8.6.1 直线与直线垂直 （原卷版）

8.6.1直线与直线垂直【考点梳理】考点一两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法：2.两条直线的位置关系3.两个定理(1)基本事实4①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.③作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.②作用：证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.考点二异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.技巧归纳：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．【题型归纳】题型一：异面直线所成的角的概念理解1．（2023·高一）两条异面直线指的是（

）A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线2．（2023春·全国·高一专题练习）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全国·高一专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线异面 B．直线与直线共面 C．直线与直线异面 D．直线与直线共面题型二：证明异面直线垂直4．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（

）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行5．（2022春·安徽合肥·高一校考期末）如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（

）A．与是异面直线 B．平面C．AE，为异面直线，且 D．平面6．（2022·全国·高一假期作业）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线与直线垂直；②直线与直线相交；③直线与直线平行；④直线与直线异面；题型三：求异面直线所成的角7．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为______.8．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，长方体中，，点和分别为线段和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．9．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________.题型四：由异面直线角求其他问题10．（2022春·广东东莞·高一校考期中）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.11．（2022春·山东泰安·高一泰安一中校考期中）在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为___________.12．（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为______．题型五：和异面直线所成的角有关的综合性问题13．（2023·高一课时练习）空间四边形中，且与所成的角为，、分别是、的中点，求与所成的角的大小．14．（2023·高一单元测试）如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．(1)求证：直线与是异面直线；(2)若，，求、所成角的大小．15．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图所示，正三棱柱所有棱长均为分别为棱的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与所成角的余弦值.【双基达标】单选题16．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．17．（2023·高一单元测试）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°18．（2023·高一单元测试）在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．19．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°20．（2023春·全国·高一专题练习）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．21．（2023春·全国·高一）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（

）A． B． C． D．22．（2023春·全国·高一专题练习）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M､N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．23．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点E，F，且，以下结论不正确的有（）A．B．异面直线所成的角为定值C．二面角A－EF－B的大小为定值D．三棱锥的体积是定值24．（2022春·吉林长春·高一统考期末）已知直三棱柱，若AB=BC，AB⊥BC，则异面直线AC与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．25．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形中，，，，延长到，使，取中点，求异面直线与的距离和它们所成的角．26．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）如图所示，正方体的棱长为1，过顶点B、D、截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积V；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【高分突破】一、单选题27．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．28．（2021春·河北唐山·高一开滦第二中学校考阶段练习）一个正方体的展开图,如图所示,为原正方体的顶点,为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中,与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．29．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，E，F，G分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为二、多选题31．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（

）A． B． C． D．32．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的有（

）A．若，，则B．若，，则C．若，不平行于，则一定不垂直于D．若，不垂直于，则一定不垂直于33．（2023·高一课时练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线共面 B．直线与直线异面C．直线与直线共面 D．直线与直线异面34．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（

）A．M，N，B，四点共面 B．异面直线与MN所成角的余弦值为C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为35．（2022春·河北石家庄·高一统考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，以下结论正确的是（

）A．直线与平行 B．直线与是异面直线C．直线与垂直 D．三棱锥的外接球的表面积为36．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线AM与BN是平行直线B．直线BN与MB1是异面直线C．直线MN与AC所成的角为60°D．平面BMN截正方体所得的截面面积为三、填空题37．（2023·高一单元测试）长方体中，棱，，则与所成角的余弦值是______．38．（2023·高一课时练习）在空间四边形中，是的中点，是的中点，对角线，异面直线与所成角大小为60°，则的长度是______．39．（2023·高一单元测试）如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________.40．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.41．（2023·全国·高一专题练习）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球体积为___________.四、解答题42．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.43．（2023春·全