偶函数的充要条件是P=2+E(%ez).

(2)∕(x)为奇函数的充要条件是9)=⅛π(⅛∈Z).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.(X)

(2)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+l.(X)

(3)y=sin∣x∣是偶函数.(J)

(4)若非零实数T是函数y(x)的周期，则是非零整数)也是函数y(x)的周期.(√)

【教材改编题】

1.若函数)'=2sin2χ-1的最小正周期为T,最大值为A,则()

A.T=π,A=IB.T=2π,A=I

C.T=兀,A=2D.T—27t,A=2

答案A

2.函数y(x)=-2tan(2x+5)的定义域是()

AL∈Rx≠lJ

B.{x∈RXW-专ʃ

C.∣x∈Rx≠H+^(fc∈Z)}

D.^x∈RIx≠y+^(⅛∈Z)I

答案D

TrTt

解析由2x+g≠Λπ÷2,kcz,

得二≠祭痔,fc∈Z.

3.函数y=3cos(2x—§的单调递减区间是.

答案［桁+去⅛π+y,Z∈Z

解析因为y=3cos(2x一穿，

令2⅛πW2χ-1忘2也+兀，⅛ɛZ,

求得E+'WxWE+年，⅛≡Z,

oɔ

可得函数的单调递减区间为kπ+7jΓ,⅛π+ZTyr,%∈Z.

■探究核心题型

题型一三角函数的定义域和值域

例1⑴函数y=T∑Γ7的定义域为________

Lα∏X1

答案∣,r∣χ≠^÷⅛π,且x≠5+k兀，⅛∈Zʃ

解析要使函数有意义，

tanx—1WO,

则1πl

x≠2I⅛π,⅛≡Z,

Tt

x≠χ+E,fc∈Z,

即5

π

xWg+E,⅛∈Z.

故函数的定义域为

∣x∣x≠^+⅛π,且JT≠,+E,Λ∈Z}.

(2)函数y=sinx—cosx÷sinXCOSx的值域为.

死案Γ-l+2∙λ∕2

口2，1

解析设I=Sinχ-cosX,则t1=sin2x÷cos2χ-2sinx∙cosɪ,sinxcosx—

且一也4<√Σ

F11

.'.y=-]+/+/=-2(f-])2+l,

r∈[-√2,√2].

当/=1时，Nmax=I;

当f=一啦时，ymin=」+；'

.∙.函数的值域为一止箸，1.

【教师备选】

1.函数y=，Sinx—cosR的定义域为.

答案2E+/,2Aπ+竽（&GZ）

解析要使函数有意义，必须使SinX—cosx20.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y=

sinX和y=cosX的图象，

如图所示.

数的定义域为1】2E+∕≤x<2E+,,⅛∈ZJ.

2.函数Kr)=Sin2χ+∙∖∕5cosχ-KXG[θ,部的最大值是

答案1

解析由题意可得

/(ɪ)=-cos2x÷√3cosx+(

Λcosx∈[0,1].

当CoSX=坐，即X=5时，危）取最大值为1.

思维升华（1）三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象来求解.

（2）三角函数值域的不同求法

①把所给的三角函数式变换成y=Asin（s+9）的形式求值域.

②把sinX或cos%看作一个整体，转换成二次函数求值域.

③利用SinX±cosx和SinJlCoSX的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1（l）（2021∙北京）函数yU）=cosx—cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值（）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为WD.偶函数，最大值为着

OO

答案D

解析由题意,

x)=cos(­X)—cos(—2%)

=Cosχ-cos2x=j(x)9

所以该函数为偶函数，

又於)=Cosχ-cos2x=-2cos⅞÷cosx+1=­2(COSχ-^ɔ2+^,

19

所以当CoSX=4时，/U)取最大值g.

