新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023届高三三模数学（文）试题（含答案与解析）

乌鲁木齐地区2023年高三年级第三次质量监测

数学（文科）

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合A={T0,L2},β=Wχ2-^°

，则AcB的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

2.已知复数z=l—i（i是虚数单位），则』=（）

z+i

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

l,x>0

3.定义符号函数sg∏Λ=∣O,x=O,则方程fSgnX=5x-6的解是（）

-l,x<0

A.2或一6B.3或-6C2或3D.2或3或一6

4.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12

行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，日：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅

兹中国为“中国”一词最早的文字记载."何尊'’可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深

度约为30cm,上口的内径约为2（）cm,圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm,贝IJ“何尊”的容积大

约为（）

B.6000cm,C.6500cm,D.7000cm3

已知等差数列｛｝的前〃项和为，且%则为即是｛中的（）

5.qs“=5,al+S11=67,α,J

A第45项B.第50项C.第55项D.第60项

若CoS(S-a|ɪ|,则COS(^∙+2ɑ)=()

6.

_247C724

A.B.-----C.—D.—

^25252525

7.从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）

8.已知直线/：x+2y-4=0与X轴和），轴分别交于A,B两点，点尸在以点4为圆心，2为半径圆上，

当—ABP最大时，ZXAPB的面积为（）

A.2B.√5C.4D.2√5

9.已知四棱柱ABCD-A耳CR的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，。为AC的中点，若点O

4

到平面AAA的距离为则直线。2与直线BG所成角的余弦值为（）

ʌ3√ior2√2c√iθn1

103103

22

10.“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线C1:ʃ=-2PX（P>0）和C2:ʃ=2px[p>0）构造了

一个类似“米”字型图案，如图所示，若抛物线G，的焦点分别为K，K,点P在抛物线G上，过点

P作X轴的平行线交抛物线G于点。，若P£=3PQ=6,则P=（)

11.设α=Sin—,则()

2

a2eι2

A2<a<log1aBlogla<2<a

22

2

Qa<logla<2"Dlog]。<片V2"

22

12.已知函数/(x)的定义域为R,且满足/(1)=9，对任意实数χ,w都有

/U+9)=1']/(内)+偌[/H),若见

=/(〃)，则｛4,｝中的最大项为()

A.成B.a10C.。8和%D.。9和。10

第∏卷(非选择题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.如图，平行四边形ABe。的对角线相交于点。，E，F分别为AB，OC的中点，若

EF=XAB+γAD(x,y∈R).贝IJ尤+N=_____.

£)____________nC

AEB

14.已知函数/(x)=ASin(血+8)(A>0,<y>0,]。|<5I的部分图象如图所示，若将函数/(X)图象上所

有的点向右平/个单位长度得到函数g⑴的图象，则g[]J的值为______.

Jh⅜

Λ∣⅛V5

2

15.已知双曲线C：H_一y2=ι的左右焦点分别为尸

F2,过工的直线交双曲线C的右支于4,B两点,

4

若，ABFl的周长为20,则线段AB的长为_____.

86c

'6∙已知正实数人满足3"一标厂直1一3〃’则2a+3^+4的最小值是_____.

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

17.在JIBC中，角A,B,C的对边分别为α,b,C,S,2>∕2a2cosB-c2^2abcosC+a2-b2-

(1)求NB大小；

(2)若-ABC为锐角三角形，且α=2,求,ABC面积的取值范围.

18.某企业生产经营的某种产品的广告费支出X与销售额y之间有如下对应数据：

X(万元)24568

),(万元)3040605070

(1)求X与y的相关系数(精确到0.01)；

(2)当广告费支出每增加1万元时，求销售额平均增加多少万元.

