2023年高考数学一轮复习讲义：第三章 3-5利用导数研究恒(能)成立问题

§3.5利用导数研究恒(能)成立问题

题型一分离参数求参数范围

例1(2022•北京模拟)已知函数7(x)=(χ-2)eT0r2+αχ(α∈R).

(1)当α=0时，求曲线y=∕(x)在点(0,五0))处的切线方程；

(2)当x22时，./(X)ZO恒成立，求α的取值范围.

解(1)当a=0时，兀V)=(X—2)e*

Λ0)=(0-2)e0=-2,

f(X)=(X—1储k^f'(0)=(0-l)e0--l,

所以切线方程为y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一当x22时，贝x)20恒成立，等价于当x22时，(x—2)ev-去加+以2。恒成立•

即I%?一%)。W(X—2)e”在［2,+8)上恒成立.

当x=2时，0∙α≤0,所以.∈R.

当x>2时，J2—χ>o,

所以π≤η~J=丁怛成立.

尹2-X

、H2ex.2(χ-l)ev

设g(x)=丁，则rτlg(X)=-L三—，

因为x>2,所以g'(x)>0,

所以g(x)在区间(2,+8)上单调递增.

所以g(x)>g(2)=e?,所以α≤e?.

综上所述，”的取值范围是(-8,e2］.

方法二f'(X)-(Λ-l)(eλ-a),

①当“W0时，因为x22,

所以χ-l>0,ev-a>0,所以/(x)>0,

则©在［2,+8)上单调递增，

兀0羽2)=0成立.

②当OCaWe2时，f'(x)^0,

所以兀0在［2,+8)上单调递增，

所以yu)M∕(2)=o成立.

③当”>e2时，在区间(2,Ina)上，，(X)C0;

在区间(Ina,+∞)±,/(X)>0,

所以7U)在(2,Ina)上单调递减，在(Inm+8)上单调递增，人力2。不恒成立，不符合题意.综

上所述，α的取值范围是(一8,e2J.

【教师备选】

2

(2022•重庆模拟)已知函数«¥)=+—(加+1)工+MnX+机，,[(x)为函数凡¥)的导函数.

(1)讨论7U)的单调性;

⑵若(X)—/WNo恒成立，求机的取值范围.

7,.mx2-(∕n+1)X+AΠ(χ-∕n)(χ-∖)

解(IX(X)=X一(优+1)+-=—HTJ------=1-------Γ~

①当机<0,Xe(0,1)时，/(x)<0,人此单调递减；

当Xe(1,+8)时，f(χ)>o,y(x)单调递增.

②当x∈(0,M时，f'(χ)>0,兀V)单调递增；

当x∈(m,D时,f'(x)<0,KX)单调递减;

当x∈(i,+8)时，/(Λ)>O,y(x)单调递增.

③当机=1,x∈(0,+∞)⅛,f(x)≥0,於)单调递增.

④当加>1,x∈(O,l)时,f(x)>0,负X)单调递增；

当x∈(l,加)时，f(x)<0,TU)单调递减；

当X∈(m,+8)时,f'(χ)>0,Xx)单调递增.

(2)由题意知Mv(X)-加)20恒成立，

即,一加InXNo恒成立，Λzy>∕nlnx

当X=I时，弓■，福nX恒成立，

当X“时，就》人

χ2

当O<x<l时，

令g(x)=2inχ'

x(2InX-1)

则g'(X)=

2(lnx)2

当(XrVl时，gf(x)<0,

g(x)单调递减且g(x)<O,

.∙.LO时，0,

21nx

当x>l时，令g'(x)=0,得X=

，当1令<加时，g,(x)<0,g(χ)单调递减，

当心M时，gf(x)>O,g(x)单调递增，

，ga)Ng(#)=e,

Λ∕n≤e.

综上知，OW机We.

思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)α2兀r)恒成立Oa宓x)m”;

。Wy(X)恒成立㈡“Wy(X)min:

a刃(X)能成立㈡4≥Xx)min；

αWχx)能成立OaWy(X)max.

跟踪训练1已知函数X%)=ΛlnX(Λ>O).

⑴求函数,/(X)的极值：

(2)若存在x∈(0,+∞),使得xX)W上等口成立，求实数,"的最小值.