(2)函数y=lg(sin2)+49-4的定义域为

答案［—3,U(0,5

解析:函数y=lg(sin2x)+^∖∕9-x2,

sin2x>0,

.∙.应满足，

9-X2≥0,

π

⅛π<x<2÷⅛π,

解得,其中⅛∈Z,

—3≤x≤3,

/.-3Wx<—，或0<r专

.∙.函数的定义域为[-3,-∣)ufθδ∙

题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2(1)(2019・全国∏)下列函数中，以彳为周期且在区间停，号上单调递增的是()

A.y(x)=∣cos2x∖B.Xx)=∣sin2x∖

C./(x)=cos∣x∣D./(x)=sin∣x∣

答案A

解析A中，函数/)=ICoS2x∣的周期为方当x∈e,号时，2X∈(3,兀)，函数危)单调递增,

故A正确；B中，函数y(x)=∣sinZrl的周期为去当XG仔，?时，2x∈(j,兀)，函数段)单调

递减，故B不正确；C中，函数yU)=cos∣x∣=cosx的周期为2π,故C不正确；D中，段)=

[sinxx20,

SinlXl={9由正弦函数图象知，在x20和x<0时，外)均以2兀为周期，但在整

LSmJGx<0,

个定义域上贝X)不是周期函数，故D不正确.

(2)函数於)=3sin(2x冶+J+1,9C(O,π),且於)为偶函数，则夕=,段)图象的

对称中心为.

答案⅜⅛+⅜-1)，AGZ

解析若凡r)=3sin(2x—1+,+1为偶函数，则冶+p=®+/,⅛≡Z,

即¢=誓+⅛π,⅛∈Z,

又∙.∙e∈(0,π),

・7/U)=3sin(2x+?+1=3cos2x+1,

由2x=5+E,攵∈Z得X=；+竽，k・Z,

；孙)图象的对称中心为住+中，1),k∈Z.

【教师备选】

1.下列函数中，是周期函数的为()

A.y=sin∣x∣B.y=cos∣x∣

C.y=tan∣x∣D.y=(χ-1)0

答案B

解析TcosIM=CoSX,.∙.y=cos∣x∣是周期函数,其余函数均不是周期函数.

2.函数於)=3Sin(2%—：+J,^∈(0,π),若危)为奇函数，则8=.

答案I

解析若yu)=3sin(2x一鼻+,为奇函数,

JT

则一q+φ=kτt,kRLr,

Tr

即3=g+k兀，keZ,

火•：φGQ,兀)，

思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=4sin①工或y=Atanωx

的形式，而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.

(2)周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx÷^),y=4cos(s∙+9)(Q>O)的周期为了，函数y=

TT

Λtan(ωx÷^)(ω>O)的周期为了求解.

跟踪训练2(1)(2021•全国乙卷)函数於)=sin]+cosf>小正周期和最大值分别是()

A.3兀和噌B.3π和2

C.6π>F∏√2D.6π和2

答案C

解析因为函数./U)=Sini+cos]

=W(乎Sin]+乎COS

r-(.Xπ.X.πλ

=-∖∕2lsinɜeosZ十CoSɜsinWI

=√2sin(j+∣),

所以函数/U)的最小正周期T=华=6π,最大值为啦.

3

(2)已知段)=ACoS(S∙+9)(A>0,cu>0,0<8<兀)是定义域为R的奇函数，且当x=3时，段)取得

最小值一3,当口取得最小正数时，大1)+火2)+./(3)+…+.«2022)的值为()

3

A.5B.~6~3y∣3

C.1D.-1

答案B

解析∖,y(x)=Acos(ωx+^)(A>0,ω>0,O<p<π)是定义域为R的奇函数，

兀兀

∙∙∙9=]+E,fc∈Z,则9=2，

则fix)=­Asinωx.

当x=3时，7U)取得最小值一3,

故A=3,sin3co-^1,

兀

.•・3G=]+2E,k∈Z.

的最小正数为去

π

・\/U)=­3sinm，

∙∙√U)的周期为12,

・・瓜1)+火2)+负3)+…+y∪2)=0,

.∙.ΛD+Λ2)+Λ3)+∙∙∙+Λ2022)

≈168×0+ΛD+Λ2)+∙∙∙+Λ6)

=-6—3小.

⑶(2022•郑州模拟)设函数段)=2sin(2x一1+点则下列叙述正确的是()

A.y(x)的最小正周期为2兀

B.7U)的图象关于直线X=盍对称

C.加)在任，兀上的最小值为一卷

D.於)的图象关于点序0)对称

答案C

9TT

解析对于A,於)的最小正周期为发=π,

故A错误；

对于B,<sin(2×五一§)=一尹士1,

故B错误；

对于C,当x∈参π时，2x一W∈胃，苧］,

.,.sin(2x-—1,坐］,

353

-

2S-+--

2X4√3+■4

In4,

.∙JU)在全πj上的最小值为一点故C正确；

对于D.∙.∙盾)=2sin(2娉司+U

.∙J(x)的图象关于点停，J对称，故D错误.

