2023年高考数学一轮复习习题：第五章第4节　复　数

第4节复数

考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法

及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几

何意义.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：形如α+6i(α,6∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数Z的实部,匕叫做复数Z的虚

部(i为虚数单位).

⑵分类：

项目满足条件3,〃为实数)

〃+岚为实数Ob=O

复数的分类a+bi为虚数O8W0

a+bi为纯虚数Oa=OFLb≠0

(3)复数相等：4+bi=c+diθa=c且b=d(a,b,c,<∕∈R).

(4)共视复数：.+历与c+di共⅜Bθ4=c,b=-d(a,b,c,"CR).

(5)模：向量应的模叫做复数z=a+b∖的模，记作∣α+bi∣或∣z∣,即IZI=Ia+历|=庐筋伍,b

∈R).

2.复数的几何意义

⑴复数z=α+6i-----对应复平面内的点Z(a,b)(a,⅛∈R).

(2)复数z=α+6i(4,⅛∈R)-----对应平面向量应.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z∣="+历，Z2=c+di,a,b,c,<∕∈R.

Zi÷Z2=(。+⅛i)÷(c+Ji)=(α±c)+(h±√)i.

Zi22=3+⅛i)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

Zia+b∖ac-∖-bd.be-ad,

^+^?TZi(C

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图所示给出的平行四边形OZIZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即应=屈|

+∂z2,Z^Z2=OZ2-OZx.

•——常用结论与微点提醒

1.i的乘方具有周期性

4n4n+l4n+24n+3

i=l,i=i,i=-l,i--i,,4«+,4„+1+14«+2+}4«+3=0>π∈n*.

,1+i.1-i

2.(1±i)=±2i,τr=i；,∣.=—i.

l-ɪ1十i

3.复数的模与共舸复数的关系

z∙Z=∣z∣2=∣ZI2.

4.两个注意点

(1)两个虚数不能比较大小；

(2)利用复数相等"+bi=c+di列方程时，注意α,b,c,d∈R的前提条件.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

⑴复数z=α+历(4,⅛∈R)Φ,虚部为5.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)虚部为6(2)虚数不可以比较大小.

►•教材衍化

2.已知i为虚数单位，。为实数，复数Z满足z+3i=α+αi,若复数Z是纯虚数，则()

A.ci=3B.u~0C.D.a<0

答案B

解析由z+3i=α+αi,得z-a+(a-3)i.

又因为复数Z是纯虚数，所以“一C解得α=O.

[α-3≠0,

3.已知(l+2i);=4+3i,贝IJZ=.

答案2+i

4+3i(4+3i)(l-2i)10—5i

解析因为Zl+2i=(l+2i)(l-2i)=~~=2~''所以z=2+i.

＞考题体验

4.(2020•北京卷)在复平面内，复数Z对应的点的坐标是(1,2),则i∙z=()

A.1+2iB.—2+iC.1—2iD.-2—i

答案B

解析z=l+2i,二/=耳1+2。=-2+1.故选8.

5.(2019•全国Ill卷改编)设复数Z满足(l+i)z=2i,则IZl=()

A.^B.坐C.-∖∣2D.2

答案C

解析法一由(l+i)z=2i,得z=]+j=1+i,

所以∣z∣={l

法二因为2i=(l+i)2,所以由(l+i)z=2i=(l+i)2,得z=l+i,所以∣z∣=√2.

2i一

6.(2021.安庆一中月考)已知复数Z=Yj7,则Z在复平面内对应的点所在的象限为第

________象限.

答案二

_2i_(l-i)2_1_l_i

解析

-(l-i)3^^(l-i)3^-T→-^2-2,

'W=-3+］对应的点(一/位于第二象限•

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一复数的相关概念自主演练

1.(2020.浙江卷)已知α∈R,若α-1+(α-2)i(i为虚数单位)是实数，则”=()

A.1B.-1C.2D.-2

答案C

解析由题可知复数的虚部为“一2,若该复数为实数，则〃一2=0,即α=2.故选C.

2.(2019•全国Il卷)设z=i(2+i),则，=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

答案D

解析’.'z=i(2+i)=—l+2i,z—1—2i.故选D.

3.(2020・全国I卷)若z=l+2i+i3,则∣z∣=()

A.OB.IC.√2D.2

答案C

解析:z=l+2i+i3=l+2i-i=l+i,.∙.∣z∣=∙√y+∣2=√i故选C.

