数值分析复习试题和答案及解析

数值分析复习题

一、选择题

1.3.142和3.141分别作为》的近似数具有()和()位有效数字.

A.4和3B.3和2C.3和4D.4和4

Cf(x)dx≈-f(∖}+Af(-)+-f(2)

2.求积公式尸6八，6M，则A=()

ɪɪɪ2

A.6B.3c.2D.3

3.通过点(/'%)'(X'X)的拉格朗日插值基函数∕o(x)'4(x)满足()

A.4(尤0)=0,4(5)=。B.(Xo)=O,'G)T

C.∕°(ΛO)=[,4(Λ⅛)=1D./o(∙⅞)=],4(玉)=1

4.设求方程/(*)二°的根的牛顿法收敛，则它具有()敛速。

A.超线性B.平方C.线性D.三次

X1+2x2+Λ3=O

<2x1+2X2+3X3=3

5.用列主元消元法解线性方程组「玉—3々=2作第一次消元后得到的第3个方程().

=-x-

A-X2÷¾2B-2%2+1∙5冗3=3.5C2X2+Λ3=3Dι0∙5⅞=-1.5

二、填空

1.设X*=2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值χ=.

“人)一/(尤2)6-1=5

/(%∣,x)=』切一=T=—3/(Λ,Λ⅛)=

2"22

2.设一阶差商%2-Xl2-1xx—X)4—22

则二阶差商/(大/2,W)=----------

3设X=(2,-3,-l)T,则l∣X∣∣2=,IlXL=。

4.求方程V-X-L25=°的近似根，用迭代公式x=√κl∙25,取初始值⅞=1,那么玉=•

<y'=f(χ,y)

5.解初始值问题Iy(Xo)=%近似解的梯形公式是％+∣“-----°

(1n

A=

6、「51人则A的谱半径Q(A)=。

7设/"(")=3%一+5,=曲，k=0,1,2,...,则=和/[”"，%+1，*.+2，玉+3]=。

8、假设线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉(EuIer)方法的局部截断误差为。

123

y=10H---------1----------ɔ------------j

10、为了使计算x~i(无一D-(X-I)的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。

II.设X=(2,3,-4);则IlXIh=,l∣x∣∣2=

,.d”=ɪC⑶-=-∕3)

12.一阶均差/(*。居)=13.〃=3时，科茨系数8'28,那么G=i4.因为方程

/(")="-4+2'=0在区间[1,2]上满足，所以/(x)=°在区间内有根。

y=A+y

<Jr

15.取步长〃=01，用欧拉法解初值问题〔丁(I)=I的计算公式.

16.设X*=2.40315是真值％=2.40194的近似值，则X有位有效数字。

17.对/(x)=.+χ+ι,差商/[0,1,2,3]=()。

18.设乂=(2，一3,7)二则1y119=。

∑cy=

19.牛顿―柯特斯求积公式的系数和κ=°。

20.假设4=2.42315是2.42247的近似值，则α有（）位有效数字.

乙"4X）=

21./。（幻"I（X）龙）是以°』，…，〃为插值节点的Lagrange插值基函数，则修。（）.

22.设/（x）可微，则求方程X=/（%）的牛顿迭代格式是（）.

V（«+1）_RY（A）If

23.迭代公式X-BX+/收敛的充要条件是。

24.解线性方程组4x%（其中A非奇异，8不为0）的迭代格式“"F=8x">+/中的8称为（）.给定方程

9x-x=8

<12

组1玉—5%=-4,解此方程组的雅可比迭代格式为（）。

25、数值计算中主要研究的误差有和。

（）

26、设a"'=°』'2…"）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则z/a）=。；/=0,1,2,〃）；之IjX=

J=0。

、设（）（，，〃）是区间3,切上的一组次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为;

274x/=°l2n插值型求积

公式中求积系数勺一；且网O

28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

2%/（x）=∕+l,则川,2,3]=,/[1,2,3,4]=o

30.设X*=1.234是真值X=1.23445的近似值,则x*有位有效数字。

不设了（%）=♦+Al,则差商（均差）/[0,1,2,3]=/10,1,2,3,4]=

32.求方程X=/（X）根的牛顿迭代格式是。

_P2、

3「飞”则I%=Wl"

34.方程求根的二分法的局限性是。

三、计算题

,上19

/(x)=%~,XO="7，ʃi=L入2=^7

1.设44

_L2

⑴试求/(X)在LTW」上的三次Hermite插值多项式H(X)使满足

H(Xj)=/(Xj),J=。,1,2,...H(xl)=f(x1)H(X)以升累形式给出

⑵写出余项R(X)=/U)-".的表达式

2.x=e（x）的研X）满足∣01x）-3JVL试问若何利用。㈤构造一个收敛的简单迭代函数WCG,使

XE=Mx3∙R=o,1…收敛

y'=f(χ,y)八.

