第01讲 圆锥曲线经典题型全归纳（九大题型）（解析版）

第01讲圆锥曲线经典题型全归纳【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一、直线和曲线联立（1）椭圆与直线相交于两点，设，，椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．知识点二、根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．知识点三、弦长公式设，根据两点距离公式．（1）若在直线上，代入化简，得；（2）若所在直线方程为，代入化简，得（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为，时，；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．知识点五、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．知识点六、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．知识点七、证明共线的方法（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．知识点八、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．知识点九、切线问题（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．【典型例题】题型一：向量搭桥进行翻译例1．（2024·浙江嘉兴·高二校联考）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．(1)求椭圆和其“准圆”的方程；(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．【解析】（1）由题意知，且，可得，故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．（2）由题意，设，则有，不妨设，，所以，，所以，又，则，所以的取值范围是．例2．（2024·江苏南京·高二统考）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．【解析】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．所以椭圆的标准方程．（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中．设，，则，．因为，所以．因此的值是．例3．（2024·四川泸州·高二校考）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.【解析】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，，解得，因为所以双曲线的标准方程为（2）将直线与曲线联立得，设，，则，，设，由得，即，又因为，解得，所以或.题型二：弦长、面积问题例4．（2024·天津滨海新·高二天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.【解析】（1）由题意得，，解得，故，故椭圆的标准方程为，离心率为；（2）直线方程为，联立得，，解得，故，不妨设，故，点到直线的距离为，故.例5．（2024·安徽亳州·高二校考阶段练习）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点．(1)求a，b的值及C的离心率；(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围．【解析】（1）因为，在椭圆C：上，所以,解得，，所以，C的离心率为；（2）由（1）得，，故，因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，所以四边形的面积，当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立.例6．（2024·北京顺义·高二牛栏山一中校考）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.(1)求抛物线的标准方程、焦点坐标；(2)经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.【解析】（1）由题设方程为，将代入，解得，所以抛物线的标准方程为.该抛物线的焦点坐标为.（2）因为直线，过点，所以直线的方程为，联立消得，设，，则，.所以，（或者利用焦半径公式求弦长：）又，所以.变式1．（2024·江苏徐州·高二徐州高级中学校考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程.【解析】（1）因为的右焦点为，且经过点，所以，解得．故双曲线的标准方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．联立消去，得．由得且，解得．因为与垂直，所以设的方程为．联立消去，化简得．由且，得．因为与双曲线有且仅有一个公共点，所以，即，化简得，且点．因为点位于第一象限，所以，．不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为．因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等，所以与的面积比为，由此可得．因此，即．又因为，所以，解得．因为，所以，故直线的方程为．题型三：斜率之和、积、差、商问题例7．（2024·安徽淮北·高二淮北一中校考阶段练习）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，设到的距离为，因为，所以，易得当时面积取得最大值，所以，因为，所以，，所以椭圆的方程为；（2）证明：如图，易知点在椭圆外，设直线的方程为，，，由得，所以，，，因为，所以，所以，所以，所以.例8．（2024·河北石家庄·高二石家庄精英中学校考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,原点O到直线的距离为，且直线的倾斜角．(1)求椭圆T的方程；(2)作直线的平行线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为,求证：为定值．【解析】（1）因为直线AB的倾斜角为，所以，即，设直线AB方程为，由原点到该直线的距离为，解得，则，所以椭圆T的方程是.（2）设直线的方程为，代入，整理得，则，则.设，，易知，则，，所以，，即为定值．例9．（2024·广东广州·高二统考期末）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【解析】（1）设，依题意可得，所以，所以曲线E的方程为．（2）依题意，可设直线l：，，，由，可得，则，，因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，所以，所以直线AC和BD的斜率之比为定值．变式2．（2024·河北唐山·高二校联考期末）已知椭圆的右焦点，点与短轴的两个端点围成直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）设，经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（异于点），求直线与斜率之差的绝对值的取值范围.【解析】（1）因为椭圆的右焦点，点与短轴的两个顶点围成直角三角形，所以，.所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程，代入椭圆方程并整理，得，设，，则有，，，，又因为且，所以.故直线与斜率差的绝对值的取值范围是.题型四：定值问题例10．（2024·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求k的值；(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.【解析】（1），，代入得.