∑ɑ,-χ)(x-y)

附：相关系数r=-ηΓ',,=

χ22

J∑(i-^∑(yi-y)

Vr=l1=1

∑(Λ-W,-5y)

回归方程的最小二乘估计公式为6=且F-----------,a=y-bx,√2≈1.414∙

f=l

19.在JIBC中，NAcS=45°,BC=3,过点A作AolBC,交线段BC于点。(如图1),沿AO将

折起，使∕BZ)C=90°(如图2)点、E,M分别为棱BC,AC的中点.

(2)求三棱锥A-Be。的体积最大值.

20.已知椭圆C:』+W=I(4>0>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为巧.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(-2,l)的直线与椭圆C交于不同的两点D,E,点。在第二象限，直线ARAE分别与X轴交

于M,N,求四边形DMEN面积的最大值.

21.已知函数/(x)=e*(l+alnx),f(x)为/⑴的导函数，且/'(x)≥3e”恒成立.

(1)求实数”的取值范围；

(2)函数F(X)的零点为/，/'(X)的极值点为巧，证明：%>W∙

选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.作答时用25铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

x,=2x

22.在平面直角坐标系Xoy中，曲线C：/+y2=1所对应的图形经过伸缩变换得到图形C'.

y'=>βy

(1)写出曲线C'的平面直角坐标方程；

(2)点P在曲线C'上，求点P到直线/：7ir+y-6=0的距离的最小值及此时点P的坐标.

23.已知/(x)=∣2x+l∣,不等式/(x)<3x解集为

(1)求集合〃；

不等式/(x)+］为≥"α恒成立,

(2)χeM求正实数。的最小值.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合4={一1，°，1，2},'={小一"刈，则ACB的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8,可求得集合ACJB,确定集合ACB的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结

果.

【详解】因为B=./.χ<o}={Ho<χ<ι},所以，ACB={l,0},

则集合ACB的元素个数为2,因此，AcB的子集个数为22=4.

故选：B.

2.已知复数z=l—i(i是虚数单位)，则上L=()

z+i

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为Z=I—i，所以Z=I+i，

5i5i5i5i(l-2i)5i-IOi2C.

所以:—=--------=------=--------------=-----------2+1

z+i(l+i)+il+2i(l+2i)(l-2i)5

故选:A

l,x>0

3.定义符号函数SgnX=<0,x=O,贝历程dSgnX=5x—6的解是()

—1,ɪ<0

A.2或-6B.3或-6C.2或3D.2或3或一6

【答案】D

【解析】

【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答.

【详解】依题意，当x>0时，方程χ2SgnX=5x-6为：χ2=5x-6>解得x=2或x=3,因此x=2或

x=3,

当X=O时，方程χ2sgn%=5x-6为：0=5x-6.解得x=∙∣,于是无解，

当x<0时，方程/SgnX=5x-6为：-χ2=5x-6>解得X=-6或X=1,因此X=-6,

所以方程dSgrLr=5x-6的解是χ=2或χ=3或X=-6.

故选：D

4.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”(尊为古代的酒器，用青铜制成)，尊内底铸有12

行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，日：‘余其宅兹中国，自之辟民'”，其中宅

兹中国为，，中国，，一词最早的文字记载.”何尊，，可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深

度约为30cm,上口的内径约为20cm,圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm,贝IJ“何尊”的容积大

约为()

A.5500cm3B.60∞cm3C.6500cm3D.7000cm3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.

【详解】由题意可知圆台的高为30—20=10(Cm),

故组合体的体积大约为兀x82χ20+;兀χ(82+8xlθ+l()2)χlθ=臂羽^6573(cm3),

故选：C

5.己知等差数列｛叫的前〃项和为S,,,且为=5,q+S"=67,则%即是｛可｝中的()

A.第45项B.第50项C.第55项D.第60项

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列的性质与通项公式求得卬和公差d后得通项公式，再计算即可得.

【详解】｛%｝是等差数列，则q+S∣]=α∣+114=67=124+55d=67,又%=q+4d=5,

CT1=1

联立可解得｛,an=n,

a=1

α5α11=5×11=55=a55,是第55项.

24

D.

25

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式及诱导公式计算求解即可.

