第05讲 三角函数（六大题型）（解析版）

第05讲三角函数【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．知识点三：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点四：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点五：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点六：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点七：正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点八：余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点九：正切函数的性质1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即．5、单调性：在开区间，内，函数单调递增知识点十：由得图象通过变换得到的图象1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径【典型例题】题型一：任意角和弧度制【例1】（2024·黑龙江·高一校联考期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设弧的长为，弧的长为.因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以，，即，.因为，所以.又因为，联立可得，解得，所以该扇环的内弧长为.故选：A【变式1-1】（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，解得，所以该玉雕的扇环面积为.故选：A．【变式1-2】（2024·黑龙江·高一校联考期末）与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】与角终边相同的角的集合为形式，令可得，，所以与终边相同，其他选项均不合题意.故选：D【变式1-3】（2024·全国·高一期末）我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【答案】B【解析】由题意时，.故选：B题型二：三角函数的概念【例2】（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由点位于第二象限可得，角为第二象限角.又，则当时，有.所以，与终边相同的角的集合为.因为满足，不满足，不满足，不满足.故选：A.【变式2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知角终边过点，且，则实数（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】因为角的终边过点，所以，所以，解得.故选：C【变式2-2】（2024·福建莆田·高一莆田二中校考阶段练习）当为第四象限角时，（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【解析】由为第四象限角，则，所以.故选：B【变式2-3】（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港区第一中学校联考阶段练习）已知，则等于（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.【变式2-4】（2024·全国·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】依题意有，解得.故选：C题型三：诱导公式【例3】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【解析】（1）．（2）因为，，所以，又因为是第三象限角，所以为第三象限角，所以，故．【变式3-1】（2024·甘肃陇南·高一统考期末）已知.(1)化简；(2)若，求的值.【解析】（1）；（2）.【变式3-2】（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知．(1)化简，并求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）则（2）因为，所以.所以【变式3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知角满足.(1)求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）原式，，原式.（2），且，，.【变式3-4】（2024·四川成都·高一校考期末）已知(1)化简；(2)若，求的值.【解析】（1）由题意可得：．（2）因为，则，且，则，所以．题型四：三角函数的图像与性质【例4】（多选题）（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，当时，，函数在上递增，A不是；对于B，的周期是，当时，单调递减，B是；对于C，当时，，在上递增，C不是；对于D，当时，，在上递减，且周期是，D是.故选：BD【变式4-1】（多选题）（2024·云南昆明·高一统考期末）设函数，已知在单调递增，下列结论正确的是（

）A．的值可能为1 B．C．若在有且仅有1个零点 D．若在单调递减【答案】ABC【解析】设，，当时，时，，因为函数在单调递增，而单调递减，所以需落在的减区间，不可能是函数的减区间，故舍去；当时，当时，，由题意可知，，所以，解得，故A正确；，由，则，此时，故B正确；，由，则，因为，所以，此时，当时，，，此时只有当时，，故C正确；由以上可知，，当时，，当时，，此时单调递减，单调递增，所以不成立，故D错误.故选：ABC【变式4-2】（多选题）（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的一个单调增区间为C．函数的一个对称中心是 D．函数的一条对称轴是【答案】AD【解析】对于A：的最小正周期为，故A正确；对于B：当时，，所以在上单调递减，故B错误；对于C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；对于D：当时，，所以的一条对称轴是，故D正确.故选：AD.【变式4-3】（2024·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.(1)求的解析式、对称轴、对称中心；(2)求函数在上的单调递减区间.【解析】（1）由题意可知，所以，，因为的图象关于直线对称，所以，，得，，又因，所以，故，令，，得，，故函数的对称轴为，；令，，得，，故对称中心为，.（2），令，，得，，故函数的递减区间为，，当时得，当时得，当时得，又因，所以在上的单调递减区间为，，【变式4-4】（2024·甘肃定西·高一统考期末）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最值，并求出取最值时的值.【解析】（1）因为，令，得，所以的单调递增区间为；（2）当时，，所以当时，即当时，函数有最大值，最大值为，当时，即当时，函数有最小值，最小值为.【变式4-5】（2024·甘肃白银·高一校考期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间和最小正周期.(2)若当时，关于的不等式__________，求实数的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分.【解析】（1）因为，所以函数的最小正周期.因为函数的单调递增区间为，所以，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）若选择①：由题意可知，不等式有解，即.因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以.若选择②：由题意可知，不等式恒成立，即.因为，所以.故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以.题型五：伸缩变换【例5】（2024·黑龙江·高一校联考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】因为，且，所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：A.【变式5-1】（2024·云南玉溪·高一统考期末）为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，，因为，所以，想要得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点向右平移个单位长度.故选：D.【变式5-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意可得，∴，，解得，，又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.【变式5-3】（2024·甘肃定西·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以,故，由于，所以的最小值，故选：C题型六：三角函数的应用【例6】（2024·云南昆明·高一统考期末）水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则；点第一次到达最高点大约需要秒.【答案】04【解析】以为坐标原点建立如图坐标系，由题知周期秒，，所以，又，∴，又因为，则，则，所以，（）.令得，∴，所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒.故答案为：0；4.【变式6-1】（2024·河北衡水·高三校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于山东省潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），则（m）．【答案】52【解析】以摩天轮轮盘圆心为原点，互相垂直的水平、竖直方向分别为轴建立直角坐标系，如图所示：点为轮盘上距离地面最近的位置，当时，游客甲坐上摩天轮的座舱，即，所以满足题意,因为轮盘直径为124，所以，因为最高点距离地面145米，所以，解得，而匀速转动一周大约需要30分钟，所以，所以，.故答案为：52.【变式6-2】（2024·广东揭阳·高三统考期中）某时针的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标有12的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则，其中.【答案】【解析】如图，设，过点作，垂足为，则，即，当时，，；当时，，，综上，，.故答案为：.【变式6-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足，要求实验室温度不高于11℃，则实验室需要降温的时间段是时到时．【答案】1018【解析】由，令，即，所以，因为，所以，所以，解得，所以实验室需要降温的时间段是时到时.故答案为：；【变式6-4】（2024·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为秒．

