4.2 指数函数（十大题型）（解析版）

4．2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：给出解析式求函数的定义域题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数幂的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．知识点二、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；当时，．当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指数函数解析式为且，对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.例2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A,是幂函数，对于B，系数不为1，不是指数函数，对于C,是底数为的指数函数，对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C例3．（2023·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.故选：D.变式1．（2023·高一课时练习）下列是指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.变式2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B.变式3．（2023·江苏·高一专题练习）下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（

）A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【答案】B【解析】A中底数不满足大于0且不等于1，故错误；B中函数满足指数函数的形式，故正确；C中系数不是1，故错误；D中指数部分不是x，故错误；故选：B【方法技巧与总结】一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．题型二：利用指数函数的定义求参数例4．（2023·上海·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是指数函数，所以.故选：C例5．（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则有（

）A．或 B． C． D．，且【答案】C【解析】由指数函数的概念得，解得或．当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.故选：C．例6．（2023·全国·高一专题练习）若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】因为是指数函数，所以，解得.故选：C．变式4．（2023·高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】根据指数函数定义列不等式，解得结果.由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则（

）A．不确定 B． C．1 D．【答案】C【解析】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，得，所以.故选：C.变式6．（2023·高一课时练习）若函数是指数函数，则（

）A． B． C．或 D．且【答案】B【解析】由指数函数的定义，得，解得．故选：B【方法技巧与总结】系数为1．题型三：求指数函数的表达式例7．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象经过点，则．【答案】/【解析】设指数函数且，过点，，解得：，，.故答案为：.例8．（2023·上海·高一专题练习）若指数函数的图像经过点，则其解析式为．【答案】【解析】设指数函数的解析式为，(且)，因指数函数fx的图像经过点，则，即，则其解析式为.故答案为：.例9．（2023·甘肃武威·高一统考开学考试）已知函数的图像过点，则【答案】2【解析】由题意得，所以，所以，所以.故答案为：2变式7．（2023·重庆江北·高一重庆十八中校考期末）写出定义域为且同时满足下列三个条件的函数的表达式：.（1）；（2）在上单调递增；（3）的值域为.【答案】（答案不唯一）【解析】函数满足条件，首先，又，满足（1），当时，为增函数，满足（2），当时，，又，所以的值域为，满足（3）.故答案为：变式8．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是．【答案】【解析】当时，，，因为为偶函数，所以，故.所以当时，函数的表达式是.故答案为：变式9．（2023·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件“①函数为增函数，②”的一个函数．【答案】(答案不唯一)【解析】由题意，指数函数均满足①②.故答案为：(答案不唯一)变式10．（2023·上海·高一专题练习）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为．【答案】【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案为：.【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10．（2023·上海·高一专题练习）函数且的图象必经过点．【答案】【解析】因为当时，，所以函数且的图象必经过点，故答案为：例11．（2023·全国·高一专题练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】【解析】则定点坐标为.故答案为:.例12．（2023·湖南株洲·高一统考开学考试）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.【答案】【解析】在函数中，当，即时，，所以点P的坐标是.故答案为：变式11．（2023·全国·高一专题练习）函数且所过的定点坐标为．【答案】【解析】令，即，则，所过定点坐标为.故答案为：.变式12．（2023·全国·高一专题练习）对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是．【答案】【解析】由函数，当时，可得，所以该函数恒经过定点.故答案为：.【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.例14．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．例15．（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B变式13．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得.法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.变式14．（2023·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错；，如上图，满足，故C不一定成立，当时，由得，则，所以，故D正确．故选：D【方法技巧与总结】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．题型六：指数函数的定义域、值域例16．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．【解析】（1）要使函数式有意义，则，即．因为函数在上是增函数，所以．故函数的定义域为，因为，所以，所以，所以，即函数的值域为；（2）定义域为，因为，所以，又，所以函数的值域为．例17．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域：（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得，即，又指数函数单调递增，得.