【详解】因为COSl∙∣-2α)=cos2/一0

LL(5π._71/、iI7L.7

所以COS[彳+2。=cos∣r2π-(——2a)]=cos——2a

25

故选：B

7.从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为()

,13，2D1

A.-B.—C

510-52

【答案】B

【解析】

【分析】求出从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成

一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.

【详解】从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有C：=10种取法，

而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3种,

3

故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=二，

IO

故选：B

8.已知直线/：x+2y-4=0与X轴和y轴分别交于A,B两点，点尸在以点A为圆心，2为半径的圆上，

当NTI5P最大时，ZWB的面积为()

A.2B.√5C.4D.2√5

【答案】C

【解析】

【分析】作图分析，可知当NAfiP最大时，直线PB为圆的切线，由此求得IBP根据三角形面积公式,

可得答案.

【详解】如图示，A(4,0),B(0,2),点尸在以点A为圆心，2为半径的圆上，

IAPI=2,∣AB∣=2√5,

当NAB尸最大时，直线P3为圆的切线，则APJ_族,

此时IBPI=y∣∖AB∖1-∣ΛP∣2=√20-4=4,

故ZWB的面积为‘X2x4=4,

2

故选：C

9.已知四棱柱A8CD-A4G。的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，。为AC的中点，若点O

4

到平面AMA的距离为则直线OA与直线BG所成角的余弦值为()

A3√io2√2√ioɪ

rrD.

103103

【答案】A

【解析】

【分析】运用等体积法求出长方体侧棱的长度，再根据直线与平面夹角的定义构造三角形求解.

【详解】依题意如下图：

Qfi1Bl底面ABC£>,AoU平面ABCZλ,又正方形ABCQ中，AOlBD,

BDB∣B=B,BDu平面6。Ag,BIBU平面BORg,.∙,AO，平面，

:.AO是三棱锥A-OB∣O∣的高，A0=(AC=√5；

设侧棱BIB=X,则ABl=AOl=√4+√,BlDl=2√2，

AB；+ADj-BR2(4+08/

在,∙A8Q∣中，由余弦定理得：CosZfiAD=

11(2

2-ABiADi24+f)4+x

2

■：NB]AD】∈(0,π),.^.sinZB1AD1≈Jl-cosZB,AD,=坐+土

11y''4+x2

2

ΔB1AD1的面积S4哂=gAg∙ADtsinZfilADi=√4+2x,由于。点到平面A4口的距离是:，

144/--------

■-三棱锥。—A4A的体积Vor杷=3X3XS如DI=§。4+2-；

2OB；+OD；-B]D；，一2

OBi=ODt=Λ∕2+X,cosNBQD]=

2OBι∙ODiX2+2

2

∙.∙ZB1OD1∈(0,π),ΛsinZB1OD1=7l-CosZBlOD1=

OBR的面积SoIW=gOB∣∙OD∣sinZB1OD1=√2x,三棱锥A-OB1D1的体积

12

v

A-OBlDl=§AO∙S谢=-X,

=,

Kι-oBlo∣K>-AS∣C⅛%§，4+2x,X=4.

BCx//故NAAo即为直线OA与直线BG所成角,

ODl,（匈+4?_3M,

在RtAOD中,

｝cosZADO

l拓—√4+42^

故选：A.

22

10.“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线Cl:j=-2px(p>0)和c2-.y=2px(p>0)构造了

一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线G，。2的焦点分别为6，入，点尸在抛物线G上，过点

P作X轴的平行线交抛物线G于点Q，若PG=3PQ=6,则P=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出P即可.

【详解】因为3PQ=6,即PQ=2,由抛物线的对称性知XP=-1,

由抛物线定义可知，ImH-Xp,即6=勺(—1),解得P=I0,

故选：D

11.设。=sin*,则（）

2

22

A2“<a<log1aBlog1a<2“<a

22

a2a

Qcr<logla<2Dlog↑a<a<2

22

【答案】C

【解析】

【分析】由手<[<当得,<sin3<受，再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.