4

y(χ)=yΛ+.=Λ-1+-(X,÷1+Λ+Λ-1)

3.推导常微分方程的初值问题13W%的数值解公式：3

（提示：利用SimPSOn求积公式。）

x1+2X2+3X3=14

<2Λ1÷5X2+2X3=18

4.利用矩阵的〃/分解法解方程组l3xι÷^2÷5⅞=20

1O_________J_____

y~■2&______

.函数的一组数据:]0.5。2

5I+%yi________

求分段线性插值函数，并计算,OS）的近似值.

IOx1-x2-2X3=7.2

<—Xy+IOx9—lx、—8.3

6.线性方程组〔一玉一/+5/=42m写出雅可比迭代公式、高斯―塞德尔迭代公式；（2）于初始值

X⑼=（0,0,0）,应用雅可比迭代公式、高斯―塞德尔迭代公式分别计算X⑴（保存小数点后五位数字）.

7.用牛顿法求方程丁-3X-1=O在［1，2］之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2（2）请用牛顿法求出近似根，准确到0.00OL

8.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积/占

9.用二次拉格朗日插值多项式4（%）计算Sin0-34的值。

插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894).

10.用二分法求方程/(X)=M-X-I=O在U°L5］区间内的一个根，误差限£=10-2。

4x1+2X2+x3=11

x1+4X2÷2X3=18

2内+々+5%=22,取”>=(0,0,0)r迭代三次(要求按五位有效数字计算)

11.用高斯-塞德尔方法解方程组τ

12求系数A，A?和A?,使求积公式

3x∣+2X2+IOX3=15

1Oxi-Ax2-X3=5

试建设一种收敛的迭代公式，说明理由

13.对方程组^2XI+10X2-4X3=8Seidel

14.确定求积公式≈4∕(-θ∙5)+Bf(xt)+C∕∙(0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代

数精度.

"'=3x+2y0<x<l

15.设初值问题U(O)=I.(1)写出用EUler方法、步长〃=0.1解上述初值问题数值解的公式;

(2)写出用改良的EUIer法(梯形法)、步长力=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解,，治,保存两位小数。

16.取节点入。=°，M=°∙5,%=1,求函数y=e-'在区间［0,1］上的二次插值多项式6(x),并估计误差。

17、函数,=∕(χ)的相关数据

P(x)B=Pq)

由牛顿插值公式求三次插值多项式并计算2的近似值。

√=-y+x+l,

<_%∈(0,0.6)

18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长力=01，l>(°)=i∙

rA

以确定求积公式LAX"M∕j)+4∕⑼+&八叱

中待定参数Ai的值a=。」>)，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度

S_____12345

-6--8-

20、一组试验数据如下：∖Γ4458.5

X

2xl+3X2+43=6,

<3xl+5X2+2X3=5,

求它的拟合曲线〔直线)。用列主元消去法解线性方程组+34+30x3=32.22.

⅛_____-1245

-245~1~

⑴用拉格朗日插法求/(幻的三次插值多项式；(2)求X,使/(x)=°

确定以下求积公式中的待定参数，使其代数准确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数准确度

111

/+尸2+铲L9

111

铲「产+/=8

1

++

2XIZ22x3=8

24、用GaUSS消去法求解以下方程组

C1

XA-∫√U)≈ς[∕(-l)+2∕Ul)+3∕(%2)]

