5.5 三角恒等变换（十二大题型）（解析版）

5．5三角恒等变换【题型归纳目录】题型一：两角和与差的正（余）弦公式题型二：两角和与差的正切公式题型三：二倍角公式的简单应用题型四：给角求值题型五：给值求值题型六：给值求角题型七：利用半角公式化简求值问题题型八：三角恒等式的证明题型九：辅助角公式的应用题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用【知识点梳理】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．知识点五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释：（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：知识点六：二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：知识点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）；3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接．知识点七：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．知识点八：辅助角公式1、形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）2、辅助角公式在解题中的应用通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．知识点九：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆），以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．以上两个公式称作半角正切的有理式表示．知识点十：积化和差公式知识点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有．规律2：中括号中前后两项的角分别为和．规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．知识点十一：和差化积公式知识点诠释：规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．【典型例题】题型一：两角和与差的正（余）弦公式例1．（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A例2．的值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】.故选：C.例3．的值为（

）A．0 B．C． D．【答案】B【解析】原式故选：B.变式1．=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A变式2．的值等于（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【解析】，故选：B.变式3．（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A变式4．的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.【方法技巧与总结】已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．题型二：两角和与差的正切公式例4．（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，，，所以，所以.故选：A例5．若，则的值为（

）A． B．1C． D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选：D例6．，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.变式5．的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】，故选：D.变式6．（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】，故选：A．变式7．（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】因为，即，所以.故选：A变式8．的值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，故，即，所以，同理，，，故，故选：B变式9．已知，，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B【方法技巧与总结】公式的变形应予以灵活运用．题型三：二倍角公式的简单应用例7．化简：．【答案】【解析】由二倍角公式可得：.故答案为：例8．已知，则．【答案】【解析】．故答案为：.例9．若，则．【答案】/【解析】因为，所以.故答案为：变式10．若，则的值为.【答案】/【解析】因为，所以，所以，解得.故答案为：.变式11．若，则的值为【答案】2【解析】因为，所以，故答案为：2.变式12．已知，且，则的值为．【答案】./0.96【解析】由可得，所以，由二倍角公式及诱导公式可得.故答案为：.变式13．已知，则的值为．【答案】【解析】易知，由二倍角公式可得；即，而，所以故答案为：变式14．已知是第二象限角，且，则．【答案】/【解析】由，是第二象限角，可知，所以，所以.故答案为：.变式15．若，则.【答案】【解析】由，得，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．题型四：给角求值例10．求.【答案】/0.5【解析】故答案为：.例11．若，则.【答案】【解析】故答案为：例12．______.【答案】1【解析】故答案为：1变式16．.【答案】【解析】.故答案为：.变式17．化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A变式18．计算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以原式故选：C变式19．（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.【方法技巧与总结】在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．题型五：给值求值例13．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，而，故，故选：B例14．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C例15．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为，所以，则在第二或第三象限，因为，当在第三象限时，由于，又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：A．变式20．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B变式21．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.变式22．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A变式23．已知为第二象限角，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为第二象限角，，原式..故选：B.变式24．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C变式25．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，所以.故选：D.变式26．已知，为锐角，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，为锐角且，所以，所以，所以，又，所以.故选：B变式27．已知，求（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则，，故选：D.【方法技巧与总结】给值求值的解题策略（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④．题型六：给值求角例16．已知，，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D例17．若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．例18．若，，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，则，又因为，则，由二倍角正切公式可得，所以，，因为，，则，即，因此，.