题型三三角函数的单调性

命题点1求三角函数的单调区间

例3函数加)=sin(—2x+W)的单调递减区间为

兀5兀

答案［也一记，⅛π+j2j(⅛≡Z)

解析7U)=sin(-2x+1)

由2⅛π-^≤2χ-^≤2⅛π÷^,⅛≡Z,

/口•兀_.5兀

得Z兀一五WXWE+而⅛∈Z.

故所求函数的单调递减区间为

「，兀.5π^l

kπ一五,k1π+~^2(⅛eZ).

延伸探究KX)=Sin(-2］+鼻)在［0,兀］上的单调递减区间为

答案［°，KH晋兀］

Jl571

解析令A=⅛π-γy,E+p1⅛∈Z,

B=［0,兀］,

ΛA∩B=12］u［⅛4

.∙√(x)在［0,兀］上的单调递减区间为［o,招］和［皆，兀］

命题点2根据单调性求参数

例4⑴若函数/)=sinS(QO)在区间［θ,即上单调递增，在区间f，5上单调递减，则3

3

答

案-

2

解析∙.√U)=Sinωx(ω>O)过原点，

Tr

当OWgjW］,

即OWXW/J时，y=sin/X单调递增；

当WWGXW竽，

即尹WXW普时，y=sin①X单调递减.

LCO2.CDJ

由7(x)=sincux3>0)在［(),W上单调递增,

在怪T上单调递减,知会号

.3

..ω=2-

(2)已知3>0,函数©=sin(s+;)在(},兀)上单调递减，则Cy的取值范围是.

答案悖「151

兀

解析由］Vχv兀，ω>O,

/日COTC.7Γ.Tt.TT

付2+4<①x+4<①兀+中

因为y=sinx的单调递减区间为2⅛π+^,2E+芋］,⅛∈Z,

r

ωπ.π^πlʌ,

所以《ɔkGZ,

.兀一3兀I,

ωπ+^≤^2^+2λ⅛π,

解得4%+JW(OW24+3,fc∈Z.

又由4k+^-(2A+J≤0,⅛∈Z,

ɪ2⅛+∣>0,⅛∈Z,

解得Z=O,

所以ω∈!，I,

【教师备选】

(2022・定远县育才学校月考)已知函数/(x)=Sin(OX+0)(0>O,I0∣W^),X=—皆为<x)的零点，x

=：为y=3图象的对称轴，且段)在偌，初上单调，则。的最大值为()

A.11B.9C.7D.1

答案B

解析因为X=—；为/)的零点，

X=：为y=∕U)图象的对称轴，

所以2〃y.T=；SGN),

r2〃+12ππ

即ClILv=］("∈N),

所以ω=2∕7÷l(n≡N),即ω为正奇数.

因为“r)在信，知上单调，

则羽一聆=今舄

即T=察袭，

解得ω≤12.

117r

当①=11时，--^~+9=E,kRZ,

Ir

因为MIW5,

所以勿=一此时於）=sin（llχ-g.

当XG（^⅞,K）时，

IlXJepl46πλ

UX4（36'36?

所以7U）在GK器）上不单调，不满足题意;

当口=9时，一号+g=E,fc∈Z,

因为∣9∣q,

所以φ=^9

此时/（x）=sin（9x+B）.

当x≡（⅛羽）时，

9x+狂停,7）.

此时火X）在（∙⅞,给上单调递减，符合题意.

故。的最大值为9.

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如y=Asin（＜ox+0）或y=4cos（ftwc+0）（其中3＞0）的单调区间时，要视“a＞x+φ”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果。＜0,可借助诱导公式将。化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练3（1）（2021・新高考全国I）下列区间中，函数＜x）=7SinG一总的单调递增区间是

C（兀,苧）d∙(⅜'2π)

答案A

TrJΓTT7Γ/TTJΓ

解析令—]+2E4—游尹2EJ∈Z,得—]+2E4W至+2E,&GZ.取k=0,则一)

WXW竽因为（0,习［一$y］,所以区间（0,号是函数於）的单调递增区间.

