2023年高考数学一轮复习习题：第六章第3节　等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前八项和

考纲要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式；2.能在具体

的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指

数函数的关系.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于国二金非零常数，那么这个数

列叫做等比数列.

数学语言表达式：H=式42,4为非零常数).

Cln-1

(2)等比中项：如果α,G,b成等比数列，那么G叫做〃与b的等比中项.那么§=5，即

G2-ab.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(I)若等比数列｛4,,｝的首项为0,公比是4,则其通项公式为斯=S!；

n

通项公式的推广：an=am<t'-'.

(2)等比数列的前"项和公式：当q=l时，S,="0;当时，S,=号望=生|三苧.

3.等比数列的性质

已知｛斯｝是等比数列，S”是数列｛〃“｝的前n项和.

(1)若Z+/=m+"(&,I,m,n∈N,)>则有aκa∣=a,"∙a,.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,像+2““…仍是等比数列,公比

为武.

(3)当qr—1,或4=一1且〃为奇数时，S1,,S21-S11,S3.-S2”，…仍成等比数歹∣J,其公比

为Q.

•-----常用结论与微点提醒

1.若数列｛斯｝,｛与｝(项数相同)是等比数列，则数列｛cs｝(cWO),｛∣α.∣｝,｛曷｝,｛点，｛斯％｝,

榭也是等比数列.

2.由出+1=4斯,q≠O,并不能立即断言｛斯｝为等比数列，还要验证αι≠O.

3.在运用等比数列的前“项和公式时，必须注意对q=l与分类讨论，防止因忽略q

=1这一特殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为*X,阳；四个符号相同的数成等比数列，通常设为今，・

xq,xq3.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)等比数列公比4是一个常数，它可以是任意实数.()

(2)三个数①h,C成等比数列的充要条件是∕="t∙.()

(3)数列｛为｝的通项公式是小=〃，则其前〃项和为二：).()

(4)数列｛斯｝为等比数列，则S4,S8-S4,$2-1成等比数列.()

答案(1)×(2)×(3)X(4)X

解析(1)在等比数列中，qWO.

(2)若α=0,b=0,C=O满足/="c,但mb,C不成等比数列.

(3)当a=∖时，Sn=na.

(4)若0=1,¢=-1,则S4=O,S8-S4=O,S12-S8=O,不成等比数列.

〉教材衍化

2.已知｛斯｝是等比数列，42=2,«5=｛，则公比4等于()

A.一：B.~2C.2D.

答案D

解析由题意知炉=胃=J,即q=:

1a202

3.等比数列｛α,,｝的首项0=-1,前”项和为S1,,若"=||，则｛斯｝的通项公式呢=—

答案Ye)C

解析因为碧=裳，所以笠'=一专，

因为S5,SlO-S5,S∣5-S∣o成等比数列，且公比为如，

所以炉=_=,q=~^＜则%=一(O.

►■考题体验

4.(2021・兰州诊断)设等比数列｛α,J的前6项和为6,且αι=α,a2-2a,则α=()

2145

A∙2?b∙7c∙2?d-27

答案A

解析由题意得公比q=9=2,则S6=誓二善=63a=6,解得

CL∖1—221

5∙（2018∙北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载墙最早用数学方法计算出半

音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依

次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等

于1%.若第一个单音的频率为力则第八个单音的频率为（）

A.¾2∕B.A/?/'C.'¾25∕∙D.1¾2V

答案D

解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为力公比为IS的等比数列，设此数列为

｛a,,）,则as=1物，即第八个单音的频率为ISy

3

6∙（2019∙全国I卷）记S〃为等比数列｛斯｝的前几项和，若功=1,S3=本则S4=.

答案I

O

解析设等比数列｛斯｝的公比为小

3

-

4

3

解得q=-所以04=αι¢=-g,

315

-

故S4=S3+fl4=4g=g∙

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一等比数列基本量的运算自主演练

I.（2019・全国川卷）已知各项均为正数的等比数列｛内｝的前4项和为15,且的=3°3+4可，

贝Il43=（）

A.16B.8C.4D.2

答案C

解析设等比数列｛“"）的公比为4，由。5=343+4"|得q4=3∕+4,得才=4.

因为数列｛斯｝的各项均为正数，所以q=2.

又0+42+α3+α4=α1（l+q+q2+q3）="∣（i+2+4+8）=15,所以αι=l,所以。3=。1『=4.