故选：B.变式28．已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，又因为，，所以，所以因为，所以，所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，，因为，所以，因为，所以.故选：C.变式29．已知，，，，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C变式30．已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，因为，则，可得，因为，则，，所以，，，所以，，所以，.故选：A.变式31．已知，，且，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，又，.故选：B.变式32．设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，且，所以，则故选：A．变式33．设，则的大小是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由题意，故，且由于，故故选：C【方法技巧与总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤（1）给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．（2）选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．题型七：利用半角公式化简求值问题例19．已知，则．【答案】或【解析】方法一：因为，所以．由，可得，，则，，所以．故，将代入可得，将代入可得，故或；方法二：因为，所以．若，则；若，则．故答案为：或例20．已知，，则.【答案】【解析】，则，由半角公式可得.故答案为：例21．已知，，则.【答案】【解析】因为，，所以，所以.故答案为：变式34．已知：，，则.【答案】【解析】由，两边平方得：，即，因为，所以，所以，两式联立得，所以，故答案为：变式35．化简：.【答案】【解析】∵，∴，∴.又∵，且，∴.∵，∴，∴.∴.故答案为：变式36．已知，且，则的值是.【答案】【解析】因为，且，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故答案为：变式37．在△ABC中，若，，求，，的值.【解析】因为A，B，C均为三角形的内角，所以，，所以，所以，，.【方法技巧与总结】1、化简问题中的“三变”（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．题型八：三角恒等式的证明例22．已知，求证：．【解析】证明：因为，所以，于是，因为，所以，，同理可得，所以，从而，所以．例23．已知，求证：．【解析】因为，所以．即．去分母，得．又，所以，即，所以，于是，故．例24．已知，求证：.【解析】左边，右边，因此，.变式38．求证下列恒等式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）左边,原式得证.变式39．已知下列是两个等式：①；②；(1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；(2)请证明你的结论；【解析】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：；（2）证明：因为，，故，即.变式40．求证：．【解析】证明：因.则，.故左边右边.变式41．小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．①；②；③；④；⑤．她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．【解析】猜想规律：.证明：=.==.变式42．求证：.【解析】证明：所以原等式成立．【方法技巧与总结】三角恒等式证明的常用方法（1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简；（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．题型九：辅助角公式的应用例25．在中，，则的取值范围.【答案】【解析】在中，因为，可得，所以，则，因为，可得，则，所以，可得，所以.故答案为：.例26．已知,且，，则的值是．【答案】【解析】已知,，则，，即，，又,，则，，则，，则故答案为：例27．关于点对称，则a的值为.【答案】【解析】由题设()的对称中心为，则，即，所以.故答案为：变式43．函数在上的值域是.【答案】【解析】，又∵，∴，，所以，故函数在上的值域是.故答案为：变式44．若方程有解，则m的取值范围是.【答案】【解析】故，∵，∴，解得.故答案为：变式45．已知函数的最大值为2，则=.【答案】【解析】函数，，故函数的最大值为，由已知得，解得，所以，所以.故答案为：.变式46．若，则的取值范围是．【答案】【解析】由，可得，因为，可得，所以.故答案为：.变式47．若时，函数取得最小值，则．【答案】/【解析】（）时，函数取得最小值，则，则，则，解之得故答案为：变式48．当时，函数取得最大值，则θ的一个取值为．【答案】（答案不唯一，只要满足即可）【解析】，当，即时，函数取得最大值，所以θ的一个取值可以为.故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）变式49．函数的最大值为.【答案】【解析】，其中，所以的最大值为.故答案为：变式50．已知函数，若．则的最小正周期为．【答案】【解析】由题意可得：，其中，因为，则是函数的对称中心，可得，且，整理得，所以的最小正周期.故答案为：.【方法技巧与总结】辅助角公式的应用策略（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性．题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例28．设函数．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)当时，求函数的最大值及此时的值．【解析】（1）所以的最小正周期为，由，所以函数的单调递增区间为；（2）当时，，所以当时，即当时，函数有最大值.例29．已知向量，.设函数(1)求的最小正周期；(2)当时，求函数的最小值及取到最小值时的值.【解析】（1）由向量，，可得，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知当时，可得，所以当时，即，函数的最小值为.例30．已知函数的图象经过点和．(1)求实数a和b的值；(2)当x为何值时，取得最大值．【解析】（1）由题意，所以；（2）由（1）可得，若要使取得最大值，则需，所以.变式51．已知函数．(1)求函数的最大值，以及相应的集合；(2)求函数的增区间．【解析】（1）当，即时，取得最大值3；，相应的的集合是（2）由得的增区间是变式52．已知函数，其中，有如下三个条件：条件①：；条件②：；条件③：.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.(1)求的单调递增区间；(2)若在区间上的最大值为1，求实数m的最小值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）.若选①，，因为，所以，所以，解得.若选②，，所以是的一个周期.所以，即，所以，即.因为，所以，所以，解得.若选③，因为，所以为函数的对称轴，所以，所以，所以.因为，所以.综上，，所以.令，解得.所以的单调递增区间为.（2）时，，令，则在上的最大值为1，画出在图象如图所示：当，,由图可知，要在上的最大值为1，则，解得,所以实数的最小值为.变式53．已知函数的图象过原点，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求函数的解析式；(2)若函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.【解析】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得函数.因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数的图象过原点，可得，所以，因为，所以，所以函数.（2）由题知，由方程，得，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图可得方程在区间有5个解，不妨从小到大依次设为，即，由函数的对称性可得：，即解得所以.变式54．已知函数.(1)求函数在上的值域和单调递增区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时，，则，由可得，故当时，函数的值域为，单调递增区间为.