猜题02 圆与方程（易错必刷60题11种题型专项训练）（解析版）

猜题02圆与方程（易错必刷60题11种题型专项训练）题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系的判断题型三：切线问题题型四：切点弦问题题型五：圆内接三角形与四边形面积问题题型六：轨迹问题题型七：圆与圆的位置关系的判断题型八：公共弦问题题型九：公切线问题题型十：圆中范围与最值问题题型十一：定点定值问题题型一：圆的方程1．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）以圆心，且过坐标原点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，所求圆的圆心为，因为圆经过坐标原点，所以所求圆的半径为，所以所求圆的方程为.故选：A.2．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.3．（2023·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C4．（2023·湖南·高二校联考期末）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得是直角三角形，且.所以的外接圆的圆心就是线段的中点，由中点坐标公式得.故选：C5．（2023·河南驻马店·高二统考期末）以，为直径两端点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，的中点坐标为，以为直径的圆的圆心为，又，圆的半径为1，以为直径的圆的方程为即.故选：A.题型二：直线与圆的位置关系的判断6．（2023·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能【答案】A【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A.7．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A8．（2023·山东菏泽·高二统考期末）已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意,圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为,圆与直线相交,且圆上与直线的距离等于的点共有3个.故选:C.9．（2023·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】C【解析】直线方程整理为，即直线过定点，而，所以定点在圆内，∴直线与圆相交.故选：C.题型三：切线问题10．（2023·山西阳泉·高二统考期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.(1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)求过点B的圆C的切线方程.【解析】（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，，即，即直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入解得，即直线的方程为∴所求直线的方程为或；（2）因圆心C在直线上，则设圆心，又圆C经过，两点，于是得圆C的半径，即有，解得，圆心，∴，∴，∴切线l的方程为：，即.11．（2023·浙江金华·高二统考期末）在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且．(1)求圆的标准方程；(2)求过点的圆的切线方程．【解析】（1）若选①，直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，即，联立可得，故圆心为，圆的半径为，因此，圆的方程为.若选②，设圆的方程为，将点的坐标代入圆的方程可得，解得，所以，圆的方程为，即.（2）若选①，，故所求切线的斜率为，则过点的圆的切线方程为，即；若选②，圆心为，，故所求切线的斜率为，则过点的圆的切线方程为，即.12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）已知圆与直线相切，则.【答案】【解析】，圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，∵圆和直线相切，∴.故答案为：.13．（2023·四川泸州·高二统考期末）已知圆心为C的圆过点，，在①圆心在直线上；②经过点这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C的方程；(2)经过直线上的点P作圆C的切线，已知切线长为4，求点P的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【解析】（1）若选①，∵圆过点，，则直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率，且的中点为，即，则的垂直平分线所在直线方程为，即，又知圆心在直线上，∴，解得，所以圆心.半径为.所以圆的标准方程为.若选②，设圆的方程为，（其中），则，解得，所以，圆方程为，化为标准方程为.（2）设，∵经过直线上的点P作圆C的切线，切线长为4，∴，化简得，∴，解得或，∴点P的坐标为或.题型四：切点弦问题14．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，过点作圆的两条切线，设切点分别为、，而，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B.15．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知点M作抛物线上运动，圆过点，过点M引直线与圆相切，切点分别为P，Q，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设圆的方程为：,将点代入得，解得，则圆的方程为，即，如图所示：易知，又，所以，当最小时，最小，设，则，当时，，当时，趋近圆的直径，所以的取值范围为，故选：B16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．17．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面积的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设，，则，直线与圆相离，则且，，以为圆心，半径为的圆的方程为，整理得，由两式相减得直线的方程为，分别令和，则，又，的面积，当且仅当时取等号，则.故选：D18．（2023·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆的圆心为原点，半径为，因为，故四点共圆，且为直径，设，则，线段的中点坐标为，故以为直径的圆的方程为，整理得：，与相减得：直线的方程为，整理为，令，解得：，即直线恒过点，要想线段取得最小值，只需，即为的中点，其中，则，故选：B题型五：圆内接三角形与四边形面积问题19．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，故将和相减得，即圆与圆的公共弦所在直线方程为，令，则；令，则，故与两坐标轴所围城的三角形面积为，故选：C20．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原点，则面积的最大值为（

）A． B．4 C．6 D．24【答案】C【解析】由，整理为，令，解得，所以直线恒过定点，圆的圆心，半径，如图，，直线的方程为，则圆心到直线的距离，则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离，所以面积的最大值为.故选：C21．（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，因为，所以无论m取何值，都有，所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，设，则点P的轨迹方程为，圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．由题可知，，则，所以的面积的最小值为．故选：B22．（2023·湖北武汉·高二校联考期末）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（