2.（2020•全国Il卷）记S“为等比数列｛斯｝的前〃项和.若。5—〃3=12,46—44=24,则3=（）

A.2,,-lB.2-2'^,'C.2-2"D.21n-l

答案B

解析设等比数列｛斯｝的公比为4,

%一。424C

则πιlq=--------=75=2.

恁一。312

m(l—2〃)

1-22,,-l

所以章=n

n1二^rT=2-2'^

al2-

3.(2020•新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列｛斯｝满足〃2+的=20,43=8.

(1)求｛%｝的通项公式；

n-l

(2)求aQ—协昌---F(—l)απαπ+ι.

解(1)设｛斯｝的公比为q(q>l),且42+α4=2θ,43=8∙

j4ιg+”田=20,

・'U∣⅛2=8

消去ɑι,得g+^=l,则4=2,或4=；(舍).

因此q=2,a∖-2,

n

所以｛<‰｝的通项公式an=2.

⑵易知(-1)EaM”+尸(一DG∙22"+∣,

则数列｛(T)"-i22"∣｝公比为一4.

n

故a∖a2-a2θ3-∖------F(-l)'∙anan+1

=23-25+27-294------F(-1)W^I∙22Λ+1

32+3

2[l-(-4∏8Γ82"

1+4-5l厂(一1)F

感悟升华1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量

a∖,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

z

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=1时，｛斯｝的前n项和Sn=na∖;

当户1时，｛斯｝的前〃项和S尸弊≡*=干署.

考点二等比数列的判定与证明师生共研

【例1】S.为等比数列｛α,,｝的前”项和,已知04=902,S3=13,且公比q>0.

⑴求斯及S”；

(2)是否存在常数九使得数列｛S,+猫是等比数列？若存在，求7的值；若不存在，请说明理

由.

"aιq3=9aιq,

0(1一，)

解(1)易知q≠l,由题意可得V1—q=3

、q>0,

解得〃ι=l,q=3,

1—3〃3w-l

n--,

.∙an=3»Sn=]_3=2

(2)假设存在常数，使得数列｛S∣+4｝是等比数列,

*.*Si+2=Λ+1,S2+2=>l+4,S3+∙^=2+i3,

Λ(2+4)2=(λ+l)(Λ+13),解得2=；,

X1

ɪɪ5rt+ι+∣2ʃɪ'

此时5"+5=5、3",贝Uj-=_i=3>

S,,+∣^×3"

113

故存在常数4；,使得数列⑸+》是以，为首项，3为公比的等比数列.

感悟升华1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、

填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对〃=1的情形进行验证.

【训练1】(2021•石家庄质量评估)已知数列｛%｝中，0=1,αM/∣=G)".

⑴证明:数列｛Z.τ｝和数列｛如｝都是等比数列;

(2)若数列｛斯｝的前2n项和为T2n,⅛,,=(3-7⅛z,)n(n+l),求数列｛d｝的最大项.

(1)证明由斯斯+1=*，得知+1。〃+2=2〃+k

两式相除，得誓=;

因为0=1,ava2=｛^]',

所以“2=3，

所以｛t‰τ｝是以0=1为首项，T为公比的等比数列，

储2"｝是以政=£为首项，；为公比的等比数列.

所以b,l=(3-Tιn)n(n+1)=刎，7°.

m∣b,,+ι3(〃+1)(〃+2)2"〃+2

则K=-.3%+l)=H∙

,〃+2

当〃<2时1，为一>1,即5>历=3；

,.H+2fcm9

当〃=2时，a-=1，即岳=①=5；

当n>2时,方丁<1，即bn+∖<bn.

9

故数列｛九｝的最大项是历或历，为了

考点三等比数列的性质及应用师生共研

［例2］(1)(2020•全国I卷)设｛斯｝是等比数列，且。］+。2+〃3=1，。2+〃3+。4=2,则%

+s+α8=()

A.12B.24C.30D.32

(2)(2021•长郡中学检测)已知正项等比数列｛为｝的前n项和为Sn9且S8-2S4=5,则a9+a↑o

+α∣∣+。12的最小值为()

A.25B.20C.15D.10

答案(I)D(2)B

解析(1)设等比数列｛m｝的公比为4，

则行石HrT2，

所以"6+a7+〃8=(〃1+。2+a3)ɑ5=1X25=32.