4.(2021・西安调研)下面关于复数Z=-l+i(其中i为虚数单位)的结论正确的是()

Am对应的点在第一象限B.∣z∣<∣z+l∣

C.Z的虚部为iD.z+7<0

答案D

ii—1—iɪii

解析∙.∙z=-l+i,.∙∙4i⅛='I=T一［则则应的点在第三象限，故A

Z—1+1(—1+1)(—l—i.)、2Zz

错误；∣z∣=√2,∣z+11=1,故B错误；Z的虚部为1,故C错误；z+7=-2<0,故D正确.

感悟升华1.复数z=α+历(α,⅛∈R),其中凡人分别是它的实部和虚部.若Z为实数，则

虚部人=0,与实部“无关；若Z为虚数，则虚部6≠0,与实部“无关；若Z为纯虚数，当

且仅当α=0且%≠0.

2.复数z=α+bi(<7,SGR)的模记作IZI或∣4+bi∣,即IZl=Ia+=∣=Ma2+".

3.复数z=〃+bi(4,b∈R)的共朝复数为Z=a~bi,则z∙Z=∣z∣2=∣Z|2,即IZl=IZ∣=pz∙z,

若z∈R,则Z=z.

利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.

考点二复数的几何意义师生共研

【例1】(1)(2019•全国I卷)设复数Z满足IZ—i∣=Lz在复平面内对应的点为Q,y),贝∣J()

A.(x+l)2+y2=lB.(Λ-1)2+√=1

C.x2+(γ-l)2=lD.JC2+0-+1)2=1

(2)(2020・临沂质检)已知含=-1+历,其中α,6是实数,则复数°一历在复平面内对应的

点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案(I)C(2)B

解析⑴由已知条件，可设Z=X+yi(χ,yGR).

V∣z-i∣=l,Λ∣x+yi-i∣=l,

Λx2÷(y-1)2=+故选C.

(2)由含=-1+庆，

得α=(-l+历)(l-i)=3-l)+S+l)i,

6+1=0,

即α=-2,b——1,

a—b—1,

复数a-b∖=—2÷i在复平面内对应点(一2,1),位于第二象限.

感悟升华1.复数2=Q+bi(α,⅛∈R)-----对应Z(〃，b)一—对应OZ=(mb).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，

可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

【训练ɪ)⑴若复数z=(2+αi)(α-i)在复平面内对应的点在第三象限，其中α∈R,i为虚

数单位，则实数Q的取值范围为()

A.(―√2,y∣2)B.(一也，0)

C.(0,√2)D.[0,√2)

(2)(2021•郑州模拟)已知复数Zl=I^在复平面内对应的点为4,复数Z2在复平面内对应的点

为B,若向量祐与虚轴垂直，则Z2的虚部为.

4

答案(I)B(2)—

解析(I)Z=(2+αi)(α-i)=3q+(cp-2)i在复平面内对应的点在第三象限，.二]解

2<0,

得一"∖∣2<a<0.

0_2_i_(2T)2_34.

(jz'_2+i-(2+i)(2-i)-5511

所以A(1,却，

设复数Z2对应的点B(J⅛,yo),则Q=Go—州+之)，

又向量B与虚轴垂直，

4,4

.∙.yo+m=O,故Z2的虚部yo=一亍

考点三复数的运算师生共研

【例2】(1)(2020・全国I卷)若z=l+i,则归2—2z∣=()

A.0B.1C.√2D.2

ab

⑵在数学中，记表达式ad一松为由，所确定的二阶行列式.若在复数域内，zι=l+i,

ca

2+i—Z]Z21

Z2=^j~Z3=Z2，则当=5-i时，Z4的虚部为_______.

2

1一1Z3Z4

答案(I)D(2)-2

解析⑴法一z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=-2,∣z2-2z∣=∣-2∣=2.

法二∣z2-2z∣=∣(l+i)2-2(l+i)∣=∣(l+i)(-l+i)∣

=∣l+i∣∣-l+i∣=2.

故选D.

(2)依题意,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

因为zʒ-Z2,且Z2=[_j=2=-ɔ-，

所以Z2∙Z3=∣Z2F=∣,

因此有(1+i)Z4—5=3-^i,即(1+i)z4=3-i,

L3-i(3-i)(l-i)

故24=ii∙-9=1-2i.

1I14

所以Z4的虚部是一2.

感悟升华I.复数的加法、减法、乘■法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘

以分母的共貌复数，注意要把i的幕写成最简形式.

2.记住以下结论，可提高运算速度：

ɪIjɪ_j

(l)(l±i)2=±2i;(2)告=i；(3)j^-=-i;(4)-fe+αi=i(α+⅛i);(5)i4π=l,i4n+l=i,i4n+2=

-1,i4n+3=-i(n∈N).