（2）（2022・开封模拟）已知函数y=sin（ωx+1）

（。＞0）在区间（一专§上单调递增，则。的取值范围是（

)

Γl

B.γ1

一2

D-2

.-V

一

πω.π,ππω,π

¼3<ωx+<-+ʒ,

~65

JTTT

当X=O时，ωx+^^=β.

因为函数y=sin（①x+§（①＞0）在区间（一/号上单调递增,

πωI兀、π

T+3^^2'

所以4

πω.兀一π

lT+3¾'

解得。耳，

因为。＞0,所以。的取值范围是（0,I

课时精练

立基础保分练

1.V=IcosxI的一个单调递增区间是（）

Γππ^

A1—2，2JB.［0,兀］

C.Γπ,ɪD.［咨,2π

答案D

解析将y=cosx的图象位于X轴下方的部分关于X轴对称向上翻折，X轴上方（或X轴上）的

图象不变,即得y=∣cosx∣的图象（如图）.

故选D.

TrɔTi

C.d+4kπ,石+4E(⅛∈Z)

D.∣+4⅛,∣+4⅛(k∈Z)

答案B

TT

解析由题意，得2sin∕χ-120,

∈g+2⅛π,∙y+2⅛π(⅛∈Z),

则x∈∣+4fc,∣+4Z(⅛∈Z).

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为2π的非奇非偶函数

D.最小正周期为π的非奇非偶函数

答案D

解析由题意可得

y（x）=sinQ+驾

=sin2

∙∙JW=

故yω的最小正周期T=竽=π,由函数奇偶性的定义易知，,/U)为非奇非偶函数.

4.函数yω=cosγ+χ2在L兀,π］的图象大致为()

答案D

sin(—x)+(一χ)

解析由八一X)=

cos(-x)÷(-x)2

-sinχ-χ

√U),得加)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；

cosx÷x2

又徐番=售

式兀)==⅛>0,排除B,C.

5.关于函数凡V)=Sin2x—cos2x,下列命题中为假命题的是()

A.函数y=7(x)的周期为π

B.直线X=；是y=∕U)图象的一条对称轴

C.点偿0)是y=∕(x)图象的一个对称中心

D.y=∕H)的最大值为啦

答案B

解析因为√(x)=sin2χ-cosIx

=√2sin(2χ-

所以兀V)的最大值为也，故D为真命题；

因为cw=2,故T=竽=兀，故A为真命题;

当X=：时，2犬一々=々，终边不在y轴上，故直线X=孑不是y=∕(x)图象的一条对称轴,

故B为假命题;

当X=费时，2x—今=0,终边落在X轴上，

oq

故点d0)是y=∕(x)图象的一个对称中心，故C为真命题.

6.(2022.广州市培正中学月考)关于函数y(x)=sin∣x∣+∣sinx∣,下列叙述正确的是()

A.«¥)是奇函数

B.<x)在区间(壬兀)上单调递增

C./(X)的最大值为2

D.於)在［-π,π］上有4个零点

答案C

解析Λ-x)=sin∣-x∣+∣sin(~x)∖

=sin∣A,∣+∣sinx∖=fix),

40是偶函数，A错误；

当Xe仔，π)时，/U)=SinX+sinX=2SinX,

单调递减，B错误；

«x)=SinlXI+∣sin九∣≤1+1=2,

且/(*2,C正确;

在［—π,兀］上，当一TrVX<0时，

fix)=sin(—x)÷(-sinx)=­2sinx>0,

当0<r<兀时，χ%)=sinx÷sinx=2sinx>0,

/(x)的零点只有兀，0,一兀共三个，D错误.

7.写出一个周期为兀的偶函数TU)=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.(2022•上外浦东附中检测)若在0,内有两个不同的实数值满足等式COS2x+√5sin2x=k

+1,则实数/的取值范围是.

答案OWNl

解析函数√U)=cos2x+小sin2%

=2Sin(ɪr+新

当χC［θ,旬时，

段)=2sin(zr+袭)单调递增；

ππ

当χeL6,2时1，

KX)=2sin(ɪr+袭)单调递减,

π

式0)=2Sin5=1,

/m(S=2sin，π=2,

,dC∙7π

ʃ⅛r2s,nd=一屋1

所以在O,W内有两个不同的实数值满足等式cos2x+小sin2x=&+l,

则1WA+1<2,

所以OWZVL

9.已知函数於)=4Sin(υxsin(cox+/)-l(o>>0)的最小正周期为π.