(2)在正项等比数列｛%｝中，Sn>0,

因为S8-2S4=5,则S8-S4=5+S4,

易知S4,Ss-S4,$2一$8是等比数列，

所以(S8-S∙1)2=S4∙(S∣2-S8),

所以S12-S8=黑③■=胃+54+10221序工+10=20(当且仅当邑=5时取等号)

J40404

因为。9+。1。+。1|+〃12=512—S8，所以〃9+〃1。+〃11+。12的最小值为20.

感悟升华1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若

m+n=p+q,则0/〃=即的"，可以减少运算量，提高解题速度.

2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n

项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破

口.

【训练2】(1)(2021・广州调研)正项等比数列｛斯｝满足.204=1，53=13,则其公比是()

A.1B.IC.ID∙W

(2)设等比数列｛α,,｝的前〃项和为S”若*3,则擀=.

答案(I)C(2)∣

解析(1)设伍〃｝的公比为4，且〃2。4=1，

Λaj=lf易知q>0,ay=∖.

由S3=αι+a2+a3=1+ɪ+^=13-

则12炉一q—1=0,解得q=g.

(2)法一由等比数列的性质知，S3,SLS3,S9—S6仍成等比数列，由已知得S6=3S3,

所以"色=*^,即S9-S6=4S3,S9=7S3,

U匕]、jS97

所以而=予

法二因为｛斯｝为等比数列，由强=3,设S6=3α,S3—a,

ɔʒ

所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列，即α,2a,S9—比成等比数列，所以S9—%=4m

解得S9=70,所以费=券=(

拓展视野/等比数列前〃项和性质的延伸

在等比数列｛如｝中，S.表示｛<⅛｝的前"项和，｛“”｝的公比为(7，

1.当S,≠0时，S,,,s2n-sn,S3”一S2",…成等比数列("6N*).

2.Sn+m^Sn+q"S,n,特别地S2,,=S寸+gS七.

【典例】(I)已知等比数列｛如｝共有2n项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大

80,则公比q=.

(2)已知｛④｝是首项为1的等比数列，S“是｛〃”｝的前“项和，且9S∙3=S6,则数歹《非的前5项

和为.

31

答案(1)2(2)诧

解析⑴由题设，S偶=S奇—80,S2〃=-240.

[S奇+qS奇=-240,JS奇=-80,

•IqS奇=S奇一80,∙∙1g=2.

⑵设等比数列｛〃〃｝的公比夕，易知S3#。

则S6=S3+S3∕=9S3,所以43=8,q=2.

[1]1LQ)’31

所以数列匕]是首项为1,公比为抽等比数列，其前5项和为一kp=⅛

1^2

思维升华1.等比数列前〃项和的性质，体现了整体思想在数列中的应用.

2.在运用性质1时，要注意条件S,WO;在性质2中，回避讨论公比〃=1是否成立，优化

了解题过程.

【训练】已知数列｛小｝是等比数列，S”为其前〃项和，若m+"2+α3=4,a4+a5+a6=S,

则$2=()

A.40B.60C.32D.50

答案B

解析数列S3,S(,-S3,S<)-S(,,S12—S9是等比数列，即数列4,8,S<)-Sb,S12—S9是首项为

4,公比为2的等比数列，

则S9—S6=a7+α8+49=16,

S12—S9=mo+αu+α∣2=32,

又S9=(0+42+α3)+(44+45+46)+(47+(/8+49)=4+8+16=28.

因此02=28+32=60.

课后巩固作业r分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2020・皖北名校联考)设6CR,数列｛斯｝的前〃项和S,=3"+6,则()

A.｛“”｝是等比数列

B｛斯｝是等差数列

C.当6=-1时，｛斯｝是等比数列

D.当6≠-1时，｛斯｝是等比数列

答案C

解析当"=1时，0=S∣=3+/?,

nnln

当n≥2,an=Sπ-Sn-ι=(3+⅛)-(3^+⅛)=2∙3^',

当6=-1时，4=2适合斯=2∙3"-ι,｛斯｝为等比数列.

当b≠-l时，αι不适合<⅛=2∙3"r,｛斯｝不是等比数列.

2.已知等比数列｛斯｝满足α∣=l,的幻5=4(出一1),则动的值为()

9

A.2B.4C.2D.6

答案B

解析根据等比数列的性质得“3"5=届，二曷=4(04—1),即("4—2)2=0,解得“4=2.

又“1=1,a↑aj=al=4,.*.«7=4.