所以函数的定义域为；（2）由题意，得，得，又指数函数单调递减，且.所以函数的定义域为.例18．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【解析】（1）的定义域为R，值域为；（2）的定义域为R，值域为；（3）的定义域为R，值域为；（4）中分母不等于0，故的定义域为，由于，故，又，故值域为；（5）中分母不等于0，故，的定义域为，由于，故，又，的值域为（6）中中分母不等式0，故，的定义域为，由于，故，又，故的值域为.变式15．（2023·四川成都·高一校考阶段练习）已知集合，函数.(1)求集合；(2)求函数的值域.【解析】（1）由题意知,（2）函数，令，则，所以时，；时，，所以函数的值域为.变式16．（2023·全国·高一随堂练习）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】令，则原函数转化为，当，即时，函数取得最小值为；当，即时，函数取得最大值为.变式17．（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【解析】，令，函数在上是单调减函数，∴，的对称轴为，∴当时，，即当时，，即，∴在上的值域为.变式18．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【解析】（1）由于，则，故的值域为.（2）当时，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，则，又为减函数，所以的值域为，即.变式19．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，.(1)求函数在上的值域；(2)若对任意，总存在，使成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）函数的开口向上，对称轴为，所以当时，.函数在上单调递增，所以函数在上的值域为即.（2）由（1）得，，当时，，，所以此时，若对任意，总存在，使成立，所以.变式20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)求函数的值域；(2)若在上最小值为，求实数的值.【解析】（1）因为，所以，令，则，当且仅当即时，等号成立，所以，记，易知函数在上单调递增，所以，即的值域为，所以函数的值域为.（2），令，根据单调性的性质知，函数在单调递增，则，记，对称轴为，当时，在上单调递增，所以的最小值为，解得，不合题意舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，解得或舍去；综上可得，.【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．题型七：指数函数的单调性及其应用例19．（2023·北京东城·高一校考期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A项，的定义域为R，，所以是奇函数，故A项错误；对于B项，的定义域为R，，所以是偶函数，又因为，所以在上单调递增，故B项正确；对于C项，的定义域为R，，所以不是偶函数，故C项错误；对于D项，的定义域为R，，所以是偶函数，又因为在上单调递减，故D项错误.故选：B.例20．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】的定义域为，，所以是奇函数，由于，所以在上单调递增.故选：A例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．变式21．（2023·上海·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.变式22．（2023·全国·高一专题练习）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，对称轴为，∵是上的增函数，∴要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是．故选：A．变式23．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C变式24．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.变式25．（2023·四川成都·高一校考阶段练习）已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数，是上的增函数，得，解得，即，故选：D.【方法技巧与总结】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．题型八：比较指数幂的大小例22．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D.例23．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，，且在上递增，，，故选：A例24．（2023·全国·高一专题练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，所以，，，故，故选：C.变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由单调递增，则可知，即B正确.故选：B.变式27．（2023·高一单元测试）的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在R上单调递减，知，而，所以,故选：B.变式28．（2023·高一课时练习）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为所以故选：B【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．题型九：解指数型不等式例25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：故选：B例26．（2023·江西吉安·高一吉安一中校考期末）已知，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】画出的图象如下图所示，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：A例27．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故选：A．变式29．（2023·福建泉州·高一石狮市石光中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则，∴可化为，则，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在上单调递增，∴，∴，∴原不等式的解集为.故选：D变式30．（2023·福建厦门·高一统考期末）已知函数为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数定义域为，又为奇函数，所以，故，经检验符合题意；不等式，即，，，，所以.故选：D.变式31．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，解得或，所以不等式的解集为：.故选：C.变式32．（2023·福建宁德·高一统考阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故选：B．变式33．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，是偶函数，图象关于轴对称，当时，是单调递增函数，所以在上单调递减.当时，由解得，即，所以，所以，所以不等式的解集为.故选：B变式34．（2023·山西朔州·高一统考阶段练习）已知则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的图象如图所示，，故选：A.【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解．