高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步单元测试2

(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)eq\a\vs4\al(1.)(2014·北京高一检测)圆锥的侧面展开图是()A．三角形 B．正方形C．圆 D．扇形解析：选D.圆锥的侧面展开图是扇形．eq\a\vs4\al(2.)一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()A．①② B．②③C．①③ D．①②解析：选B.从所给的几何体的主视图，左视图可知其俯视图不可能是正方形和圆．eq\a\vs4\al(3.)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.过l的平面γ交α于直线m，则l∥m.因为l⊥β，则m⊥β.又mα，所以α⊥β.eq\a\vs4\al(4.)已知正方体外接球的体积是eq\f(32,3)π，那么正方体的棱长等于()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析：选D.由V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2.设正方体的棱长为a，则3a2＝(2R)2＝16.∴a2＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3).5．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3eq\r(3)，则a＝()A．2eq\r(3) B.eq\r(6)C.eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：选C.该几何体是一个横着放的三棱柱，由已知的数据可得eq\f(1,2)a×2×3＝3eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).eq\a\vs4\al(6.)(2014·潍坊高一检测)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的()A.eq\f(3,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：选A.设球的半径为R，截面圆的半径为r，则r＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，S截面＝πr2＝eq\f(3,4)πR2，S球＝4πR2，eq\f(S截面,S球)＝eq\f(3,16).eq\a\vs4\al(7.)已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()A．2π B.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)π D．3π解析：选C.由三视图知，此几何体下部为圆柱，上部为半球，且圆柱底面半径均为1，圆柱高为1，所以这个几何体的体积为V＝π·12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π·13＝eq\f(5,3)π.eq\a\vs4\al(8.)正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C.由棱锥体积公式可得底面边长为2eq\r(3)，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tanθ＝eq\r(3)，所以二面角为60°，选C.eq\a\vs4\al(9.)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.eq\f(8,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选C.利用三棱锥A1­AB1D1的体积变换：VA1­AB1D1＝VA­A1B1D1，则eq\f(1,3)×6×h＝eq\f(1,3)×2×4，h＝eq\f(4,3).eq\a\vs4\al(10.)(2014·潍坊高一检测)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D.由题意，若a∥l，则利用线面平行的判定，可知a∥α，a∥β，从而a在α，β内的射影直线b和c平行；若a∩l＝A，则a在α，β内的射影直线b和c相交于点A；若a∩α＝A，a∩β＝B，且直线a和l垂直，则a在α，β内的射影直线b和c相交；否则直线b和c异面．综上所述，b和c的位置关系是相交、平行或异面，选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)eq\a\vs4\al(11.)(2014·北京高一检测)已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．解析：四面体每个面的面积为S′＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，故四面体的四个面面积之和即为表面积S＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)eq\a\vs4\al(12.)(2014·北京高一检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，V＝Sh＝[eq\f(1,2)×(2＋4)×2]×6＝36.答案：36eq\a\vs4\al(13.)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)．解析：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，所以BC⊥AC.因为PA垂直于⊙O所在的平面，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，所以AF⊥BC.又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.答案：AFeq\a\vs4\al(14.)已知三棱锥P­ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为________．解析：因为PA，PB，PC两两相互垂直，所以VP­ABC＝VA­PBC.设S△APB＝S1，S△APC＝S2，S△PBC＝S3，因为eq\f(1,2)AP·PB＝S1，eq\f(1,2)AP·PC＝S2，eq\f(1,2)PB·PC＝S3，所以eq\f(1,4)AP2·PB·PC＝S1S2，所以AP2＝eq\f(2S1S2,S3)，所以AP＝eq\r(\f(2S1S2,S3))，所以VA­PBC＝eq\f(1,3)AP·S△PBC＝eq\f(1,3)eq\r(\f(2S1S2,S3))·S3＝eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3).答案：eq\f(1,3)eq\r(2S1S2S3)15．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，则二面角A­CD­B的余弦值为________．解析：取AC的中点E，取CD的中点F(图略)，则EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，结合图形知二面角A­CD­B的余弦值cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)eq\a\vs4\al(16.)(本小题满分10分)(2014·瑞安高一检测)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高h′＝eq\r(（2－1）2＋32)＝eq\r(10)，S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(10)＝20＋12eq\r(10)，所以几何体的表面积为20＋12eq\r(10).体积V＝eq\f(1,3)(42＋22＋2×4)×3＝28.eq\a\vs4\al(17.)(本小题满分10分)如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又∵B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.eq\a\vs4\al(18.)(本小题满分10分)(2014·呼和浩特高一检测)已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1的上底面、下底面周长分别为8和16，高为eq\r(3).(1)求上、下底面面积；(2)求斜高及侧面积；(3)求表面积．解：设上底边长为a，下底边长为b，斜高为h′.(1)因为4a＝8，所以a＝2，所以S上＝a2＝4.因为4b＝16，所以b＝4，所以S下＝b2＝16.故上、下底面面积分别为4、16.(2)由于上、下底边心距eq\f(a,2)、eq\f(b,2)的差，高h，斜高h′构成一个直角三角形，如图．所以h′＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3＋1)＝2，即斜高为2.所以侧面积为4×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝24.(3)该几何体的表面积为侧面积与上、下底面面积之和，所以表面积为4＋16＋24＝44.eq\a\vs4\al(19.)(本小题满分12分)(2014·周口店高一检测)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解：(1)证明：连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO∥SA.因为PO平面PCD，SA平面PCD，所以SA∥平面PCD.(2)因为PO∥SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．因为AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB.因为PO平面SOB，所以OD⊥PO.在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,2)SB＝eq\r(2)，所以tan∠DPO＝eq\f(OD,OP)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以异面直线SA与PD所成角的正切值为eq\r(2).eq\a\vs4\al(20.)(本小题满分13分)(2014·无锡高一检测)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C；(3)求三棱锥B1­EFC的体积．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B.因为EF∥D1B，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1.(2)证明：因为B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB，BC1平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又BD1平面ABC1D1，所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1，所以EF⊥B1C.(3)因为CF⊥平面BDD1B1，所以CF⊥平面EFB1且CF＝BF＝eq\r(2)，因为EF＝eq\f(1,2)BD1＝eq\