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，以上各式联立解得，则椭圆方程为.（2）直线与轴交点为，与轴交点为，联立，消去得:，，设，则，，，由得，解得:，由得.（3）证明：由（2）知，，.为定值.例11．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．(1)求双曲线的方程；(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．（I）若，求直线的斜率；（II）求证：是定值．【解析】（1）将点和代入双曲线方程得：，结合，化简得：，解得，双曲线的方程为．（2）（Ⅰ）设关于原点对称点记为，则．因为,所以，又因为，所以，即，故三点共线．又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，所以．由题意知，直线斜率一定存在，设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：，故，直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．由弦长公式得，代入解得．（Ⅱ）因为，由相似三角形得，所以．因为．所以，故为定值．例12．（2024·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在圆上任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足．线段QD上一点C满足．(1)当点Q在圆上运动时，求动点C的轨迹的方程；(2)已知，过点的直线l与轨迹相交于两点（异于点A），直线的斜率分别，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解析】（1）设，则，由，得，所以，所以，所以，因为点在圆上，所以，所以动点C的轨迹的方程为；（2）由（1）得轨迹为椭圆，点为其右顶点，则直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，联立，消得，，解得或，则，所以，，，所以为定值.变式3．（2024·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）设椭圆C：（），定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程：(2)过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线，与椭圆交于两点，为坐标原点．证明：为定值．【解析】（1）因为抛物线的焦点为，所以，又椭圆的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，得到，又，所以椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：或，当时，代入，得到，所以，则，，所以，当时，代入，得到，所以，则，，所以，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，则，，由，消得到，整理得到，，由韦达定理得，，又因为直线与“相关圆”相切，所以，整理得到，又，所以，得到，即，所以，综上，为定值.题型五：定点问题例13．（2024·陕西西安·高二校考期末）已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4.(1)求抛物线的方程.(2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点.【解析】（1）由抛物线的定义可知，，抛物线的方程为．（2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，,，,，联立方程，消去得，，，抛物线的准线方程为，，直线的斜率为，直线的方程为，令得，，同理可得，，，直线的方程为，故直线恒过定点．例14．（2024·安徽芜湖·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，．(1)求抛物线的标准方程；(2)点是抛物线上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过一定点．【解析】（1）抛物线的焦点为，对于令，解得，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）依题意、的斜率存在，设直线、的斜率分别为、，因为，所以，设点、，则，可得.若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以直线的斜率不为零，设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，可得，此时，合乎题意.所以直线的方程为，故直线恒过定点.例15．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知椭圆经过点，左焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，又因为椭圆经过点，所以，又，所以，，所以椭圆的方程为；（2）假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为，设，，①当直线不是轴时，可设，与联立，并整理得，，即，，，依题意有，即，，，代入上式得，，解得，即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为；②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为.综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0.变式4．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且过点.(1)求的标准方程；(2)已知点A为的右顶点，M，N是上异于点A的两个不同点，且，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，所以①.又过点，所以，可解得，所以的标准方程为.（2）①当直线的斜率存在时，设，.由，消去可得，由题意知，即.且，.由（1）知，因，又.所以.所以.所以.化简得，即.所以或，且均满足.素时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点.②当直线MN的斜率不存在时，设，此时，则，又，则，则或（舍），故此时直线MN过定点；综上所述，直线过定点.变式5．（2024·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点．【解析】（1）由抛物线定义知：，则.（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线，联立抛物线可得，即，则，，，故，故中点坐标为，以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，其半径，而，所以，两边平方得，整理得，即或，当，则，此时A，B必有一个点与原点重合，不合题意；当，则，此时直线必过定点.所以直线l恒过定点.题型六：三点共线问题例16．（2024·江西上饶·高二婺源县天佑中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且.(1)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；(2)设.过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，设，由，得是线段的中点，则，由直线与垂直，得，则显然过、、三点的圆的圆心为，半径为，由过、、三点的圆恰好与直线相切，得，解得，有，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）及，得，，椭圆的方程为，设直线方程为，，则，由消去x并整理得，，，直线的方程为，令得，所以在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.