解⑴由於)=xlnx,得，(x)=l+lnx,

令/a)>。，得χ>%

令f(X)<o,得o<χv]∙

所以T(X)在(0,§上单调递减，在仁，+8)上单调递增.

所以y(x)在X=F处取得极小值，

且为了©=—V无极大值•

一炉+如一3

(2)由式X)W

2

,口∖2xlnx+x2+3

得m2-------------------.

X

2

、Lj2Hnx+x+3∖

问通转化为-----------Jmin.

人2xlnx÷x2+33

令g(x)=^=2Inx+xl+~l(x>O).

.,2.3x2+2χ-3

则rlgω-+1-^=——

(x÷3)(χ-1)

一/∙

⅛g'(x)>0,得x>l;

由g'(x)<0,得0<x<l.

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以g(x)min=g(D=4,则m⅞=4.

故m的最小值为4.

题型二等价转化求参数范围

例2(2022・三门峡模拟)已知函数兀T)=InX-4χ2-x,”>一；且”≠0.

(1)当α=l时，求函数y(x)的单调区间与极大值；

⑵当Ql时，g(x)=Λx)+2ax<0恒成立，求实数”的取值范围.

解当α=l时，函数y(x)=lnχ-%2一X,Λ∈(0,+∞),

__.,.12X2+Λ—1

可付p/(x)=--2χ-l=------------

令/(x)>0,解得0<x<∣,1x)单调递增；

令/(x)<0,可得x>g,式X)单调递减；

所以函数火X)的单调递增区间为(0,；),单调递减区间为6，+8),

当X=I时，

函数«r)取极大值/(ɪ)=-1—In2.

(2)由题意，函数g(x)=∕α)+2or=ln工一0r2+(2α-l)x,x∈(l,+o°),

可得g'(X)=：—2办+(2。-1)

(2奴+l)(χ-1)

①当一X£0,一土)时，g，a)<。；

ɪ∈(-⅛.+oo)⅛,g'(x)>0,

所以g(x)在(1,一归上单调递减，在(一点，+8)上单调递增，

当Xf+8时，g(χ)f+8,

所以g(x)∈(g(-K),+∞j,不符合题意；

②当4>0时，x∈(l,+8)时恒有/(χ)<0,

故g(x)在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)<O对任意XG(1,+8)都成立，

只需g(l)W0,

即一4+24-1WO,解得aWl,故0<αWl.

综上所述，α的取值范围是(O,l].

【教师备选】

(2022・西宁模拟)已知函数式X)=—OΛ2+Inx(“∈R).

(1)讨论7U)的单调性；

(2)若存在x∈(l,+∞),Λx)>-α,求”的取值范围.

解(1)函数Xx)的定义域为(O,+∞),

,,11-2ax2

f(X)=-24x+[=^,

当a≤0时，f(x)>0,

则7U)在(0,+8)上单调递增，

当<7>0时，由/(X)=0,得ɪ,

由/(x)>0,得Xe(0,意，

由F(X)<0,得Xe(志，+∞j,

于是有火X)在(0,意上单调递增，在(总，+8)上单调递减.

(2)由Kr)>一〃，

得〃(/—1)一InX<0,x≡(l,÷o°),

—Inx<0,Λ2-1>0,

当αW0时,°(元2—1)—lnx<O,满足题意;

当心；时，

令g(x)=a(x2-1)—InX(JI>1),

9∕7Y2—1

g,(x)=-^~>0,g(x)在(1,+8)上单调递增，则g(χ)>g(l)=O,不符合题意,

当O<a<g时，

由g'(无)>。，得Xe÷°o

由g'(χ)<0,得Xe(1，君，

于是有g(x)在(1，言I上单调递减，在E言，+8)上单调递增，

g(x)min=g(宣IVg⑴=0，

则当时，3x∈(l,+∞),g(x)<O,

综上，”的取值范围为(一8,£).

思维升华根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借

助函数单调性求解.

跟踪训练2已知函数√(x)=ex-OX

(1)讨论式x)的单调性；

(2)当χC[0,+8)时，都有人x)>一α,求实数”的取值范围.