3.(2021・长春检测)数列｛“”｝是等比数列，S.是其前〃项和，an>0,α2+α3=4,6⅛+304-2,

则S3=()

C38

B.12C.yD.13

答案D

解析设等比数列｛狐｝的公比为名

2a↑-9,

a∖q+a∖q=4,解得《1

由题意得

2i

,a∖q+3a↑q-2,ci=y

4.在数列｛%｝中，满足0=2,优=",ιs+ι("22,"∈N*),S“为｛如｝的前"项和，若a6=

64,则S7的值为()

A.126B.256C.255D.254

答案D

解析数列｛斯｝中，满足晶=%—1斯+∣(">2),

则数列｛小｝为等比数列，设其公比为“，

又由“1=2,“6=64,得炉=消=32,则4=2,

,,α∣(l—27)

则rSi=,z88

1—ɔ2=2-2=254.

5.(2021・西安调研)设等比数列｛〃“｝的前〃项和为S“若S6：S3=1：2,则S(J：S3=()

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

答案C

解析..•｛如｝是等比数列，则53,56-53,&>一56成等比数列，由56：53=1：2,令S3=X(XWO),

则Sδ=p∙

V

2

/.(Se-S3)^Sy(S9-S6),则S9-$6=1，

从而59=5+宁=中，故Ss:$3=3:4.

6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英

雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10

倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑完了IoOO米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑

完下一个100米时,乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟领先他1米,……，

所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米

时，乌龟爬行的总距离为()

IO5-I„109山

A∙900求B・一QQ-米

104-9IO4-I

C900米uzD.--米

答案D

乌龟每次爬行的距离构成等比数列且，斯

解析由题意可知,0=100,4=L=0.1.

100-0.1×⅛104-1

...乌龟爬行的总距离为S,=----------j—=F^

,-io

二、填空题

7.若等差数列｛斯｝和等比数列｛d｝满足0="=-1,O1=仇=8,则片=.

答案1

解析｛4.｝为等差数列，“1=—1,44=8=a∣+34=-1+34,.∙.d=3,.∙.<∕2="ι+"=-1+3

22

则-=-

=2.｛b,J为等比数列，b∖——1,b4=8=bιq=—q,∙∙q=-2,22

1.

8.(2021・河南六市联考)已知等比数列｛斯｝的前〃项和为£,若53=7,56=63,则〃]=.

答案1

解析由于S3=7,$6=63知公比q#1,

又S6=S3+93S3,得63=7+743.

∙'∙q3=8,q=2.

3

ɪςa,(l-⅞)αι(l_8),b_

由S'—Lq—]一2一7,a∖-∖.

9.若数列｛斯｝的首项“∣=2,且斯+ι=3α"+2("GN*).令儿=IOg3(<⅛+1),则加+岳+历+…

+。IOO=.

答案5050

解析由α"+ι=3<‰+2("eN"河知α,,+ι+1=3(<⅛+1),

,

所以数列｛%+∣｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以由+l=3",an=y~∖.

所以d=l0g3(斯+1)=",

因此⅛ι+⅛2+⅛3∏------Fbioo=^-2)=5050.

三、解答题

10.(2019•全国Il卷)已知｛&｝是各项均为正数的等比数列,«1=2,43=242+16.

(1)求｛““｝的通项公式；

⑵设仇=Iog2如，求数列｛瓦,｝的前n项和.

解(1)设｛小｝的公比为孙由题设得2q2=4q+16,即q--2q-8=0.

解得g=-2(舍去)或q=4.

nl2,,l

因此｛%｝的通项公式为tzπ=2×4^=2^.

(2)由(1)得与=(2〃-I)IOg22=2”-1,因此数列｛瓦｝的前二项和为1+3+…+(2〃-1)=〃2.

11.(2020・南昌调研)设S“为等差数列｛0,,｝的前，项和，57=49,a2+as=l8.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若S3,67,Sm成等比数列,求S3m.

解(1)设等差数列｛4,｝的公差为d,∙∙∙S“为等差数列｛诙｝的前〃项和,57=49,a2+a8=is,

[Sι=7a=49,(«4=7,

Λ,4盟则d=2.

I42+α8=2α5=18[〃5=9,

.,.α,,=α4+(∏-4)d=2n—I.

,,n(l+2n~1),

n

(2)由(1)知：S∣l-2~-

"

.,S3,a∏,Sn成等比数列,

.".SySn,=θΛi,即9/=332,解得Zn=]].

故S3,,,=S33=332=l089.

B级能力提升

12.数列｛如｝的前〃项和为S.,且3a“+S"=4(〃eN*),设b“=na“,则数列｛儿｝的项的最大

值为()

,81