数学北师大版必修3本册综合测试二

单元综合测试五(本册综合测试二)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某市为抽查控制汽车尾气排放政策的执行情况，拟抽取汽车车牌号的末位数是6的汽车进行检查，这样的抽样方法是(D)A．抽签法B．分层抽样C．随机数法D．系统抽样解析：题中的抽样方法满足系统抽样中“等距抽样”的特点．2．某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生随机编号为1,2,3，…，500，在1～10中随机地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11～20中应抽取的号码是(B)A．14B．13C．12D．11解析：将500名学生的编号分成50组，每组10个号码，已知第一组中抽到的是3号，则第二组中抽到的号码是10＋3＝13.3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(D)A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：本题考查样本的数字特征．A的众数88，B则为88＋2＝90.“各样本都加2”后，平均数显然不同．A的中位数eq\f(86＋86,2)＝86，B的中位数eq\f(88＋88,2)＝88，而由标准差公式s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])知D正确．4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(A)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)解析：从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).5．已知数据x1，x2，x3，…，xn分别是江西省普通职工n(n≥3，n∈N＋)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则针对这n＋1个数据，下列说法正确的是(B)A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：由于世界首富的年收入xn＋1较大，故平均数一定会增大，差距会拉大，因此方差也会变大，中位数不一定发生变化，故选B.6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析：本题考查了古典概型，对立事件的概率．以五位大学生选三人共有10种等可能选法，甲或乙被录用的对立事件是丙、丁、戊被录用只有一种等可能情况，所以P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).7．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(C)A．25B．30C．31D．61解析：本题考查程序语句问题．此算法语句的作用实际上是求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5xx≤50,25＋0.6x－50x>50))，所以x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.选C.8．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表：血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835已知相同血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，则“任找一个人，其血可以输给小明”的概率和“任找一个人，其血不能输给小明”的概率分别为(A)A．0.64,0.36 B．0.36,0.64C．0.57,0.43 D．0.43,0.57解析：任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A，B，C，D，则它们是互斥的．由已知，有P(A)＝0.28，P(B)＝0.29，P(C)＝0.08，P(D)＝0.35.因为B，O型血的人可以给B型血的人输血，故任找一个人，其血可以输给小明为事件B＋D，根据概率的加法公式，得P(B＋D)＝P(B)＋P(D)＝0.29＋0.35＝0.64.故任找一个人，其血不能输给小明的概率为1－0.64＝0.36.故选A.9．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小可忽略不计)正好落入孔中的概率是(D)A.eq\f(9π,4) B.eq\f(9,4π)C.eq\f(4π,9) D.eq\f(4,9π)解析：用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，则由几何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(正方形的面积,圆的面积)＝eq\f(12,\f(3,2)2π)＝eq\f(4,9π).10．执行如图所示的算法框图，任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1)，则能输出数对(x，y)的概率为(B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：依题意，易得不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))表示的平面区域的面积等于1，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,y≤x))表示的平面区域的面积等于eq\f(1,2)，因此所求的概率等于eq\f(1,2)，故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．当x＝5时，运行下列程序的结果是y＝4.解析：该程序的功能是求分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x<1，,x－1，x≥1))的函数值，当x＝5时，y＝5－1＝4.12．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．往正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为eq\f(8,3).解析：正方形的面积为S＝22＝4，设阴影区域的面积为S1，则由几何概型可知，豆子落在阴影区域内的概率为P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(S1,4)＝eq\f(2,3)，故阴影区域的面积S1＝eq\f(8,3).13．执行上面的算法框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3.解析：x＝1时，n＝0，x＝2时，n＝1，x＝3时，n＝2，x＝4时，n＝3.终止循环∴n＝3.对于简单的循环结构框图，逐一检验即可．14．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21,22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为eq\f(14,25).解析：由1,2,3,4,5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为eq\f(14,25).15．如图所示，在△AOB中，已知∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为0.4.解析：试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况：第一种∠ACO为钝角，这种情况的边界是∠ACO＝90°的时候，此时OC＝1.∴这种情况下，满足要求的0<OC<1.第二种∠OAC为钝角，这种情况的边界是∠OAC＝90°的时候，此时OC＝4.∴这种情况下，满足要求的4<OC<5.综合两种情况，若△AOC为钝角三角形，则0<OC<1或4<OC<5.故△AOC为钝角三角形的概率P＝eq\f(2,5)＝0.4.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)给出如下一个算法：1．输入x；2．若x<0，则y＝x＋1；否则执行下一步；3．若x＝0，则y＝0；否则y＝x－1；4．输出y.(1)指出该算法的功能；(2)将该算法用框图表示出来；(3)用基本语句描述该算法．解：(1)该算法的功能是输入x的值，求函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0,0，x＝0,x－1，x>0))的函数值．(2)略(3)用语句描述为17．(本小题满分12分)学校举行班级篮球赛，根据某名运动员每场比赛的得分绘制的茎叶图如图所示.(1)求该运动员得分的中位数和平均数；(2)估计该运动员在一场篮球赛中得分超过10分的概率．解：(1)由题易得中位数为10，平均数为eq\f(1,10)×(3＋5＋7＋8＋10＋10＋10＋11＋12＋14)＝9.(2)该运动员每场得分超过10分的频率为eq\f(3,10)＝0.3，由此可估计该运动员在一场篮球赛中得分超过10分的概率为0.3.18．(本小题满分12分)为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同一年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率．(2)问参加这次跳绳测试的学生人数n是多少？(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？解：(1)第四小组的频率＝1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.(2)n＝第一小组的频数÷第一小组的频率＝5÷0.1＝50.(3)因为0.1×50＝5,0.3×50＝15,0.4×50＝20,0.2×50＝10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5,15,20,10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)为样本平均值．解：(1)由题意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2.又lxx＝eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80，lxy＝eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24.由此得b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．20．(本小题满分13分)为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图(1)(2)所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？(2)请计算本项调查中喜欢立定跳远的学生人数和所占的百分比，并将两个统计图补充完整；(3)若调查到喜欢跳绳的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，求刚好抽到同性别学生的概率．解：(1)根据题意可得共调查了15÷10%＝150(名)学生．(2)本项调查中喜欢立定跳远的学生人数是150－15－60－30＝45，所占的百分比是eq\f(45,150)×100%＝30%.补全的统计图如图2所示．(3)用A1，A2，A3表示3名男生，B1，B2表示2名女生，则从这5名学生中任意抽取2名学生，所有的基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个．其中刚好抽到同性别学生包含的基本事件有4个，所以刚好抽到同性别学生的概率是eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).21．(本小题满分14分)某算法的算法框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按算法框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对算法框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数301461