）A．8 B． C．14 D．【答案】C【解析】令解得，所以,令解得，所以,所以,又因为圆心到直线的距离所以点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，故选:C.23．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆圆心为M，则圆M：，则，半径为.如图，最长弦为过的直径，长度为10.最短弦为过且与最长弦垂直的弦，设E，则由垂径定理可得，.又，则.又，则四边形的面积为：.故选：C24．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆化简为可得圆心为易知过点的最长弦为直径，即而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：所以弦所以四边形ABCD的面积：故选：D.题型六：轨迹问题25．（2023·重庆·高二统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，.(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.【解析】（1）圆，即，，则圆心，半径，记为圆心到直线的距离，由，得，而，因此，所以.（2）设，，由，得，解得，由点在圆上，得，于是，所以动点的轨迹方程为.26．（2023·福建莆田·高一阶段练习）已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件的点P的轨迹方程．【解析】（1）把圆化为标准方程为，∴圆心为，半径.当l的斜率不存在时，此时l的方程为，C到l的距离，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为，即，则，解得.∴l的方程为，即，综上，满足条件的切线l的方程为或.（2）设，则，.∵，∴，整理，得，∴点P的轨迹方程为.27．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；（2）设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为28．（2023·天津·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．【解析】（1）设圆的方程为，由题意得，解得

所以圆的方程为.（2）设点的坐标是，点的坐标是，由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，

于是

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即

所以，整理得所以，线段中点的轨迹方程.29．（2023·四川广元·高二统考期末）已知圆O:,直线.(1)若圆O的弦AB恰好被点平分,求弦AB所在直线的方程;(2)点Q是直线l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D,求直线CD经过的定点;(3)过点作两条相异的直线,分别与圆O相交于E,F两点,当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时,求线段EF的中点G的轨迹方程.【解析】（1）解:由题知,圆O:,所以圆心,半径为1,所以,因为弦AB恰好被点平分,所以,故,即弦AB所在直线的方程为;（2）因为圆心到直线距离为:,所以直线与圆相离,令,线段OQ中点,因为与圆相切,所以,所以O,C,Q,D四点共圆,且为直径,即圆心为,半径为,故圆K:上,因为CD是圆O与圆K的相交弦,故,即,由且得,直线CD经过定点;（3）点在圆上,ME,MF是斜率互为倒数的两条互异直线,设,,故,所以且,解得且,联立,即,所以,即,带入直线中有:,所以,,故,,记,,所以为奇函数,当且时,,且,当且仅当时,即时取等,因为,所以,根据为奇函数,所以当且时,,综上:,故线段EF的中点的轨迹方程为.30．（2023·四川广元·高二统考期末）已知坐标平面上两个定点，动点满足|MA|=2|OM|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l过点且与曲线C交于E，F两点，点O在以EF为直径的圆上，求直线l的方程.【解析】（1）由，得，化简整理得点的轨迹方程为：，点M的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆；（2）由题可知直线斜率存在可设，代入，得：，，设，，则，，由点在以EF为直径的圆上，则，即，即，所以，即，整理可得，即，代入成立，所以直线的方程为.31．（2023·江西上饶·高二统考期末）已知为原点，线段的端点在圆上运动.(1)求线段长度的取值范围；(2)点在线段上，且，求动点的轨迹方程.【解析】（1）圆的圆心为，半径，则，由于，所以||；（2）设,,由点在线段上，且，可得，则有可得，因为点在圆上，代入得，整理可得点的轨迹方程为.题型七：圆与圆的位置关系的判断32．（2023·新疆·高二校联考期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】C【解析】圆的圆心与圆的圆心，所以两圆的圆心距为3，又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆的半径之和，所以圆与圆的位置关系为外切．故选：C.33．（2023·湖北·高二校联考期中）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，依题意可知，以原点为圆心，半径为的圆，与圆相交，，所以，即，所以.故选：C34．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知：，，，，.因为和有公共点，所以，解得.故选：C35．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）圆与圆只有一个公共点，则（）A．4 B．5 C．6 D．4或6【答案】D【解析】由题设，则且半径；，则且半径；所以，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切，当两圆外切时，，则；当两圆内切时，，则或（舍）；所以或.故选：D题型八：公共弦问题36．（2023·湖北孝感·高二校考期末）圆与圆的公共弦长为.【答案】【解析】由圆与圆，将两圆方程相减整理得公共弦所在直线的方程：，又，即，圆心为，半径为，所以到直线的距离为，所以公共弦长为.故答案为：.37．（2023·广东深圳·高二统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线的方程为．【答案】【解析】因为圆，所以圆心为，半径，所以，，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，即，所以为两圆的公共点，即直线为两圆公共弦所在的直线，联立和，得到，即.故答案为：38．（2023·高一课时练习）圆和圆的交点为，，则线段的垂直平分线的方程为.【答案】【解析】将化为圆的标准方程是，其圆心是．两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为.又线段的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：.39．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）圆与圆的公共弦的长为．【答案】【解析】将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为：.题型九：公切线问题40．（2023·广东·高二统考期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有条．【答案】4【解析】到点A的距离为1的直线即该直线与以A为圆心，1为半径的圆相切；到点B的距离为3的直线即该直线与以B为圆心，3为半径的圆相切；由于，即两圆相离，如图所示，故公切线的条数为4条，即点A，B到直线的距离分别为1，3的直线有4条，故答案为：4.41．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有条.【答案】3【解析】由已知可把直线l看成是以为圆心，4为半径的圆的切线，同时是以为圆心，9为半径的圆的切线，由于两圆圆心距，所以两圆相外切，根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线有3条．故答案为：3．42．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终相切；②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；③时，圆被直线截得的弦长为；④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4其中正确命题的序号为.【答案】①③④【解析】对于①，由题意得，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又，即，即两圆外切，所以对于任意，圆和圆始终相切，故①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，故②错误；对于③，当时，圆的方程为，故圆心为，又直线，故圆心到直线的距离为，设其被所截弦为，故由弦长公式得，故③正确；对于④，由①知两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，所以，故④正确.故答案为：①③④.43．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】///【解析】因为圆的圆心为，半径圆的圆心为，半径又因为所以圆与圆相离，所以有4条公切线.画图为：易得或是圆和的公切线设另两条公切线方程为：圆到直线的距离为圆到直线的距离为所以所以或或当时所以，切线方程为当时所以所以所以或当时，切线方程为当时，切线方程为故答案为：或或或44．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是.【答案】【解析】圆，即，圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.圆心角，所以两圆内切，由解得，所以两圆切点的坐标为，，所以公切线的斜率为，所以公切线的方程为，即故答案为：题型十：圆中范围与最值问题45．（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）直线与曲线只有一个公共点，则实数范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题知，直线恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，由图知，当或，与曲线有1个交点，故选：C46．（2023·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.其中圆心，半径从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；同理，的最小值为－1.则的范围是.故选：B.47．（2023·湖北·高二郧阳中学校联考期中）若实数、满足条件，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，则直线与圆有公共点，所以，，解得，即的取值范围是.故选：B.48．（2023·山西太原·高二太原市外国语学校校考期中）过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】曲线方程可化为，它表示以为圆心，2为半径的上半圆弧，易知直线斜率存在，设直线方程为，即，如图所示：直线的斜率应满足，其中直线与相切于点，，解得或（舍去），又，所以.故选：D.49．（2023·四川成都·高二校联考阶段练习）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知圆心，半径为3，若圆上存在四个点到直线的距离等于，则点C到直线的距离，∴，∴.故选：D.50．（多选题）（2023·四川成都·高二树德中学校考期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（