⑴求G及火X)的单调递增区间；

⑵求7U)图象的对称中心.

解(ɪ)∕U)=4sinftλγ(gsinCOX+坐COSɑzr)—1

=2sin2ωx÷2^/3sinωxcosωχ-1

=1-cos2ωx÷√3sin2ωχ-1

=小Sin2ωχ-cos2ωx

=2sin^2ωχ-

;最小正周期为π,

Λω=l,.∙.,Kx)=2sin(2χ一5J,

τrTrTr

令一77+2Λπ≤2x一τ,≤τ+2Λπ,Λ∈Z,

ZOZ

解得一,+EWxW4+E,⅛∈Z,

O3

.•孙)的单调递增区间为［一京+E,j+kπ

(Λ∈Z).

(2)令2x-4=E,k∈Z,

解得X=盍+亨，⅛∈Z,

；必）图象的对称中心为信+笫o）,⅛∈z.

10.（2021-浙江）设函数fix）=SinX+cosx（x∈R）.

⑴求函数y=%+圳2的最小正周期；

⑵求函数y=凡Xv（L却E[O,1上的最大值.

解（1）因为凡。=SinX+cosx,

所以/^r÷^)=sin^r+^+cos^r÷2)

=cosχ-sinx,

所以y=K+?2=(cosX-sinx)2

=I-Sin2x.

所以函数y=%+圳2的最小正周期T=y≈π.

=y∣2sinX(Sinx÷cosx)

=√2(sinxcosx÷sin2x)

=也&in2χ-^cos2r÷^∙

当x∈[θ,ɪ时，2χ-J∈[-f.ɪ],

所以当2x—；=g,即X=,时，

函数y=Λ*G—舅在[。，手上取得最大值，且ymax=l+^∙

立技能提升练

11.（2022•苏州模拟）已知函数以X）=Sin（2r+5,则下列结论不正确的是（）

A.x=一袭是函数/U）的一个零点

B.函数段）在区间［一招，制上单调递增

C.函数段）的图象关于直线X=佥对称

D.函数/（x—：）是偶函数

答案D

解析对于A选项，因为/（-W=SinO=O,

故尸一袭是函数於）的一个零点，A对；

对于B选项，当一居WXW盍时，

5πɪ'

12,12上单调递增，B对;

对于C选项，因为对称轴满足2X+；=5+E,⅛∈Z,

解得X=专+苧，⅛∈Z,当Z=O时，X=盍，C对；

对于D选项，

则g（3=0,

g（Y）=sinb⅞）wθ,

故函数f（x不是偶函数，D错.

12.（2022.厦门模拟）已知函数於）=cos2（x—∣）-cos2x,则下列结论正确的是（）

A.«r）的最大值为1

B.於）的图象关于点传，0）对称

C.於）的图象的对称轴方程为X=驾+亨伙∈Z）

D.火x)在［0,2π］上有2个零点

答案C

l+cos（2x-

解析KX）=2-cos2x

2Λ+坐Sin2x）-cosIx

∏2χ-∣cθs2x+l

=察in(2*)+T,

则"r)的最大值为七岁A错误;

易知兀V)图象的对称中心的纵坐标为;,

B错误;

TrTt

令2x—§=1+E(ZeZ),

/n〉兀I.

付X=T∑+^Γ(Aez),

此即负＞)图象的对称轴方程，C正确；

由y(x)=坐sin(2%-§+；=0,

得sin(2x-§=一手，

当χG［0,2τt］时，2x—号］,

作出函数y=sinxQc［—冬明)的图象，如图所示.

所以方程sin(2x-*=一坐在［0,2兀］上有4个不同的实根,

即式x)在［0,2汨上有4个零点，D错误.

13.(2022•绵阳中学实验学校模拟)已知SinX+cosy=：,则SinX—sin2y的最大值为

答案⅞9

解析∙.∙sinx+cosy=0sinx∈[-1,1],

.*.sinx=^—cosγ∈[-1,1],

35-

--

.*.cosy∈4

4,-

即COS—71，

1

Vsinχ-siιr7y=a-cosy—(1—cos9y)

=CoS2y—cosy—1

=(COSy

3

又y∈-