426222

【详解】由里<*<",且V=Sinx在(手,乎]内单调递减,

426<46J

5π53πHl√2

则sin——<sɪn—<sɪn——，即rI一<α<——，

62422

Lɪ12ɪɪ11

所以2">2i=JΣ>rZ<“一<5，9=0gιʒ-,ζ0gιa<0gι7=1

所以∕<iog∣α<2",

2

故选：C

12.已知函数/(x)的定义域为R,且满足/(1)=9,对任意实数不々都有

,9、巧

/(Λ1+X2)=J-/(X1)+Γ∕(Λ).若4,=/(〃)，则｛4｝中的最大项为()

√2

A.。9B.cιwC.%和的D.%和40

【答案】D

【解析】

10/2

【分析】方法一：由条件变形为〃%+/)=(¥)/(%)+

/(x2),采用赋值法令

w+1

10推出数列｛学&｝是首项为公差为的

x-n.x可得I/(n)+10.10,10

x2=1I/(«+ɪ)=

等差数列，求得4“=/(〃)=10〃X(W

,判断其单调性，即可求得答案.

√

、*2

[详解]方法一：由题意/(x∣+z)=L9/(%)+[^⅛J/(⅞)t

107

8+均ɪɪ

1010

可得4f)+得J/(%)'

M+1

10(mY

令王=〃,％2=1,而/(1)=9,得/(n+l)=l-I/(n)+10>

n+l«+1

/(π+1)-[y/(π)=10t即∏获o10

吧I4+1α,,=10

79

(IOY

即数列4』是首项为—a.=—×9=10,公差为10的等差数歹

9√9

OY

所以/(n)=10n,则4=Fe)=IOrX一，

10,

(9

则凡M=10(n+l)×l—,,

Γ-×≡(9-嘱)

当〃≤8时，«„+1>«„：当"=9时，an+l=an；当〃>10时，all+l<an,

所以｛4｝中最大项为与和0ιo，

故选：D.

方法二：

由/(X+无2)=(而)"％)+(历)/(々)，

得偿「/(…)=停。UH管〃⑻,

设g(x)=得。㈤，

2J

则g(Xi+X2)=g(M)+g(X2)，故可设g(x)="，由g⑴=E"l)=10=%，

得g(")=10",所以(与/(“)=10",则%=/(〃)=10〃X(K)，

a.9/1+9

所以3n+=F^，因为9n+9—10〃=9—〃，

an10/1

所以当"≤8时，一*>1,α,>a.

4l+ln

当〃=9时，智=1，%+∣=all;当〃NlO时，*<1,all+i<an,

所以｛4｝中的最大项为每和40，故选：D.

【点睛】关键点点睛：

方法一：构造等差数列，利用等差数列的通项公式以及数列的单调性判断，即可求出｛4｝中的最大项；

方法二：熟悉相关二级结论，即可知晓抽象函数的原型，根据具体函数的性质以及数列的单调性判断求出.若

/(x)=Ax,则对任意实数X],A2有/(玉+%)=/(玉)+/(/)；若/(X)=依+。，则对任意实数4，

々有/(玉+赴)=/(玉)+/(W)-8；若/(X)=代优(α>0,a≠l),则对任意实数X],4有

x2r,

/(∙η+x2)=af(xl)+af(x2).

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.如图，平行四边形ABCQ的对角线相交于点。，E，产分别为AB，Oe的中点，若

EF=XAB+yAD^x,ʃ∈R),则尤+V=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算的求得.

1313/\13

【详解】EF=EA+AF=一一AB+-AC=一一AB+-(AB+AD]=-AB+-AD,

2424、>44

13.