（2）由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数解，则直线与函数在时的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在时的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.变式55．已知.(1)将表示成的形式；(2)求在上的最大值.【解析】（1）（2），得，所以，所以，所以，所以，所以在上的最大值为变式56．已知函数，且的最小正周期为.(1)求函数的单调增区间；(2)若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，因为，所以，解得所以.由得，故函数的单调递增区间为.（2）由（1）可知，在上为增函数；在上为减函数由题意可知：，即解得，故实数的取值范围为.【方法技巧与总结】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质．题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明例31．(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.根据两点间的距离公式，得：，化简得：当时，上式仍然成立.∴，对于任意角有：.(2)①公式的推导：.公式的推导：正切公式的推导：②公式的推导：由①知，.公式的推导：由①知，.公式的推导：由①知，.例32．如图，点A、B分别是角的终边与单位圆的交点（1）证明：；（2）设，求的值．【解析】（1）由题意得，，，当或者时，与夹角为，，，即．（2），，两边平方得，．例33．如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．（附：平面上任意两点，间的距离公式【解析】（1）两角差的余弦公式为：.证明：依题意，，则，故由得，，即，当时，容易证明上式仍然成立．故成立；（2）证明：由诱导公式可知，.而，故.即证结论.变式57．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点，.（1）请分别利用向量与的数量积的定义式和坐标式，证明：.（2）已知（1）中的公式对任意的，都成立(不用证)，请用该公式计算的值，并证明：.【解析】（1）证明：根据两个向量的数量积公式可得，再根据两个数量积的定义，.（2）由（1）可得.，即证.变式58．如图，考虑点，，，，从这个图出发.（1）推导公式：；（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.【解析】（1）因为，根据图象，可得，即，即.即.（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以.【方法技巧与总结】利用定义证明．题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用例34．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【解析】在中，，，，在中，，∴，∴，设矩形ABCD的面积为S，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．例35．现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值(2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，）【解析】（1）由题得，则，则，所以，，所以矩形面积为，因为，则，故当时，即当时，矩形的面积取最大值，且最大值为.（2）取中点，连接，设，如下图所示：设，其中，由圆的几何性质可知，，，因为四边形为矩形，则且，因为，则，且，所以，四边形为矩形，所以，，即为的中点，又因为，则，所以，，所以，，所以，，所以，，则矩形的面积为，其中，因为，则，所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为，，则，所以第一种方案更优.例36．已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为.(1)当时，求矩形的面积的值.(2)求关于角的解析式，并求的最大值.【解析】（1）在中，，，在中，，∴，∴，∴.当时，.（2）由（1）知由得，所以当，即时，.变式59．如图，矩形内接于半径为1、中心角为（其中）的扇形，且，求矩形面积的最大值，并求此时的长．【解析】如图:设的角平分线分别交于,,则.因此矩形的面积为矩形面积的2倍.因为扇形的半径为1，所以在中,,即,.因为在中,,所以,而,因此,所以，其中为锐角，且.因为,为锐角,所以,因此当时,取得最大值1,即取得最大值.因为,所以当时,,因此,所以由解得,因此,所以.变式60．如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．(1)当时，求梯形BCNM的面积S；(2)求的周长l的最小值，并求此时角的值．【解析】（1），，（2）由（1）可知，，，令，则，即当，即时，.变式61．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.(1)将十字形的面积表示成的函数；(2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值.【解析】（1）如图所示：，为锐角，因为，所以，解得，所以，（2）由（1）知，（其中），当，，即当时，十字形取得最大面积，．因为所以此时，所以综上，，此时变式62．已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高）【解析】如图设，由题可知，，所以，所以，当且仅当，即取等号，此时最大，因为是锐角，所以当时，最大，即球员沿边线带球进攻，他距离底线33.40米处射门对球门所张的角最大，命中率最高.变式63．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治通宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．(1)求面积关于的函数表达式；(2)求面积最小值．【解析】（1）由图可知，小正方形的边长为，且，大正方形的边长为，所以，，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，可得，设且满足，所以，，，锐角满足.（2），锐角满足，因为，则，且，则，因为，且，所以，，所以，此时，则，因此，面积的最小值为．变式64．如图，有一块矩形草坪，，，欲在这块草坪内铺设三条小路、和，要求是的中点，点在边上，点在边上，且.（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路的铺设费用均为元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？【解析】（1）中，，，，.中，，，，.又，，，当点在点时，这时角最小，求得此时；当点在点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，，，设，因为，则，，当时，，因为，所以，，，从而，当时，即时，，所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.【方法技巧与总结】解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．【过关测试】一、单选题1．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为角的终边过点，根据三角函数的定义，可得，则．故选：B．2．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，，所以.故选：A3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，得，由第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，得，所以，所以．故选：D4．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故．故选：A．5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C.6．（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，，，所以，所以.故选：A7．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又又，所以，则，故选：8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.二、多选题9．若，则等于（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】BCD【解析】由，得，所以或，当时，，此时或；当时，此时，综上，等于2或0或．故选：BCD.10．已知为锐角，，则下列各