6.2.3 向量的数乘运算-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.2.3向量的数乘运算【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.考点二向量数乘的运算律1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.考点三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【题型归纳】题型一：向量的数乘运算1．（2022秋·北京·高一中关村中学校考期中）如图，在中，为线段上的一点，且，则（

）A．， B．，C．， D．，2．（2021秋·福建南平·高一）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）如图，已知，用，表示，则等于（

）A． B．C． D．题型二：平面向量的混合运算4．（2022秋·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（

）A． B． C． D．5．（2022·高一单元测试）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（

）A． B．C． D．6．（2021秋·福建福州·高一校联考期中）在五边形中，，，分别为，的中点，则（

）A． B．C． D．题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（

）A． B． C． D．8．（2022秋·山东临沂·高一统考期中）已知是直角三角形内的一点，直角三角形斜边长为4，若点在上，满足，则等于（

）A．4 B．2 C．1 D．9．（2022秋·四川凉山·高一统考期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（

）A． B． C． D．题型四：三角形的心的向量表示10．（2021秋·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（

）A． B． C． D．11．（2022秋·天津和平·高一校联考期末）在中，，，，若，则实数A． B． C． D．12．（2020秋·天津静海·高一静海一中校考阶段练习）点是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【双基达标】一、单选题13．（2022·全国·高一假期作业）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（）A．1 B．C．1或 D．或14．（2022秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心15．（2022·高）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．（2022·高一）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（

）A． B． C． D．17．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（

）A． B．C． D．18．（2022秋·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（

）A． B． C． D．19．（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（

）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形20．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．21．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）若，则__．22．（2022·高一单元测试）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．23．（2022·高一）计算：(1)；(2).【高分突破】一、单选题24．（2022·高一单元测试）在中，D为AC的中点，，则（

）A． B． C． D．25．（2022秋·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期中）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，，则（

）A．1 B．2 C． D．326．（2022秋·山东济宁·高一统考期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(

)A． B．C． D．27．（2022秋·重庆巴南·高一校考期中）如图所示，已知，点C是点B关于点A的对称点，和交于点E，若，则实数的值为（

）．A． B． C． D．28．（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则(

)A． B． C． D．二、多选题29．（2022秋·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．和能构成一组基底30．（2022·高一单元测试）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．31．（2022秋·吉林·高一东北师大附中）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．正八边形的面积是32．（2022秋·广东肇庆·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（

）A． B．C． D．33．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(

)A．若，则B．若，则点､､三点共线C．若点是的重心，则D．若且，则的面积是面积的34．（2022秋·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在AD上，且，则（

）A． B．C． D．35．（2022秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点、、分别的外心、重心、垂心，且为的中点，则（

）A． B．C． D．36．（2022秋·福建泉州·高一福建省德化第一中学校）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（

）A． B．直线必过边的中点C． D．若且，则三、填空题37．（2022·全国·高一假期作业）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______．38．（2022·高一课时练习）已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的___________心.39．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则______．40．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且，若，则______．四、解答题41．（2022·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4).42．（2021·高一）已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．43．（2022秋·高一课时练习）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心.参考答案：1．C【分析】利用，将用表示，然后整理即可.【详解】∵，即，∴，化为．又，∴故选：C．2．A【分析】由向量的线性运算可得，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为，所以，所以，又P是BN上一点，所以，解得.故选：A.3．C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详解】解：，，故选：C.4．B【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【详解】由题意，.故选：B.5．B【分析】由题，根据向量加减数乘运算得，进而得.【详解】解：因为在“赵爽弦图”中，若，所以，所以，所以，所以.故选：B6．C【分析】由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】,故选：C7．C【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：C8．B【分析】先由得，进而得到和中点重合，即可求解.【详解】由可得，即，取中点，易得，则，和重合，则.故选：B.9．D【分析】依据向量的几何意义去求解的值【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE.则，则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点故选：D10．D【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接，因为，所以，所以为的重心，所以设，则，,所以,所以，故选：D11．D【解析】将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12．A【解析】由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得的关系，进而判断的形状.【详解】点是所在平面上的两点，满足所以即因为所以即，所以又因为则所以即两边同时平方并展开化简可得即所以综上可知，的形状是等腰直角三角形故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，三角形形状的判断，属于中档题.13．B【分析】由与反向共线，则，再利用向量相等可得到的关系，进而求解.【详解】由于与反向共线，则存在实数k，使得，则有，即，又向量，不共线，所以，整理得，因为，解得.故选：B14．D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心.【详解】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D15．C【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于三点共线，所以，所以，当且仅当.故选：C16．B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，所以可得：．故选：B.17．B【分析】根据向量加法的三角形法则，把,分别用和来表示，再根据共线向量都转化成.【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，又因为是的中点，所以,所以.在中由向量加法的三角形法则得：又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，所以所以.故选：B.18．B【分析】由平面向量的运算法则求解【详解】平行四边形中，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，，则，故选：B19．C【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可.【详解】由，此时四边形