.试求王’々使求积公式JT3的代数精度尽量高，并求其代数精度。.取步长

y'=2Λ-5y

(1≤Λ≤2)

bd)=ι

A=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题

X

12xj-3X2+33=15

—18元1+3尤2+ɜɪɜ=—15

x+x+x=6

.用列主元消去法求解方程组l23并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

用牛顿(切线)法求目的近似值。取XO=I.7,计算三次，保存五位小数。29、数据如

]1.41.82.22.61

y-

下:0.9310.4730.2970.2240.168求形如。+法拟合函数。

30、用二次拉格朗日插值多项式右(幻计算Sino.34。插值节点和相应的函数值如下表。

31、利用改良的尤拉方法求解初值问题，其中步长〃=°∙2

y'=y+x,

%∈(0,0.8)

J(O)=L

32、讨论用JaCobi和GaUSS-Seidel迭代法求解方程组AxY的收敛性，如果收敛，对比哪种方法收敛快。其中

^30-2

A=021

-212

简述题：表达在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么数值分析复习题答案

一、选择题LA2.D3.D4.C5,B

f（/（工2，工3）-/（%1，工2）_2（-Ji

J-2_~~~Σ/—

二、填空1、2.31502、x3-x∙"I"3、6和√144.1.5

5、%十万】〃和”开/即产”+凡、夕（A）=#7、/[七』»]=3J[Z，%3$3]=0；8、收敛9、。㈤10、

11{3H/(xo)-∕(x∣)

γ=10+——1+--------2———1

⑵＜。

11(DI(X-I)JJɪ9和；12.x°~x'13.i14,∙∕W

r/、

——，110」

，"“一"[(l+0.bl)2J^=0,l,2L

15."

16、3；17、1；18、719、1；20.3；21.X；

¢=〈（8+芯力

y

X=XJT（X„）芯+1=I（4+χ⑹）

22."J/（X"）；23,。（3）＜1；24、.迭代矩阵,5';25.相对误差绝对误差

26.{1：1;27,至少是nFb-a；28「鬻将丁⑹，反向

ɪ,,-ʃ（ɪɔ

⅛=⅞-

4；31、1,0；32、1一./（玉）；33、7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。

三、计算题

-耳丁+当犬+空》」

H(X)

1.解：(1)22545045025

R(X)W户(XT(XeX-*=*)*$

⑵

2.解：由X=叭月,可得X-3X=O(X)-3x,%=一万(S(I)-3x)="⑴

3.＞：数值积分方法构造该数值解公式：对方程旷=/&）在区间[X"T'X"/上积分,

y(x,,+∣)=y(X"-∣)+∫f(χ,y(χ))公∫f(χ,y(χ))公

得3,记步长为h,对积分“用Simpson求积公式得

0+12hh`

j/(x,y(x))dx≈—[/(%„.,)+4f(xn)+/(⅞+l)]≈-(‰,+4y,t+y；T)

八°'所以得数值解公式

4

Λ÷∣=X,-∣+∣(‰I+Λ+Λ-1)

4.解

r∣∙∣^x)=-~-×1+--×0.5=l-0.5x

5解Tofl,1J,」0-11-0

“「I沁)=——×0.5+--×O.2=-O.3x+O.8

x∈[l,2J,—1-22-1

所以分段线性插值函数为

6.解：原方程组同解变形为

x1=0.1x2+0.2X3+0.72

<x2=O.Ix1-0.2X3+0.83

x3=0.2x1+0.2X2÷0.84

雅可比迭代公式为

x[m+0=Ow)+0.2寸)+0.72

■名叫=0.1染)_0.2#)+0.83

X”)=0.2#)+0.2EM+0.84(Μ=0,1…)

高斯―塞德尔迭代法公式

X,旬=OO穹)+0.2穹)+0.72

HH)=Oi铲)1一0.2W)+0.83

W)=O.2/叫+0∙2x")+0.84(Zn=(U…)

用雅可比迭代公式得对=(°∙72°00›0∙83°00'0∙84°°°)

用高斯-塞德尔迭代公式得x°,≈(°∙72°∞`0∙9°20°`1∙1644°)

3

7.解:/(x)=x-3x-ltf(l)=-3<0tf(2)=l>0

Γ(x)=3√-3ιΓω=12xf"2)=24>0,故取.2作初始值

迭代公式为

/(x,ι)__心-3/_]-1(或2x”_|+1)

/'(K)λ^,⅛.-33(xt<-l),n=l,2,...