）A．圆的半径为3B．既没有最大值，也没有最小值C．的范围是D．的最大值为72【答案】BC【解析】圆转化为，则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.设，则直线与圆有交点，即，整理得，解得或.既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.设，，则，其中.则的取值范围为，选项C正确.又，则，因此其中.则的最大值为，选项D错误.故选：BC.51．（多选题）（2023·山东·高二校考期中）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的范围是【答案】ABD【解析】因为实数x，y满足方程，所以，得圆心为，半径为1，对于AB，设，则两直线与圆有公共点，所以，解得，，所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确，对于C，因为原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离，所以，所以，所以的最大值为，所以C错误，对于D，表示出圆上的点到直线的距离，因为圆心到直线的距离为，所以，即，所以D正确，故选：ABD52．（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．直线的斜率范围为D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为【答案】AC【解析】圆的圆心，半径，又，所以，即点在圆外，所以，故A正确；，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；设的中点为，则，又，所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，所以公共弦方程为，故D错误．故选：AC．53．（2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）已知，满足，则的范围是．【答案】【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以故答案为：题型十一：定点定值问题54．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点.(1)若，求直线的方程；(2)记点关于轴的对称点为（异于点），试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意可知圆的圆心坐标为，半径，当直线的斜率为时，直线过圆心,，不满足题意，所以，直线的斜率不为设直线的方程为到直线的距离为.因为，所以，解得.由点到直线的距离公式可得到直线的距离，解得.故直线的方程为或.（2）设，则.联立，整理得，所以，.假设直线过定点，由对称性可知所过定点在轴上，设该定点为.因为三点共线，所以，所以.故直线过定点55．（2023·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若点是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，则直线是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【解析】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为.（2）设为坐标原点，由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上（对角互补的四边形的四顶点共圆），设该圆为圆,设，则圆心，半径，于是圆的方程为：即，又在圆上，即，（直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程）.由得所以直线过定点..56．（2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．(1)当在直线上时，求的值；(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）联立可得，即点，若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，设过点且与圆相切的直线的方程为，即，则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，在直线的方程中，令，可得，即点，，，因此，.（2）分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，，，，所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，将圆和圆的方程作差，消去、可得，即，故直线的方程为.由可得，因此，直线过定点.四、证明题