∙∙χ=-7,y=-7,∙∙χ+y=ι1,

44

故答案为：1

14.已知函数/(X)=ASin(8+S)A>0,3>0,|9|<曰的部分图象如图所示，若将函数/食)图象上所

【答案】—⅛⅛⅛

22

【解析】

【分析】由函数图象求得参数A。,。，可得/(χ)的解析式，根据图象的平移变换即得g(χ)的解析式，即可

求得答案.

35兀7r3Ti271

【详解】由/(X)的图象可知A=1,一7=---------=—,.∙.T=π,.∙.ω=-=2,

46124π

TTTr

故/(X)=sin(2x+°),则/(一)=sin(-+0)=1,

126

则—∖-φ——F2kιt,k∈Z,即φ——F2kτι,k∈Z,

623

而∣9∣<g,故。=四，所以/(x)=sin(2x+'),

233

'JiJTJi

则g(x)=sin[2(x」)+勺=sin(2x」)，

436

故g∕0=sin(2x工-')=走，

⑷462

故答案为：也

2

2

15.已知双曲线Cr:土—V=ι的左右焦点分别为片，入，过亮的直线交双曲线C的右支于A,B两点,

若的周长为则线段AB的长为.

iAβFl20,

【答案】6

【解析】

【分析】利用双曲线的定义，即可求解.

2

【详解】C:工-y2=ι,∕=4万=1,¢2=4+1=5,

4

易得双曲线的实轴长2a=4,焦距2c=2√5∙

因为AB都在右支上,则IMI=IM∣+4,∣即I=忸闾+4,

ABFi的周长I阴+∣*∣+∣班I=IABI+1明|+|叫∣+8=2∣AB∣+8=2O,

IABI=6.

故答案为：6

ʒ86ɔ

16.已知正实数”，〃满足43-~==-30,则2+38+4的最小值是____.

g7+r1)rvh+1

【答案】4√3+l**l+4√3

【解析】

2

【分析】根据等式特征可通过构造函数/(x)=d+3x,x>0,利用函数单调性可得α=0y,再根据基

本不等式即可求得2α+38+4的最小值是4√3+l∙

【详解】由题意可得将等式变形成［?一］+3x(心一］=∕+34,

2

又因为。力都是正数，所以。>0,——>0,

Z?+l

可构造函数/'(x)=d+3x,x>0,则r(x)=3x2+3>0,

所以函数/(x)=d+3x在区间(0,+∞)上增函数，

、3

2222

由+3×知山)=勺"，所以"订T

3Ub+1

4414r-

则24+3b+4=^~-+3⅛+4=-^-ι-+3(⅛+l)+l≥2J-^-j-∙3(⅛+l)+l=4√3+l

当且仅当α=?一,/-=3优+1）,即α=百力=2叵-1取等号，

h+↑b+∖''3

因此2α+3A+4的最小值是4出+1.

故答案为：4√3+l

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

17.在.ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c，且2jΣ∕cosB-c∙2=2。氏OSC+"一尸.

（1）求NB大小；

（2）若ABC为锐角三角形，且α=2,求一ABC面积的取值范围.

【答案】（1）ɪ

4

（2）（1,2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可得J^aCoSB=bcosC+CCOSB，再由正弦定理得

√2sinACoSB=sinA，结合三角形内角性质求角的大小可得答案；

(2)应用正弦边角关系及三角形面积公式可得S.c=」二+1再由A的范围可得答案.

tanA

【小问1详解】

由余弦定理得2夜屋cosB=2aAcosC+2accosB，即∖∣2acosB=OCOSC+ccosB，

再由正弦定理得及SiIlAcosβ=sinBcosC+sinCcosB，・・・V2sinAcosB=sinA，

*∙*sinA≠0,∙*∙cosB=,又5∈((),兀),.φ.B=—；

【小问2详解】

π

ac2Csι•n24+

由正弦定理得苟二画许即CI4√2G+^-γ

sinAVtanA)

1√21

而S公ABC—acsinB=—C=1+

22tanA

由上ABC为锐角三角形，.∙∙A+]>5且0<A<5,则1<A<5,

•••"高€(1孙即S-W(1,2)∙

18.某企业生产经营的某种产品的广告费支出X与销售额y之间有如下对应数据:

工(万元)24568

y(万元)3040605070

(1)求X与y的相关系数(精确到0.01)；

(2)当广告费支出每增加1万元时，求销售额平均增加多少万元.