为平行四边形，因为，所以

，即对角线长相等，故四边形为矩形

故选：C．20．D【分析】先由向量的线性运算得到，结合，得到，由三点共线即可求解.【详解】由题意知：，又，，即，由三点共线，可得，即.故选：D.21．1【分析】由，得到，又，代入后即可求解.【详解】，，又，，，解得，，，故答案为：1．22．【分析】根据平面向量的运算法则计算即可.【详解】如图所示，，所故答案为：23．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=.（2）原式=.24．D【分析】根据得到，再根据可求出结果.【详解】因为，所以，所以，.故选：D25．B【分析】本题应用两个结论：，点O是BC的中点；三点共线：若A、B、C三点共线，则．【详解】由题意得，因为M、O、N三点共线，所以，解得，故选B．26．A【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．【详解】满足，∴为的重心，∴＝＝，又∵，∴．故选：A．27．B【分析】由题意得，，用表示，由三点共线即可求出.【详解】由题意知：点为中点，则，又，则，故，又三点共线，可得，解得.故选：B.28．A【分析】根据几何关系，利用向量线性运算方法用表示出，从而可得m、n的取值．【详解】依题意得，，故，所以故．故选：A﹒29．BCD【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于A选项，，A选项错误.对于B选项，，B选项正确.对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，故，所以选项C正确.对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.故选：BCD.30．AC【分析】利用向量的线性运算证明选项AC正确，，故选项B错误；，故选项D错误．【详解】解：因为，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B错误；由于B，E，F三点共线，所以．又，从而解得故选项C正确；，故选项D错误．故选：AC31．BCD【分析】根据平面向量的线性运算结合正八边形的性质逐项进行化简计算，即得.【详解】对于A：因为，故A错误；对于B：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，又因为平分，所以，故B正确；对于C：因为，且，所以，故C正确；对于D：正八边形的面积是，故D正确.故选：BCD.32．BC【分析】根据点E，F分别是边AD和DC上的中点，且在平行四边形ABCD中对角线相互平分，则M，N是线段AC上的三等分点，根据数乘和加法运算，可得答案，由，根据向量的减法运算，可得答案.【详解】如图，由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可知M，N是线段AC上的三等分点，由三角形相似可得M，N分别是线段BE、BF上的三等分点，所以，故B正确，A错误；，又，，所以，故C正确，D错误．故选：BC.33．ACD【分析】A：根据向量的数乘和加减法法则即可判断；B：根据向量共线的性质即可判断；C：根据三角形重心的性质即可判断；D：根据向量共线和三角形面积即可判断.【详解】对于A，，故A正确；对于B，若M、B、C三点共线，则存在唯一实数，使得，则，∵，∴，则λ无解，故M、B、C三点不共线，故B错误；对于C，延长AM交BC于D，∵M是△ABC重心，∴D是BC中点，则，∴，故C正确；对于D，∵且，∴，设则，则三点共线，由MD=AD可知的面积是面积的，故D正确．故选：ACD．34．ABD【分析】本题考查平面向量得线性运算，尤其是向量减法时注意：由减向量的终点指向被减向量的终点．【详解】∵，点E在AD上，，∴，∴．故选：ABD．35．BCD【分析】利用重心的几何性质可判断A选项；由可得，利用平面向量的线性运算可得出，再结合可判断B选项；利用可判断C选项；利用三角形外心的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为为的重心，则且，，，所以，，故，A错；对于B选项，由题意可知，，，因为，则，，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，因为为的外心，则，D对.故选：BCD.36．AC【分析】利用平面向量的加法化简可判断A选项；设的中点为，求出，判断、的位置关系，可判断B选项；利用重心的几何性质结合三角形的面积公式可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，所以，，A对；对于B选项，设的中点为，则，因为、不共线，且，显然、不共线，即直线不过边的中点，B错；对于C选项，作，，，如下图所示：由可得，则为的重心，延长交于点，则为的中点，所以，，由重心的性质可知，则，所以，，同理可得，，即，同理可得，因此，，C对；对于D选项，若且，则，D错.故选：BC.37．##0.3【分析】根据，确定点O的位置即可求解.