解(iy,(x)=e'-a(x∈R),

当α≤0时，/(X)>0,

.∙√U)在R上单调递增；

当a>0时，令/(x)>O=>x>lna,

令，(X)<0=>JC<1Πa,

.∙√(x)在(一8,Ina)上单调递减，在(In访+8)上单调递增.

(2)依题意知，当χW[0,+8)时，y(x)min>一”,

由(1)知，当"Wl时，y(x)在[0,+8)上单调递增，

.∙.y(χ)min=<0)=1>—4,一1≤1.

当”>l时，y(x)在[O,Inn)上单调递减，在(Ind+8)上单调递增，

•\/(x)min=_/(lna)=e'n,'~a∖na

=〃一"Ina>~a,

解得1<α<e2.

综上，实数”的取值范围为(-1,e)

题型三双变量的恒(能)成立问题

例3设y(x)=，+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

(1)如果存在x∣,X2∈[0,2],使得g(x∣)-g(X2)2M成立，求满足上述条件的最大整数M;

^17

(2)如果对于任意的s,f∈[],2」，都有√(s)2g⑺成立，求实数α的取值范围.

解(1)存在Xi,X2∈[0,2],

使得g(Xl)-g(X2)2M成立，

等价于［g(Xl)-gα2)］maχ2M成立.

g'(x)=3x2~2x=x(3χ-2),

2

令g'a)=o,得X=O或X=Q,

Ml)=考

又g(0)=-3,g(2)=l,

.∙.当XG。2］时，g(x)max=g(2)=1,

g(x)min--27,

•••八一(-第=甯，

.∙.满足条件的最大整数M为4.

(2)对任意的S,段ɪ2］有心)2g(f),

则.AX)minNg(x)max∙

Γi1

由(1)知当X∈［］,2」时，g(χ)maχ=g(2)=l,

，当XW2,2时，7(x)=f+jdnx21恒成立，

即a≥χ-x2lnX恒成立.

ri-

令//(x)=x-Λ2］nχ,χ∈2,

.β.h,(X)=I—2JdnX-x,

令φ(x)=1—2XInx-x,

：・(p'(x)=-3—21nx<0,

∕√(X)在ɪ,2上单调递减，

又6'(I)=0,

^11

.♦.当XeIJ,“时，h'(x)≥0,

当XCU,2］时，h'(x)≤0,

.∙.∕z(x)在仕，1］上单调递增，在［1,2］上单调递减,

∙*∙MX)max=h(l)=l,

故心1.

・∙・实数。的取值范围是［1,+∞).

【教师备选】

己知函数HX)=吆三FD(XCR),。为正实数.

⑴求函数小)的单调区间；

(2)若Vx∣,X2C[0,4J,不等式IAXI)-/U2)∣<l恒成立，求实数。的取值范围.

解(1)因为一-(χ∈R),

所以，ɑ)=TP⅜cR),

因为a>0,所以令，(x)>0,得04<3；

令f(x)<0,得x<O或x>3.

所以y(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(一8,0)和(3,+∞).

(2)由(1)知T(X)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，

所以危)在[0,4]上的最大值是X3)=∣j.

又/0)=—α<0,X4)=lk∕e4>0,

所以的KM),

所以4x)在[0,4]上的最小值为4O)=-a.

若∖∕x∣,X2∈[0,4],不等式∣∕(x1)-∕(x2)∣<l恒成立，

则需4x)maχ-∕U)min<l在X∈[0,4]上恒成立，即式3)—五0)<1,

即:+α<l,解得岛.

又«>o,所以Ovy/

故实数α的取值范围为(。，

思维升华“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行

等价变换，常见的等价转换有

(1)VR,X2≡I>,fi,X∖)>^(X2)<≠∕(x)min>^(x)maχ.

(2)Vxι∈Dι,3x2≡£>2,TUl)>g(∕2)9KX)min>g(x)min.

(3)3xi∈Z)l,Vx2≡i>2,yUD>g(X2)Q/U)max>g(x)max∙

跟踪训练3设«x)=XeSg(x)=^x1+x.

(1)令Fa)=∕3)+g(x),求Fa)的最小值；

⑵若任意为，%2≡[-1，+o°),且M>X2,有机[/(即)一段2)]>以乃)-g3)恒成立，求实数机的

取值范围.

