数学北师大版必修2学案1-6-1垂直关系的判定

§6垂直关系6．1垂直关系的判定知识点一直线与平面垂直的定义[填一填]如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．[答一答]1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．2．“任何直线”“所有直线”“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2．图形语言：如下图所示．3．符号语言：aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[答一答]4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．5．直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性．知识点三二面角及其平面角[填一填]二面角(1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角，其范围是[0，π]．二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是二面角的度数．平面角是直角的二面角叫作直二面角．(3)记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β，如图所示．[答一答]6．确定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图：方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：注意：①在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直．②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．知识点四平面与平面垂直[填一填]1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面α与平面β垂直，记作α⊥β.2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．3．判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，lβ⇒α⊥β.图形语言：如下图所示：[答一答]7．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．8．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．9．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．1．直线与平面垂直的判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交．若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．3．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.4．对于平面与平面垂直的判定理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．类型一有关概念和定理的判断【例1】判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．()(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．()(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．()(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．()【解析】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此应打“×”．(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴应打“√”．(3)①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴应打“√”．(4)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴应打“√”．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√规律方法处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论．若l，m是互不相同的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A．若l∥α，m∥α，lβ，mβ，则α∥βB．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：A中未说明l，m相交，只有直线l，m相交时，才能得到α∥β；B中l可能在β内或与其相交、平行，故B不正确；C中平面的垂直关系不具有传递性，α与γ可能斜交、平行；D中若l∥β，则在β内能找到一条直线l′使l′∥l，而l⊥α，则有l′⊥α，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β.类型二线面垂直的判定【例2】如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，在平面PAB中，作AH⊥PB于点H.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AH⊥平面PBC.【思路探究】证明线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，而在证明线线垂直时，可根据线面垂直的定义．【证明】(1)由于PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)由题图可知AH平面PAB.∵BC⊥平面PAB.∴BC⊥AH.又∵AH⊥PB，且PB∩BC＝B，∴AH⊥平面PBC.规律方法利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤如下：(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；(2)说明这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．在证明线面垂直时，需要先证明线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.类型三面面垂直的判定【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG【思路探究】eq\x(\a\al(据条件得A1D1,⊥AE，AE⊥A1G))→eq\x(AE⊥平面A1FG)→eq\x(平面ADE⊥平面A1FG)【证明】∵G、F分别为AB、CD的中点，∴GF綊A1D1，又∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴A1D1⊥平面ABB1A∴A1D1⊥AE.∵E为BB1的中点，在Rt△ABE与Rt△A1AG中，AB＝A1A，BE＝AG∴△ABE≌△A1AG，∴∠AEB＝∠A1GA，又∵∠AEB＋∠EAB＝90°，设AE∩A1G＝M，∴∠AGM＋∠MAG∴∠AMG＝90°，∴AE⊥A1G由AE⊥A1G，AE⊥A1D1且A1D1∩A1G＝A1，A1D1，A1G平面A1GFD1，∴AE⊥平面A又∵AE平面ADE，∴平面ADE⊥平面A1FG.