【训练2】⑴(2020・新高考山东卷)W'=()

A.1B.-1C.iD.-i

(2)(2020•全国Il卷)设复数zι,Z2满足IZII=IZ2∣=2,zι+z2=√3+i,则∣ZLZ2∣=________,

答案(I)D(2)2√3

2-i(2-i)(l-2i)-5i

解析(1)∙i.故选D.

l+2i-(l+2i)(l-2i)

(2)法一设zι=α+6i(0,⅛∈R),则Z2=小一α+(l—b)i,

IZIF=/+从=%a1+b1-4,

∣z2F=(√5—α)2+(l—6)2=4,增a+b=2.

∣z∣—Z2∣2=(2α—√3)2+(2b~1)2

=4(a2+⅛2)-4(√3α+fe)+4=12.

因此∣ZI-Z2∣=2√5.

法二设复数zι,Z2对应的向量为α,h,

则复数Zi+z2,Zi—Z2对应向量为α+6,a—b,

依题意Ial=步I=2,∣α+b∣=2,

又因为∣α+印+∣α—6∣2=2∣4F+2∣印,

所以Ia—臼2=12,故IZl-Z2∣=∣α-b∣=2√5.

法三设Zι+z2=z=<5+i,则Z在复平面上对应的点为P（小，1）,所以∣Z∣+Z2∣=∣Z∣=2,由

平行四边形法则知OAPB是边长为2,一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为IZl

-Z2∣=2X坐X2=2√l

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.设z=-3+2i,则在复平面内"7对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析Z=-3—2i,故Z对应的点（一3,—2）位于第三象限.

2.（2020•全国川卷）复数号｛的虚部是（）

3113

a∙^ιδb∙^ioc∙ToD∙IO

答案D

解析z≈1-3i=（l-3i）（l+3i）=lθ+lθi,虚部为fξ∙故选D.

3.（2020•全国Il卷）（1一i）4=（）

A.-4B.4C.-4iD.4i

答案A

解析（∣-i）4=（l-2i+i2）2=（-2i）2=4i2=-4.

4.（2021•全国大联考）如图，复数z∣,Z2在复平面上分别对应点A,B,则z∣∙Z2=（）

A.0B.2+i

C.-2-iD.—1+2i

答案C

解析由复数几何意义，知a=—l+2i,Z2=i,

∙'zι∙Z2=i(—1+2i)=-2-i.

5.设复数Z满足IZ—3∣=2,z在复平面内对应的点为M(a,b),则M不可能为()

A.(2,√3)B.(3,2)

C.(5,0)D.(4,1)

答案D

解析设z=α+bi(α,⅛∈R),则Z—3=(。—3)+⅛i,

/.(«—3)2+⅛2=4,验证点M(4/)，不满足.

13—4i∣

6.(2021•河南部分重点高中联考)若复数M(4∈R)是纯虚数，则。=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案B

解析α+C"=α+oDJ∙∖=α+2-i为纯虚数.则α+2=0,解得。=—2.

2-ri(2十1)(2一1)

7.设2I铠ɪ―2i=α+6i(4,⅛∈R,i为虚数单位)，则6—3=()

553

A-2-3Γ.--.

,M?B.2?

3

5=53

C-+D-+

2322-

答案A

解析因为番-2i=洋器92i=|一∣i=α+如所以α=∣,⅛=-j,因此〜出

53

--

22

8.如图所示，在复平面内，复数z∣,Z2对应的向量分别是040B,则复数Z∣∙Z2对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析由图知万1=(-2,-1),δβ≈(0,l),

所以ZI=-2—i,Z2=i,ZvZi-1—2i,

所以复数z∣∙Z2所对应的点为(1,-2),该点在第四象限.

二、填空题

9∙(2020∙江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z=(l+i)(2T)的实部是.

答案3

解析z=(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,所以复数Z的实部为3.

10.在复平面内，。为原点，向量后对应的复数为一l+2i,若点A关于直线y=-X的对

称点为B,则向量协对应的复数为.

答案一2+i

解析因为A(—1,2)关于直线y=一χ的对称点B(-2,1),所以向量为对应的复数为-2+

i.

11.己知复数Z=Fm+2iz,则IZl等于.

答案坐

解析由Z=L^^'+2iz

I÷ι

*l+2il+2i(l+2i)(3+i)l+7i

付Z=(l+i)(l-2i)=3-i=(3-i)(3+i)=IO,

故IZl=扁F+??=乎.

ɪ一αi

12.已知i为虚数单位，若复数z=m(qGR)的实部为一3,则IZl=,复数Z的共

轨复数Z=.

答案5-3+4i

.1—ai(1—Qi)(I—i)ɪ—Q—3+DL