辽宁省大连市瓦房店市2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年上学期九年级10月考数学试卷一、单选题（本题共10小题，每小题各2分，共20分）1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝02．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2﹣2x+5，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝﹣9，c＝﹣15 C．b＝3，c＝3 D．b＝4，c＝104．方程4x2﹣12x＝3的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定5．抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣36．某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%7．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y29．根据下列表格的对应值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.6310．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是关于x的一元二次方程．则m的取值范围是．12．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝度．13．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0总有实数根，则m的取值范围为．14．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动秒后，△PBQ面积为5个平方单位．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax2+bx+c的解析式为．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，那么b＝．三、解答题（第17每小题8分，共8分，第18、19题各8分，共24分）17．解方程：（1）x2﹣5x+1＝0；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．19．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．四、解答题（每小题8分，共16分）20．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？21．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线解析式；（2）点P为抛物线的顶点，求△BPC的面积．五、解答题（本题8分）22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你用x的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为件（请化简）．（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价．（3）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？六、解答题（本题10分）23．已知抛物线y＝x2+bx与直线y＝2x交于点O（0，0）、A（a，12）．（1）求抛物线的解析式；（2）将射线OA绕原点逆时针旋转45°后与抛物线交于点P，求P点的坐标．七、解答题（本题12分）24．已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC边上，以AD为直角边作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．（1）如图1，连接CE，直接写出BD和CE的关系．（2）如图2，过点A作AG⊥DE，垂足为点G，交线段BC于点F，连接CG，探究DA与GC的数量关系．（3）如图3，若过点A作AF⊥DE交射线BC于点F，交DE于点G，连接CG．若BC＝4FC，，求CG的长．八、（本题12分）25．如图，抛物线的解析式为与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过A、C两点．（1）求直线AC的函数表达式；（2）图1，若点P是x轴正半轴上一点，过点P作PF⊥x轴交抛物线于点F，交直线AC于点E，若，求点F的坐标；（3）点D抛物线上一点，且∠ACD＝∠BAC，求点D的坐标．

参考答案一、单选题（本题共10小题，每小题各2分，共20分）1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．故选：C．2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A．原图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B．原图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意原；C．原图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D．原图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意原．故选：C．3．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2﹣2x+5，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝﹣9，c＝﹣15 C．b＝3，c＝3 D．b＝4，c＝10解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4），依题意，得平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，6），∵平移不改变二次项系数，∴y＝（x+2）2+6＝x2+4x+10，比较系数，得b＝4，c＝10．故选：D．4．方程4x2﹣12x＝3的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定解：原方程可化为4x2﹣12x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝144+48＝192＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣3解：y＝﹣（x﹣2）2+3，对称轴是直线x＝2．故选：A．6．某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%解：设每年增长率为x，绿地面积为1，依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为：（1+x）（1+x），则（1+x）（1+x）＝1+44%，解得x＝20%（负值已舍），故选：B．7．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．8．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2解：∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2．故选：B．9．根据下列表格的对应值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（）A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63解：∵x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．故选：C．10．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A． B． C． D．解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，故D选项符合题意；方法二：如图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，，∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是关于x的一元二次方程．则m的取值范围是m≠0．解：∵方程mx2+3x﹣4﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，∴m≠0，故答案为：m≠0．12．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝60度．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABO′是由△ACO旋转所得，∴∠OAO′＝∠CAB＝60°，故答案为60．13．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0总有实数根，则m的取值范围为m≥．