解(1)因为Fa)=y0)+g(χ)

=Xe*+∕2+x,

所以尸'(x)=(x+l)(e'+l),

令F'(x)>0,解得x>一1,

令F'(x)<O,解得x<-l,

所以尸(X)在(一8,—1)上单调递减，

在(-1,+8)上单调递增，

故F(x)min=F(-1)=—1—ɪ

o

(2)因为任意Ki,χ2≡[-↑9+°),且X∣>X2,

有/%[∕U1)-√U2)]>g(Xl)-g(X2)恒成立，

所以叫/(即)一g(Xι)>"次元2)—g(12)恒成立，

令∕z(x)=加x)-g(x)=mxe'-%2一χ,Λ∈[-1,÷∞),即只需∕z(χ)在[一1，+8)上单调递增

即可.

故a'(x)=(x+1)(〃浦一1)20在[-1,+8)上恒成立，故而看We,故〃?2e,

即实数机的取值范围是[e,+∞).

课时精练

过基础保分练

1.(2022•商丘模拟)己知函数Kr)=X(/MT).

⑴当机=1时，求函数次x)的图象在(1,11))处的切线方程；

(2)当x>0时，式X)2∕-2X,求实数,〃的取值范围.

解⑴当m=l时,∕x)=x(ev-l),

则y(l)=e-1,

由，(x)=eX-l+xP可得，/(l)=2e-l.

所以函数负x)的图象在(1,.#))处的切线方程为y—(e—l)=(2e-l)(χ-l),

即(2e—l)χ-y—e=0.

⑵由ɪ(/weɪ-l)≥x2-2x及τ>0,

γ—1

得用

ɪ--ɪ

令g(x)=-ςτ^(x>θ),

ri.2~X

则g(X)==-，

当x∈(0,2)时，g'(x)>0;

当x∈(2,+8)时，g，(X)V0,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减,

所以X=2是g(X)的极大值点，也是g(X)的最大值点，即g(x)max=g(2)=p.

所以，"》土,

故，"的取值范围为［F，+∞).

2.(2022・长春模拟)设函数於)=/-m+2)χ+Hnx(αWR).

(1)若x=3是7U)的极值点，求兀V)的单调区间；

(2)若40》1恒成立，求a的取值范围.

解(1/(X)=2x-3+2)+点

=Tj>0)，

又/(3)=4普=0,

所以4=6,经检验符合条件,

所以r(X)=2*n

令/'(X)>0,有O<x<l或x>3;

令/(x)<0,有KxO,

所以7U)的单调递增区间是(0,1),(3,+∞),单调递减区间是(1,3).

(2)由题意T(X)NIuTa)min21,

当αW0时，令/'(x)>0,有x>l;

令/(x)<0,有O<x<l,

所以7U)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以火x)min=Λ1)=-a—1,

所以一〃一1》1,即αW-2,

当α>0时，Φθ<∣<l,即(Xa<2时,

存在11)=一1<0；

第>1,即α>2时，存在

③^=1,即”=2时，/(X)20,九0在(0,+8)上单调递增，存在次1)=—3<0,

可知α>0时，J(x)21不恒成立.

综上，6f≤一2.

应技能提升练

3.(2022・沈阳模拟)已知7(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，.穴X)=X2+sinx,g(x)是定义

在(0,+8)上的函数，且g(χ)=αr+1-2(a>0).

(1)求函数./U)的解析式；

⑵若对于VXICLl,1］,3X2∈(0,+∞),使得外∣)>g3)成立，求实数4的取值范围.

解(1)设x<0,则一X>0,

所以共一x)=%2—sinx,

又7U)是奇函数，

所以#-x)=-√(x),

所以7U)=一式—X)=—%2+sinX,

又/(O)=O

x2+sinx(x≥O),

所以y(x)=

xz+sιnΛ∙(X<O).

(2)由题意得Λx)min>g(x)min∙

当x∈［O,l］时，f'(X)≈2X+COSΛ>0,

所以7U)在［0,1］上单调递增，

所以火X)min=∕(θ)=θ;

当XeLl,0)时，f'(x)=—2x÷cosx>0,

所以T(X)在［-1,0)上单调递增