∑(χi-χ×yi-y)

i=l

附：相关系数「=

2,2

⅛⅛∙-ɪ)∑(>i-y)

»=1/=I

f(%-元)(y-少)

回归方程的最小二乘估计公式为坂=J--------------,a=y-bx;√2≈1.414.

f(士-君2

Z=I

【答案】(1)r≈0∙92;

(2)6.5万元.

【解析】

【分析】(1)根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可.

(2)根据(1)及题中数据，代入最小二乘法公式计算出线性回归方程，根据函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

IUKn蛇用R-2+4+5+6+8U-30+40+60+50+70口、

由题目数据得X=-----------------=5,y=--------------------------=50,

5

ɪ;(ɪʃ-x)(χ.-y)=(2-5)×(30-50)+(4-5)×(40-50)+(5-5)×(60-50)

/=1

÷(6-5)×(50-50)÷(8-5)×(70-50)=130,

j∑U-)2∑(χ→)2

2222222

=s∣[(2-5)+(4-5)+(5-5)+(6-5)+(8-5)][2×(30-50)+2×(40-50)]=100垃,所以

13

θ≈0.92i

100√2

【小问2详解】

55

由⑴知，Z(Xi-君(％-9)=130,∑(x,.-x)2=20,

Z=I/=1

»130

所以b=^—=6.5,α=5O-6.5×5=17.5,所以亍=6.5x+17.5,

所以广告费支出每增加1万元时，销售平均增加6.5万元.

19.在一ABC中，ZACB=45°,BC=3,过点A作ADlBC,交线段BC于点。(如图1),沿4。将

△A8D折起，使28DC=90°(如图2)点E,M分别为棱BC,AC的中点.

(2)求三棱锥A-BC。的体积最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵T

【解析】

【分析】(1)利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直及平行关系证明线线垂直；

(2)通过线面垂直找到三棱锥的高，建立锥体体积函数，利用导数法求最值即可.

【小问1详解】

在，ABC中，M,E分别为AC,8C的中点，则ME〃A3，

折叠前AOIBC则折叠后ADLCD,又NBoC=90。即COLBD,且AoCBo=

又ADU平面AOB,Br)U平面所以COL平面AD8,

又ABu平面AOB,所以CD_LA3,而ME〃AB，所以CDLAfE;

【小问2详解】

设5。=X(O<x<3),则O)=3-x,

因为AO_LC£>,AD上BD，且CDlBD=D,

又QDU平面BOC,BDU平面BoC,所以ADj_平面8。0

所以AC为三棱锥A—的高，

在AWC中，NACo=45°,NAZ>C=90°,所以A。=C0=3-x,

111,

所以匕=4x-x(3-X)7=ZX(3-x)2(0<x<3)，

326

则V，=—(3—x)(l—x),令V'=0解得χ=l或χ=3(舍去)，

2

令V'>0解得O<x<l,令V'<O解得l<x<3,

所以匕.BS=LX(3—XT在(0,D上单调递增，在(L3)上单调递减，

6

故当尤=1即当BD=I,CD=2时，匕McQ取最大值，

12

此时ZaX=WX1X(3—IK=£•

63

20.已知椭圆C:0+/=1(.>8>0)的一个顶点为4(0,1),离心率为乎.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(-2,l)的直线与椭圆C交于不同的两点。,七，点。在第二象限，直线AO,AE分别与X轴交

于M,N,求四边形DMEN面积的最大值.