2χ3'+l2x1.888893+1

=1.88889=1.87945

23X(1.888892-1)

Xo=23×(2-l)

2x1.879453+1

=1.87939

-3×(1.879452-1)

∣Λ3-x21=0.00006<0.0001

方程的根X*"1∙87939

Cf(x)dx≈-~~-Γ/(«)+f(b)^∖

8.解梯形公式J"八2U-八〃

「一!~√r」[-!-+，=0.75

应用梯形公式得J°l+x21+01+1

辛卜生公式为C4依一"(小"(警)+")]

=l[^-+4×111

(4仆Af(O)+4/号)+/⑴]61+0口方25

应用辛卜生公式得J°l+x62236

9.解

J(X)_(X-Xl)(X-A2)f+(X-XO)(Xf)f+(Xf)(Xf)f

2λ12

(X0-X1)(X0-X2)-°(X1-X0)(X1-X2)'(X2-X0)(X2-X1)

=0.33333610.用二分法求方程

/(x)=x3-X-I=0⅛IO,1.5]区间内的一个根,误差限£=10々。

解

11.解迭代公式

12解:

13.解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取x(°)=(0,0,0)T,经7步迭代可得：X*≈工⑺=(0.999991459,0.999950326,1.000()10)T

14.4.解

3.假设公式对Λx)=l,x,f,/精确成立则有

Λ+B+C=2

—0.54+βχ∣÷0.5C=0

0.25A+B√+0.25C=-

13

-0.125A+Bx；+0125C=O

42

解此方程组得A=C=-,B=--

33

求积公式为

ɪ[

∫f(x)dx≈-[4/(-0.5)-2/(0)+4/(0.5)],¾∏x)=d时，

-IJ

21

左边=5右边=L左边≠右边.∙.代数精度为3。

56

15.解(DyM="+°」(3%+2χ,)=0,3xn+1.2yn

16.解：

-lC-0.5C-0.5

exι—ee—11

,、0e-°”l1-0.50.5-0z〜八八

P2(X)=C+------------(x-0)+--------------------------------(x-O)(X-0.5)

0.5—01—0

0505

1+2(e-∙-I)X+2(e^'-2e^+I)X(X-0.5)

xx

y"=-e^,Mi=max∣y'∣=∖,e-p2(x)=/⑹x(x-0.5)(X-1)

χφ,∣]3!

∙∙∙0≤x≤l时，Hf⑴尾做15)(XT)I

17、解：差商表

由牛顿插值公式：

18、解:

]4

f,ʌ_.2An=A,=-h,A=-Ii

19.解：分别将/(X)=LKX,代入求积公式，可得^33。

令/(X)=χ3时求积公式成立，而/(χ)=χ4时公式不成立，从而精度为3。

∫5α+15⅛=31

20、解：设N="+"则可得h"+55”=105.5

于是。=2.45,匕=1.25,即y=2.45+1.25%解.

4xj÷3X2+30X3=32,王二13,

=

1Ix2-82X3=—38,n‹x?8,

x=

、32∙x3=2.

22.解：用反插值得

解令/S)=l，x，V代入公式准确成立，得

A+B=2A

V—hA+Bx1=0

223

∕ZA+BXI=∣∕z

X=-h,B=-h,A=—h

解得1322,得求积公式

hZz〔4/1

∫f(x)dx≠-[(-A)3+3f(-h)3]=--h

/■一；-"239故求积公式具有2次代数准确度。

24、解：此题是GaUSS消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故

2x1+3Λ⅛=1

.解：由等式对AX)=Lxl准确成立得：[2工；+=1,

解此方程组得

又当/(X)=/时左边工右边

•••此公式的代数精度为2.解：梯形法为"+∣=”+°2(2x,-5y,)+(2%-5%+∣)]即

y∣=0.62667,%=0.55566,y3=0.58519,

γ4=0.64840,y5=0.72280

-1

7

—183-1-153

12-331571731

6

.解：先选列主元彳=2,2行与1行交换得消元6V.