题型十：判断函数的奇偶性例28．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【解析】（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函数在上为增函数．证明：任取，，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在上为增函数．（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，不等式等价为，即，令，则，所以，解得．即不等式的解集为.例29．（2023·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数是奇函数，(1)求值，(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）因为函数是上的奇函数，所以，解得，经检验，符合题意，所以；（2）令，则，因为，所以，则，即，所以函数在上单调递减，不等式，即为，则对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，而，所以.例30．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知函数为奇函数.(1)求的定义域和a的值；(2)证明：是的充要条件；(3)直接写出的单调区间和值域.【解析】（1）由题意，，所以，故的定义域为，又为奇函数，所以恒成立，而，故恒成立，所以恒成立，所以，所以；（2）由（1）知，，充分性：当时，，所以，所以；必要性：若，则，所以，所以，即，解得；综上，是的充要条件.（3），则在和上单调递减，证明如下：任取，且，则，由于，，所以，所以在上单调递减，同理可证在上单调递减.因为，所以，，因为，所以或，所以函数的值域为.变式35．（2023·福建福州·高一福州三中校考期末）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)求函数的值域；(2)若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）依题意知，对有，联立，解得，，，解得，则，故函数的值域为.（2）依题意，存在，使得不等式成立，设，，则，，故存在，使得不等式成立，设，只需，不妨设任意，且，，即，在上单调递减，同理可证在上单调递增，又，故的最大值是，，即实数a的取值范围是.变式36．（2023·浙江温州·高一统考期末）已知函数为偶函数.(1)求出a的值，并写出单调区间；(2)若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.【解析】（1）因为，所以，由偶函数知，解得；即，由对勾函数知，当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意可得，即，令，；解一：，则在上有解，即.若，即，此时，解得，∴；若，即，此时，解得，此时无解；综上，；解二：由得，令，则.，所以.解三：由得，令，则，，所以.变式37．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考阶段练习）已知函数（且）的图象经过点．(1)求的值；(2)若是定义在上的偶函数，且时，，求的解析式．【解析】（1）（且）的图象经过点，∴，又且∴；（2）当时，，设，则，则，因是定义在R上的偶函数，所以，所以，函数的解析式为．变式38．（2023·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，其最小正周期为2，若时，，且满足.(1)当时，求函数的解析式；(2)请判断函数在上的单调性（只判断不证明）.【解析】（1）因为时，，且，则，解得，有，又函数是定义在R上的偶函数，则当时，，有，而函数的最小正周期为2，当时，，，所以当时，函数的解析式为.（2）由（1）知，当时，，因为函数在上单调递增，，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.【方法技巧与总结】利用奇偶性的性质求解．【过关测试】一、单选题1．（2023·上海·高一专题练习）若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【解析】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，从而，故充分性成立，若，则，但不一定成立，如取，故必要性不成立，所以，“”是“”的充分而不必要条件．故选：A．3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B4．（2023·全国·高一专题练习）函数且与的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】根据题意，用排除法分析：直线为一次函数，其图象为直线，且其斜率为，故排除选项C、D，对于A，与y轴交点在上方，则，为增函数，符合题意，对于B，与y轴交点在下方，则，应该为减函数，不符合题意，故选：A．5．（2023·全国·高一专题练习）下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，函数在R上单调递增，则，A错误；对于B，函数在R上单调递增，则，函数在R上单调递减，则，因此，B错误；对于C，函数在R上单调递增，则，C正确；对于D，函数在R上单调递减，则，D错误.故选：C6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因为函数是定义在上的偶函数，所以可化为因为在区间单调递增，所以，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围是，故选：A7．（2023·全国·高一专题练习）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【解析】易知函数为单调递减，为单调递增，两函数图象至多一个交点，令，解得；当时，，当时，；所以，画出函数的图象如下图所示：由图可知，的最小值为1.故选：C8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且），若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，则，因为，则，即，所以，所以可以转化为，则，所以，故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（

）A．在上是增函数 B．是奇函数C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【解析】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减【答案】ABD【解析】令，则，对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B：因为，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.11．（2023·宁夏银川·高一校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图像关于原点对称B．，且，则恒成立C．D．的值域为【答案】AD【解析】对于A，函数的定义域为R，且，故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确；对于B，，由于是R上的增函数，故在R上单调递减，则在R上单调递增，不妨设，且，，则，故，B错误；对于C，取，则，即，C错误；对于D，由于，且，故，则，故，即的值域为，D正确，故选：AD12．（2023·高一单元测试）已知函数，则使函数在区间上的最大值是14的的值为（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】AC【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以时ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)，当0<a<1时，因为x∈[－