【答案】(1)土+>2=1

4

(2)4

【解析】

【分析】⑴根据已知条件结合己=从+可求得。也即得答案；

(2)设直线直线Z)E的方程并联立椭圆方程，设。(玉,y),E(x2,y2),可得根与系数的关系式，利用

SzWaV=g%f∣χ(y-%)，代入化简，并结合基本不等式，即可求得答案•

【小问1详解】

由已知6=1,£=结合0?=人2+《2,”=2,。=1,

a2

2

故椭圆方程为二+J/=］：

4-

【小问2详解】

由过点P(-2,l)的直线与椭圆C交于不同的两点D,E,

可知直线DE的斜率一定存在，

设直线DE的方程为y—l=k(χ+2),k<0,

y=kx+2k+l/,

联立方程组《工,,可得(1+4&2)χ2+8%(2k+DX+16公+16&=0,

X+4/-4=0、7

需满足Δ>O>

设D(x∣,y),x∣<0,y>0,E(x2,y2),y2<yl,yi=kxi+2k+↑,y2=kx2+2k+i,

-8Z(2Z+1)16⅛(⅛+1)

%+x2

1+4女2l+4Zr2

又加√y=山■—x+l,∙∙∙x(w=∙^一，直线AE交X轴于点N,同理Z=L-

玉I-X1一〉2

故SDMEN=IkN-∙⅞I*(x一七)=7--rɪ×(yl-y2)

22l-y2I-J1

百XMX一X,)=(X|+X2)--W

1X2

一「12

2—kx?—2kkx2kxlx2+2(x1+x2)+4

222

16Z:(2Z:+1)-16k(k+1)(4^+1)_]6ι6j6

==4ΓJ=≤2√4

当且仅当一4Z=1-J]即女=—；时，等号成立，

此时A=32>0,符合题意，

故四边形DMEN面积的最大值为4.

【点睛】方法点睛：解决四边形。Λ但N面积的最大值问题，要求得四边形面积的表达式，因此作图分

XWXM

析，利用直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，从而可得SfWEN=；|4一,∣(-%)，

将根与系数的关系式代入化简，再结合基本不等式，解决问题.

21.已知函数/(x)=e'(l+αlnx),/(x)为/*)的导函数，且/'(x)≥3e*恒成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)函数F(X)的零点为x∣,f(x)的极值点为巧，证明：%>W∙

【答案】(1)a≥2

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，从而依据导数构造函数，利用导

数判断单调性，求最值，求解即可；

(2)由f(χ)的零点为可得玉=e-，由/'(X)的极值点为4，设〃(x)=∕'(x),进而求出

^u)ɪeʌ[l+alnx+---⅛L令e(x)=l+αlnx+网一判断其单调性，结合零点存在定理推

VXXJX

(JLT-I、

出存在/ee",e",使。(毛)=0,即可证明结论.

\/

【小问1详解】

由题意/(%)=6*(1+<7111%),*>0),∕,(x)=e'fl+αlnx+-,

Ix)

,//'(X)≥3e*恒成立，,1+。111%+023恒成立，

X

即4X+工)-2NO,令g(x)=InX+工,(x>0),

则g(x)=jɪ,当χ>l时，g'(x)>0,当0<x<l时，g'(x)<(),

.∙.g(χ)在(0,1)上为减函数，在(l,+∞)上为增函数，

故g(x)>g(l)=1,

1一(2)

∙,.0<--≤1.故由α∙g(x)≥2恒成立，得α≥--=2.

g(χ)Ig(X)K

【小问2详解】

证明：由/(χ)=0,得l+αlnx=0,解得方=屋】即为=一，

令h(x)=∕,(x)=e'fl+alnx+-j,(x>O),则〃'(九)=e*(l+αlnx+生一0)，

∖XJkXXJ

令O(X)=I+αlnx+即--R,则。，(幻二乌一军+即=〃(尤二2.+2)=仇(七I)-J~1］〉。,

XX√γV√丫v2√丫v3√V3√v3

故g(x)在(0,+8)上为增函数.

、

(a∖9〃2eT

φg=φe。=1+(-1)+=一厂=