例17．（2024·重庆·高二重庆一中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分别是左、右焦点，、为椭圆上的任意两点，当固定为上顶点时，线段长度的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若、均在轴上方，圆上是否存在点，使得、、三点共线，、、三点共线，且，请说明理由．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，设上顶点为，，则，即，则，，，当时，，则，，所以椭圆的标准方程为．（2）设直线交椭圆的另外一个交点为，设点、、．因为，所以、两点关于坐标原点对称，所以，设直线方程为，联立得，即，，由韦达定理得，．因为、、三点共线，所以①，又、、三点共线，所以②，代入，，得③，④，化简得⑤，⑥，由⑥⑤得，即，化简得，即，进而⑤⑥得，则，整理得，即，将，代入，得，所以点的轨迹为去掉两点的一个椭圆，圆的圆心，半径．椭圆的长半轴长，椭圆的短半轴长，如图．故存在个满足条件的点．例18．（2024·浙江·高二校联考）在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知直线，若点关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数的值；(3)设直线的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．【解析】（1）因为，所以点的轨迹为椭圆，所以，，所以，所以．（2）如图所示，因为与关于直线对称，所以直线，所以，又，所以，联立，得，，所以，设为中点，则，，即．又因为点在直线上，所以，解得．（3）如图所示，设，则有，又，则，直线联立，得，所以，所以，因为在椭圆上，所以，代入上式可得所以，即，同理可得，又点所以，，因为三点共线，所以//即，即，即，化简可得，所以.变式6．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.(1)求证：；(2)若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：设椭圆的半焦距为，因为，所以，又因为，所以，所以直线，令，解得，所以，所以，，所以.（2）如图所示，若点，则，解得，则，所以椭圆方程为.设直线的方程为，，则，联立方程组，整理得，则，且直线的方程为，令，可得.故在轴上存在一个定点，使得三点共线.题型七：中点弦问题例19．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．(1)求椭圆L的标准方程；(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．【解析】（1）由题意，则椭圆标准方程为；（2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于，所以，两式作差得，则，又，，故直线斜率为，所以直线为，即.例20．（2024·四川成都·高二校联考期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．【解析】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，，且，于是，

动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，故，，椭圆方程为

又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去，故动圆圆心M的轨迹C的方程为；（2）设，由题意，显然，则有，，两式作差可得，即有，又Q为线段AB的中点，则有，代入即得直线l的斜率为，

直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.例21．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，且经过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程．【解析】（1）由，得，即，∴，设双曲线的方程为或，把代入两个方程，得或，解得（第二个方程无解），∴双曲线的标准方程为；（2）设，，∵，都在双曲线上，∴，，两式作差可得：，即，∵为的中点，∴，，可得，∴直线的方程为，即，联立，得，，符合题意．∴直线的方程为．变式7．（2024·青海西宁·高二校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程.【解析】（1）由题可得，代入抛物线方程得，，∴，∴的面积，∴，∴所求抛物线的标准方程为；（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，设，由，在抛物线上得：,两式相减化简得：，又∵，，代入上式解得：.故所求直线的方程为：.即.题型八：四点共圆问题例22．（2024·河北邯郸·高二校联考）已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.【解析】（1）由题意，解得，所以双曲线C的方程为；（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，由，得，,整理得，设，，所以，，所以，直线，所以，同理可得，记直线交x轴于点G，所以，又，所以，当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，所以A，P，F，Q四点共圆.例23．（2024·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知双曲线与点.(1)求过点的弦，使得的中点为；(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.【解析】（1）双曲线的标准方程为，所以，，设存在过点的弦，使得的中点为，设，，，，两式相减得，即，得：，，经检验，存在这样的弦，方程为；（2）设直线方程为，则点在直线上，则，所以直线的方程为，设，，的中点为，，，两式相减得，则，则，又因为在直线上有，解得，，解得，，整理得，则，则，由距离公式得，所以、、、四点共圆.例24．（2024·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且．(1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程；(2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意，可得，解得，，，∴椭圆的方程为.（2）方法一：设，，的中点为，，∵，则的外接圆即为以为直径的圆的方程为：，整理得：，由题意，焦点，原点均在该圆上，∴，消去可得，∴，∵点，均在轴上方，∴即，∴，∵，∴，方法二：∵，，，四点共圆且，∴为圆的直径∴圆心必为中点，又圆心在弦的中垂线上，∴圆心的横坐标为，∴点的横坐标为，∵点，均在轴上方，∴即，∴，∵，∴，故的范围为．变式8．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考）已知点在抛物线上，过动点作抛物线的两条切线，切点分别为､，且直线与直线的斜率之积为.(1)证明：直线过定点；(2)过､分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为､，问：是否存在一点使得､､､四点共圆？若存在，求所有满足条件的点；若不存在，请说明理由.【解析】（1）法一：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，求导可得，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，即；设，，直线方程为，由题意得，所以，联立直线和抛物线得得，所以得，所以的直线方程为，直线过定点；法二：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，设，过的直线方程为，联立得，得，由，切点横坐标为，所以联立直线和抛物线得得，所以得，所以