解：当m﹣1＝0，即m＝1时，由（m﹣1）x2+2x﹣3＝0得2x﹣3＝0，此时方程有解；当m﹣1≠0，，由题意得，Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣3）≥0．∴m≥且m≠1．综上：m≥．故答案为：m≥．14．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动1秒后，△PBQ面积为5个平方单位．解：由题意：PA＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t，∵×（6﹣t）×2t＝5，解得t＝1或5（舍弃），故答案为1．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+3．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y＝x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，∴函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝（﹣x）2﹣4（﹣x）+3＝x2+4x+3．故答案为：y＝x2+4x+3．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，那么b＝﹣4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A，令x＝0得，A（0，c），∵该抛物线的开口向上，且与x轴的正半轴交于B、C两点，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，设方程x2+bx+c＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵BC＝2＝|x1﹣x2|．∵S△ABC＝3，∴＝3，∴c＝3，∵|x1﹣x2|＝＝，∴4＝b2﹣12，∵x1+x2＝﹣b＞0∴b＜0∴b＝﹣4．三、解答题（第17每小题8分，共8分，第18、19题各8分，共24分）17．解方程：（1）x2﹣5x+1＝0；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．解：（1）x2﹣5x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0，∴x＝x1＝，x2＝；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，解得：x1＝2，x2＝3．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．解析：（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣m2）＝16+4m2．∵m2≥0，∴16+4m2＞0，即Δ＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程x2﹣4x﹣m2＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣m2．又∵x1x2+x1+x2＝3，∴﹣m2+4＝3，即m2＝1，解得m＝±1．故m的值为±1．19．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．解法一：原图经过平移转化为图1．设道路宽为X米，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．答：道路宽为2米．解法二：原图经过平移转化为图2．设道路宽为x米，根据题意，20×32﹣（20+32）x+x2＝540整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．答：道路宽为2米．四、解答题（每小题8分，共16分）20．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，解得．∴y＝；（2）∵b＝﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴＝5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．21．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线解析式；（2）点P为抛物线的顶点，求△BPC的面积．解：（1）∵OA＝2，OC＝3，∴A（﹣2，0），C（0，3），∵点A、C在抛物线的图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）令x＝0，得，解得：x1＝﹣2，x2＝3，∴B（3，0），如图，设抛物线的对称轴交BC于点D，设直线BC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由＝，可知抛物线的对称轴为直线x＝，P，∴点D的纵坐标＝，∴PD＝＝，∴＝．五、解答题（本题8分）22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你用x的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为（1000﹣10x）件（请化简）．（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价．（3）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y＝600﹣（x﹣40）×10＝1000﹣10x．故答案为：（1000﹣10x）．（2）利润＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；∴﹣10x2+1300x﹣30000＝10000解之得：x1＝50，x2＝80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）利润W＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∴当x＝65时，W最大＝12250，答：当该玩具销售单价为65元时，商场获得最大利润12250元．六、解答题（本题10分）23．已知抛物线y＝x2+bx与直线y＝2x交于点O（0，0）、A（a，12）．（1）求抛物线的解析式；（2）将射线OA绕原点逆时针旋转45°后与抛物线交于点P，求P点的坐标．解：（1）∵点A（a，12）在直线y＝2x上，∴12＝2a，解得：a＝6，又∵点A是抛物线y＝x2+bx上的一点，将点A（6，12）代入y＝x2+bx，可得b＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）作∠POA＝45°，交抛物线于P，过P作PQ⊥OA于Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥PM于N交y轴于R，如图：∵∠AOP＝45°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴PQ＝OQ，∠PQO＝90°，∴∠OQR＝90°﹣∠NQP＝∠NPQ，又∠ORQ＝90°＝∠PNQ，∴△PNQ≌△QRO（AAS），∴NQ＝RO，PN＝QR，设Q点为（t，2t），∴PN＝RQ＝t，NQ＝OR＝2t，∴NR＝NQ﹣RQ＝t，PM＝MN+PN＝OR+PN＝3t，∴P（﹣t，3t），把P（﹣t，3t）代入抛物线解析式得t2+t＝3t，解得：t1＝0，t2＝4，∵t＞0，∴t＝4，∴P点的坐标为（﹣4，12）．七、解答题（本题12分）24．已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC边上，以AD为直角边作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．（1）如图1，连接CE，直接写出BD和CE的关系．（2）如图2，过点A作AG⊥DE，垂足为点G，交线段BC于点F，连接CG，探究DA与GC的数量关系．（3）如图3，若过点A作AF⊥DE交射线BC于点F，交DE于点G，连接CG．若BC＝4FC，，求CG的长．解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：在等腰直角△ADE中，∠DAE＝90°，∴AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°＝∠ADE＝∠AED，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BD⊥CE；（2）AD＝CG，理由如下：连接EC，如图2，由（1）知，BD⊥CE，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AG⊥DE，∴∠DAG＝∠EAG，DG＝EG＝AG，又∵∠DCE＝90°，∴CG＝DG＝GE＝DE，在Rt△ADE中，DE＝AD，∴2CG＝AD，∴AD＝CG；（3）或，理由如下：①点F在线段BC上，连接EF，EC，如图3，由（1）（2）知，BD⊥CE，BD＝CE，∠DAG＝∠EAG，DG＝EG＝AG，∴AF是线段DE的垂直平分线，∴DF＝EF，∵AB＝2，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AB＝4，∵BC＝4FC，∴