【答案】4【解析】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，风车转动一圈为秒，则角速度，如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，以为始边，为终边的角不妨取，那么经过（秒）后，运动到点，于是，以为始边，为终边的角为，由三角函数定义知，则，所以.（2）令，所以,所以.当时，，所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.故答案为：；.【过关测试】一、单选题1．（2024·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）点在直角坐标系内位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，，所以点在直角坐标系内位于第三象限.故选：C.2．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】，（O为坐标原点），由三角函数的定义，得，，.故选：C．3．（2024·河北张家口·高一统考期末）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，令，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，所以，即的值域为.故选：D.4．（2024·甘肃陇南·高一统考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，得，则，故.故选：A5．（2024·云南昆明·高一统考期末）已知函数在上的图象如图所示，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则的定义域为且，所以为奇函数，又、为奇函数，、为偶函数，所以，均为偶函数，函数图象关于轴对称，不符合题意，故排除A、C；与为奇函数，若，则，不符合题意，排除B.故选：D6．（2024·云南昆明·高一统考期末）已知函数，下列说法正确的是（

）A．是函数的一个周期B．函数的对称轴是C．函数取最大值时自变量的集合为D．函数的单调递增区间是【答案】B【解析】对于A：，故A错误；对于B：令，则，故B正确；对于C：令，则，所以取最大值时的取值集合为，故C错误；对于D：令，解得，所以单调递增区间是，故D错误；故选：B.7．（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）设，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为第二象限角，所以，，所以.故选：D.8．（2024·山东临沂·高一校考期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（）A． B．C． D．无法判断二者大小【答案】A【解析】由题意可知，，所以.故选：A.二、多选题9．（2024·全国·高一专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3 E．4【答案】ABC【解析】作出的图象（实线部分），所以函数与直线（为常数）公共点个数可能是0，1，2.故选：ABC.10．（2024·甘肃陇南·高一统考期末）下列函数的周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于，，A选项正确；对于，，B选项正确；对于，，C选项错误；对于，，D选项正确.故选：ABD11．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数为偶函数C．函数的图象关于直线对称D．函数在上的最小值为【答案】ACD【解析】由函数的图象可得，由，解得，从而A正确；再根据五点法可得，又因为，解得，从而，所以，即函数为奇函数，从而B错误；当时，，所以是最值，所以C正确；因为时，，因为，所以单调递增，所以当时，从而D正确.故选：ACD12．（2024·辽宁锦州·高三统考期末）关于函数有下列命题，其中正确的是（

）A．的图象关于点对称B．在区间上是单调递减函数C．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为D．的图像关于直线对称【答案】ABC【解析】对于A，由于，所以的图象关于点对称，A正确，对于B,由，则，故在区间上是单调递减，B正确，对于C，，由，则，要使在区间上恰有两个零点，则，解得，故C正确，对于D，，故不是的对称轴，故D错误，故选：ABC三、填空题13．（2024·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，且，则.【答案】【解析】因为，且，可知，又因为，且，结合在内单调递减，可得.故答案为：.14．（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知函数在区间上恰有三个最大值点，则的取值范围为．【答案】【解析】令，得，因为函数在区间上恰有三个最大值点，所以，，解得，即的取值范围为.故答案为：15．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）如图，这是某公园的一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为．【答案】352【解析】根据弧长公式可知，的长度为，所以扇形闭合路的总长度为.故答案为：16．（2024·吉林·高一校联考期末）若函数的图象恰有2条对称轴和1个对称中心在区间内，则的取值范围是.【答案】【解析】由已知，所以.根据已知结合正弦函数的图象与性质可得，应满足，解得.故答案为：.四、解答题17．（2024·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，