规律方法(1)证明平面与平面垂直的方法有两个：①利用定义：证明一个平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求一个平面角为直角．通常情况下利用判定定理要比定义简单些，证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD，DA和AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又BG平面BGD，DG平面BGD，BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又∵EF平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.类型四二面角问题【例4】已知Rt△ABC，斜边BC平面α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【思路探究】选特殊点O，作OD⊥BC，连接AD.若AD⊥BC，则∠ADO即为二面角A－BC－O的平面角，所以只需证明AD⊥BC即可．【解】如图，在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD.设OC＝a.∵AO⊥α，BCα，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，∴AO＝a，AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(6)a，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°.规律方法求二面角问题的关键是找出(或作出)该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．这种方法通用于求二面角的所有题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”．如图，在四面体SABC中，若△BAC是边长为a的正三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq\f(1,2)a，求二面角A－BC－S的大小．解：设D是BC的中点，连接AD，SD.由△ABC是等边三角形知AD⊥BC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(SA⊥平面ABC,BC平面ABC))⇒SA⊥BC,AD⊥BC,AD，SA平面SAD,AD∩SA＝A))⇒BC⊥平面SAD，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC⊥平面SAD,SD平面SAD))⇒SD⊥BC.∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角．在Rt△SAD中，tan∠ADS＝eq\f(SA,AD)＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ADS＝30°.即所求二面角A－BC－S的大小为30°.类型五折叠问题【例5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，E在AD上，AE＝eq\f(1,2)ED，过E的直线MN∥BC，分别交AB，AC于M，N，将△AMN折起，点A对应的点为A′，且使∠A′ED＝60°.求证：平面A′MN⊥平面A′BC.【思路探究】欲证平面A′MN⊥平面A′BC，运用判定定理，须转化为证线面垂直，而已知条件中AD⊥BC，MN∥BC，从而折起后，MN⊥A′E，MN⊥ED得出MN⊥平面A′ED，∴MN⊥A′D，从而只要再证A′D与平面A′MN内另一条直线垂直即可．考虑到所给条件，∠A′ED＝60°未用，可考虑计算证明A′D⊥A′E.【证明】∵AD⊥BC，BC∥MN，∴A′E⊥MN，ED⊥MN，又∵∠A′ED＝60°，A′E＝AE＝eq\f(1,2)ED＝ED·cos60°，∴△A′ED是直角三角形，且A′E⊥A′D，又∵A′E⊥MN，MN∥BC，∴A′E⊥BC.又BC∩A′D＝D，∴A′E⊥平面A′BC，∵A′E平面A′MN，∴平面A′MN⊥平面A′BC.规律方法对于折叠问题，应全面分析平面图形中的垂直关系、平行关系、长度关系等在折叠后有没有发生改变，由本题的所证结论知，应抓好折叠前后没有改变的垂直关系．如下图(1)，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，将△AED沿DE折起，使AB＝AC，如图(2)．求证：平面ADE⊥平面BCDE.证明：如图，取DE的中点M，BC的中点N，连接AM，MN，AN，则MN⊥BC.因为AB＝AC，所以AN⊥BC.又MN⊥BC，MN∩AN＝N，所以BC⊥平面AMN，则BC⊥AM.因为AB＝2AD，E为AB的中点，所以AD＝AE，所以AM⊥DE.而易知BC所在直线与DE所在直线相交．所以AM⊥平面BCDE.因为AM平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCDE.——规范解答系列——空间中垂直关系的判定方法1．线面垂直的判定方法(1)利用定义，即要证明直线a⊥平面α，转化为证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线c，这种方法很难实施，一般用反证法来证明．(2)利用判定定理，即要证直线l⊥平面α，只需在平面α内找两条相交直线m，n，证明l⊥m，l⊥n，从而证得l⊥α，即“线线垂直⇒线面垂直”．(3)利用判定定理的推论，即如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．2．面面垂直的判定方法(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，那么这两个平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．【例6】如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.【精解详析】(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA⊥⊙O所在的平面，所以PA⊥平面ABC.又因为BC平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AE平面PAC，所以BC⊥AE.又因为AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)因为AE⊥平面PBC，且AE平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB平面PBC，所以AE⊥PB.又因为AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又因为EF平面AEF，所以PB⊥EF.【解后反思】证明两个平面垂直的方法有两种：一是运用两个平面垂直的定义；二是运用两个平面垂直的判定定理．大多数题目利用判定定理证明，有时将线面垂直、面面垂直多次使用得出证明结论．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点．求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC，∴DF綊EG，且DF＝DE，∴四边形EDFG为菱形，∴EF⊥DG.又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG.又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.又∵BG∩DG＝G，∴直线EF⊥平面BDG.又∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDG.一、选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(B)