高等数学考研辅导3

计算机学院:高丽高数辅导一.填空题第二章导数与微分4.f(-x)=-f(x),且f'(-x0)=k,那么f'(x0)=______.解：对f(-x)=-f(x)两边求导,得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以由f'(-x0)=k得,f'(x0)=k.f'(x0)=k.二.选择题第二章导数与微分1.设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),那么f(0)=0是F(x)在x=0处可导的(a)充分必要条件;(b)充分但非必要条件;(c)必要但非充分条件;(d)既非充分又非必要条件.2.函数f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]2,那么当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是(a)n![f(x)]n+1;(b)n[f(x)]n+1;(c)[f(x)]2n;(d)n![f(x)]2n.3.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x),且f'(0)=b,其中a,b为非零常数,那么(a)f(x)在x=1处不可导;(b)f(x)在x=1处可导,且f'(1)=a;(c)f(x)在x=1处可导,且f'(1)=b;(d)f(x)在x=1处可导,且f'(1)=ab.×因为没有条件f可导.4.设f(x)=3x3+x2|x|,那么使f(n)(0)存在的最高阶导数n为(a)0;(b)1;(c)2;(d)3.5.设函数y=f(x)在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+x时,记y为f(x)的增量,dy为f(x)的微分,那么(a)-1(b)0;(c)1;(d)

.解.由微分定义

y=dy+0(

x),所以(a)a=1,b=0；(b)a=0,b为任意常数；(c)a=0,b=0；(d)a=1,b为任意常数。解在x=0处可导一定在x=0处连续,所以解由f'(0)存在可推出(a)中的极限值为1/2f'(0)，7.设f(0)=0,那么f(x)在x=0处可导的充要条件为(b)中的极限值为-f'(0)，(d)中的极限值为f'(0),而(c)中的极限值不一定存在,所以排除(c).反之(a)中的极限值存在,不一定f'(0)存在,举反例如下:

y=|x|,排除(a).(d)中的极限值存在,不一定f'(0)存在,举反例如下:排除(d).所以(b)是答案.由(b)推出f'(0)存在证明如下:所以f'(0)存在.解(a)不正确.反例如下:y=x;8.设函数f(x)在(-,+)上可导,那么(b)不正确.反例如下:y

=x2;(c)不正确.反例如下:

y=x;

(d)是答案.证明如下:解(a)反例f(x)=0,取a=0.排除(a);9.设函数f(x)在x=a处可导,那么函数|f(x)|在x=a处不可导的充分条件是(c)反例:f(x)=x2+x+1,取a=0.f(0)=1>0,f'(0)=1>0,|f(x)|=f(x),在x=0可导.排除(c);(d)反例:f(x)=-x2-x-1,取a=0.排除(d);所以(b)是答案.对于(b)证明如下:在(b)的条件下证明|f'(a)|不存在.所以|f'(a)|不存在.三.计算题第二章导数与微分五.当x0时,f(x)有定义且二阶可导,问a,b,c为何值时二阶可导.解.F(x)连续,所以所以

c=f(-0)=f(0);因为F(x)二阶可导,所以F'(x)连续,所以

b=