解：6是∕3=x2-3=0的正根,尸（x）=2x,牛顿迭代公式为

片一3%=⅞∙+j-("=0'l'2,∙∙∙)

X,,+∣=X"--ɔ—

2"即22%

n[23

取xo=1.7,列表如下:17323517320517320529、数据如

]1.4182.22.6

XtI

)=

下:为0.9310.4730.2970.2240.168求形如a+bx拟合函数。

解:

30、解：过点“。，人"（耳，工），（X2,八）的二次拉格朗日插值多项式为

[zX(X-XI)(X-X,)f(X-X0)(X-X2)(X-X0)(X-Xl)

LΛX>~~,J；Jo+75；J∖+7VrJi

(X0-X1)(X0-X2)(Xl-Xo)(Xl-A2)(X2-X0)(X2-Xl)

代值并计算得Sino.34=Z√0.34）=0.33336。

31、解：

32、解：

简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有：1）要防止除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要防止两近数相减；3）要防止

大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。

一、选择题（共30分，每题3分）

1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）o

（A）方法收敛性；（B）方法的稳定性；

（C）方法的计算量；（D）方法的误差估计。

2、方程--2*-5=0在区间［2,3］存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代（）次可以保证误差不超过

NO-3

(A)5；(B)7；(C)10；(D)12。

3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是()

(A)调换方程位置；(B)选主元；(C)直接求解；(D)化简方程组。

4、设/(x)=9χ8+3χ4+10,则，2°,21,22,23,24,2$,26,27,2。和/［3°,B?2,3331石5,36,37,38,3〃的值分别为

()

(A)1,1：(B)9x8!,0；(C)9,0；(D)9,1«

π

5、假设用复化的辛浦生公式计算积分binxdx,问积分区间要()等分才能保证误差不超过2xlOT

0

(A)10；(B)15；(C)20：(D)251.

6、用一般迭代法”卬=8”)+g求解方程组AXH的解，则当()时，迭代收敛。

(A)方程组系数矩阵A对称正定；(B)方程组系数矩阵A严格对角占优；

(C)迭代矩阵5严格对角占优；(D)迭代矩阵5的谱半径Q(5)<L

7、在区间［0,1］上满足MO)=I.5,MI)=2.5的O次拟合多项式曲线是()

(A)y-2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。

8、复相关系数的取值区间为：()

(A)O≤R≤1;(B)—1<R≤1;(C)-∞<R<∖↑(D)-1≤∕?≤∞

9、方差分析主要用于分析()

(A)自变量和因变量都是分类变量⑻自变量和因变量都是顺序变量

(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量

10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是()

(A)各分类间方差相等⑻各分类间均值相等

(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等

二、填空题(共30分，每题3分)

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、6的相对误差约是X*的相对误差的倍。

3.方程求根的二分法的局限性是。

4、求方程根的割线法的收敛阶为一»

5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。

6、假设用高斯-赛德尔法解方程组（其中。为实数，则该方法收敛的充要条件是。应满足

［2axi+X2=-3

7、线性代数方程组AX=方相容的充要条件是。

8、单纯形算法的基本思路是:-

9、参数假设检验的含义是。

10、假设检验的基本思想的根据是

三、（7分）确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。

x

8x1—X2+3=8

四、（8分）方程组∙2盯+10巧一巧=11或跄=〃分别写出该方程组的JaCObi迭代法和GaUSS∙Seidel迭代法的

x1+X2-5巧=-3

分量形式。

五、（9分）设步长为h,分别用EUIer方法、隐式EUler方法和梯形方法写出微分方程［“="-'+I的求解公式。

J（O）=I

六、（8分）设总体X在区间［a,b］上服从均匀分布，其中“、人未知，＞［,〉2，一,又"为总体*的样本，求“、h

的极大似然估计量.

七、（8分）将如下线性规划问题化成标准型：

参加答案

一、选择题(共30分，每题3分)

1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是(C)。

(A)方法收敛性；(B)方法的稳定性；

(C)方法的计算量；(D)方法的误差估计.

2、方程1，-2*-5=0在区间［2,3］存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代(C)次可以保证误差不超过

Ll(T3。

2

(A)5；(B)7；(C)10；(D)12o

3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是O

(A)调换方程位置；(B)选主元；(C)直接求解；(D)化简方程组。

4、设/(x)=9/+3/+io,则/［2。,211,2∙*,2$］,2,,2*iJ和/［3°,31,32,33,34,35,36,37,38,39］的值分别为

(B)

(A)1,1；(B)9x8!,0；(C)9,0；(D)9,1»

π

5、假设用复化的辛浦生公式计算积分JSinXdX,问积分区间要(A)等分才能保证误差不

0

超过2x10-5

(A)10：(B)15：(C)20；(D)25。

6、用一般迭代法xui+D=β√">+g求解方程组Ax=〃的解，则当(D)时，迭代收敛。

(A)方程组系数矩阵A对称正定；(B)方程组系数矩阵A严格对角占优；

(C)迭代矩阵5严格对角占优；(D)迭代矩阵5的谱半径0(5)<1。

7、在区间［0,1］上满足>(0)=l∙5,y(1)=2.5的0次拟合多项式曲线是(A)

(A)y=2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。

8、复相关系数的取值区间为：(A)

(Λ)0≤R≤l;(B)-1<∕？≤1；(C)-∞≤R≤∖;(D)-1≤Z?≤∞

9、方差分析主要用于分析(D)

(A)自变量和因变量都是分类变量⑻自变量和因变量都是顺序变量

(0自变量和因变量都是数值变量⑻自变量是分类变量，因变量是数值变量

11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是(B)

(Λ)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等

(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等

二、填空题(共30分，每题3分)

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、H的相对误差约是X*的相对误差的3倍。

3.方程求根的二分法的局限性是。收敛速度慢，不能求偶重根。

4、求方程根的割线法的收敛阶为一。1.618或上西

2

5、求定积分的牛顿.柯特斯公式的代数精度为。5

6、假设用高斯-赛德尔法解方程组［x'+ax2=4,其中。为实数，则该方法收敛的充要条件是“应满足O

H<f

7、线性代数方程组AX=方相容的充要条件是。

rank（A）=rank（A,b）

8、单纯形算法的基本思路是：根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解（顶点）开场,转换到另一个

基本可行解（顶点），并使得每次的转换，目标函数值均有所改善,最终到达最大值时就得到最优解。

9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。

10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。”

三、（7分）确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。

+x

8x∣—X23=8

四、（8分）方程组,2x∣+lox2-%=11或4x=。分别写出该方程组的JaCObi迭代法和GaUSS-Seidel迭代法的

X1+X2-5X3=—3

分量形式。

五、（9分）设步长为h,分别用EUIer方法、隐式EUIer方法和梯形方法写出以下微分方程的求解公式：

（y'=X-ʃ+1

tMo）=I0

六、（8分）设总体X在区间口,加上服从均匀分布，其中八。未知，X1,X2,…,X"为总体X的样本，求a、b

的极大似然估计量.

七、（8分）将如下线性规划问题化成标准型：

试题

一.填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1.设有节点小,%,々，其对应的函数y=∕（χ）的值分别为加加必，则二次拉格朗日插值基函数

4。为。

2.设/（x）=Y,则/（X）关于节点∕=0,玉=1,々=3的二阶向前差分为。

1

3.设A=-1

O

4.〃+1个节点的高斯求积公式的代数准确度为。

二.简答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）

1.哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定

2.什么是不动点迭代法姒力满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于

O（X）的不动点

3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足囚>同习阖N>⅛∣,请简单说明求解矩阵A的主

特征值和特征向量的算法及流程。

三.求一个次数不高于3的多项式A（X）,满足以下插值条件:

123

Xj

2412

%

V；3

并估计误差。（10分）

四.试用〃=1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分/=「占公。（10分）

五.用Newton法求/(x)=X-CoSX=O的近似解。(10分)

六.试用Doolittle分解法求解方程组:

^25—6-Xl--10^

413-19X2=19(10分)

-6-3-6.工3___30_

20x1+2X2+3X3=24

七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组X,+8X2+X3=12的迭代格式，并判断其是否收敛(10

2%-3X2+15X3=30

分）

八.就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

Iy（O）=NO

参考答案

一.填空题（每题3分，共12分）

χχχχ

1.ln(χ}=<-∖^-2›.2.7；3.3,8；4.2n+l»

(X0-X1)(X0-X2)

二.简答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）

1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）

对于对称正定阵4从%=ZL碇可知对任意4≤f有I，*∣≤历。即/的元素不会增大，误差可控，不

需选主元，所以稳定。（4分）

2.解：⑴假设%*=0（%*）,则称X*为函数O（X）的不动点。（2分）

（2）O（X）必须满足以下三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于O（X）的不动点:

1）0（x）是在其定义域内是连续函数；（2分）

2）e（x）的值域是定义域的子集；（2分）

3）O（X）在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）