上课自控课件四章根轨迹法

2024/3/7第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹一、参量根轨迹

前述以根轨迹增益K1为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。实际上任何参数均可选择为系统的可变参量，如开环零、极点、时间常数和反馈系数等。这种以非K1为参变量的根轨迹称为参量根轨迹。第二节所讲根轨迹的绘制方法和规则依然适用于绘制参量根轨迹，但需要预先将可变参量演化到相当于常规根轨迹增益K1的位置上。下面举例说明参数演化和参量根轨迹的绘制方法。

2024/3/7第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹【例4-10】设反馈系统的开环传递函数为试绘制系统以a为参变量的根轨迹。解：对给定系统特征方程进行以下变换：右式的特点：左边写成两部分之和，参变量a只包含在第二部分中，且是第二部分的一个单独因子。现用第一部分除以方程两边，则得：2024/3/7这是原系统特征方程的等效特征方程，由此可得到一个等效的开环传递函数，用G*(S)H*(S)表示：根据前述根轨迹绘制规则，由上式的极点和零点分布情况绘制a从零变化到无穷大时的根轨迹，如图4-16所示。等效的含义仅在于其闭环传递函数的极点与系统的原闭环极点相同，而闭环零点通常不同。2024/3/7图4-16例4-10的参量根轨迹2024/3/7用Matlab绘制根轨迹：>>g=tf([1,0],[1,0,4])>>rlocus(g)图4-17例4-10的参量根轨迹，matlab绘制2024/3/7

这种获得等效特征方程及等效开环传递函数G*(S)H*(S)的方法，称为黄金法则（Goldenrule）。有时在同一个问题中，这个法则可适用多次。对于具有两个可变参数的情况，这一法则同样适用，此时所得到的是根轨迹族。例4-11说明了根轨迹族的绘制方法。2024/3/7【例4-11】已知系统开环传递函数如下，要求以开环极点a为连续可变参数，以K1为参变量绘制该系统的根轨迹族。解：系统特征方程为：或：应用黄金法则，得：其等效开环传递函数为：求出G*（s）H*（s）的极点，即方程的根，2024/3/7（确切地说是根轨迹，因为K1为变量）。为了作出的根轨迹，再一次应用黄金法则，即有：从而得到另一个等效开环传递函数：

根据G1*(s)H1*(s),绘出不同K1值时的根轨迹，如图4-18。在图4-19中用虚线表示这个根轨迹图。注意，这些虚线上的点就是G*(s)H*(s)对应于不同K1值的极点，也就是按G*(s)H*(s)作出的根轨迹（当a=0～

）的起点。

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这样，给定一个K1值，即可按G*(s)H*(s)描绘出a=0～

时的一组根轨迹；给定另一个K1值，就得到另一组这样的根轨迹……，这就是要求绘制的根轨迹族，如图4-19中实线所示。由图可见，a=0时系统不稳定。当a增大至一定数值时，系统变为稳定。a的临界值可用劳斯判据确定。系统的特征方程：令s1行全为零，则系统稳定的临界条件为K1=a(a＋1)。

2024/3/7图4-18的根轨迹图4-19根轨迹族2024/3/7二、多回路系统的根轨迹

根轨迹分析方法不仅适用于单回路系统，也适用于多回路系统。绘制多回路系统根轨迹的步骤：（1）首先根据内反馈回路的开环传递函数，绘制内反馈回路的根轨迹，确定内反馈回路的极点分布。（2）由内反馈回路的零、极点和内回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极点。再按照单回路根轨迹的基本法则，绘制整个系统的根轨迹。【例4-12】设控制系统的结构如图4-20所示，试绘制多回路系统的跟轨迹。解：（1）首先确定内回路的根轨迹2024/3/7内回路闭环传递函数为：内回路特征方程为：绘制a变化时内环系统特征方程的根轨迹,需要根据D1(s)构造一个等效系统,新系统的特征方程与D1（s）一样，而参数a相当于开环增益，故等效系统的开环传递函数应为：注意：在绘制根轨迹时，开环传递函数的分子分母中若有相同因子时，不能相消，相消后将会丢掉闭环极点。

图4-20系统结构图2024/3/7

当a变化时内回路的根轨迹如图4-21所示。当a1=2.5，a＝1.25时，对应的内回路闭环极点分别为P’1=0；P’2,3=-l.5

j1.5，此时内环闭环传递函数为：

（2）绘制K变化时的多回路系统根轨迹多回路系统的开环传递函数为：按照前述绘制常规根轨迹的方法求出出射角、根轨迹与虚轴交点等，绘制根轨迹如图4-22所示2024/3/7图4-21内环根轨迹图当a1为约2.5时，内环闭环极点为P’1=0；P’2,3=-l.5

j1.52024/3/7

当a取l.25，K＞6.25时，此多回路系统将有两个闭环极点分布在右半S平面，系统变为不稳定。

绘制多回路反馈控制系统根轨迹的方法：从内环开始，分层绘制，逐步扩展到整个系统。图4-22多回路系统根轨迹2024/3/7第四节正反馈系统和零度根轨迹复杂的控制系统中可能出现局部正反馈的结构，这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。具有局部正反馈的系统可以由主回路的负反馈使之稳定，但在利用根轨迹法对系统进行分析时必须求出正反馈回路的零、极点。下面讨论正反馈系统根轨迹的绘制方法。2024/3/7第四节正反馈系统和零度根轨迹图4-23所示的局部正反馈回路的闭环传递函数，即：相应的特征方程为：图4-23具有局部正反馈的系统2024/3/7其幅值条件和相角条件分别为：

与负反馈系统的幅值条件和相角条件相比,可见绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件没有变，相角条件发生了改变。

2024/3/7负反馈系统的相角条件是180o等相角条件，正反馈系统则是0o等相角条件。所以通常称负反馈系统的根轨迹为180o根轨迹，称正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。2024/3/7

根据正反馈的相角条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时需对表4-1中的与相角条件有关的规则作如下修改，其余规则不变。规则3：实轴上的线段存在根轨迹的条件是其右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则4：（n-m）条渐近线的倾角为：规则6：根轨迹的出射角和入射角为：2024/3/7【例4-13】图4-24所示正反馈系统的开环传递函数为：试绘制其零度根轨迹。

解：（1）开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2，有三条根轨迹起于开环极点，终点均在无穷远处。（2）实轴上区间[-2，-1]和［0，

］为根轨迹段。

图4-24正反馈系统2024/3/7

（3）渐近线与实轴相交于-1点，倾斜角由倾角公式计算,取q=0、1、2，得

a=0o、120o、240o。（4）分离点的求法与负反馈情况完全一样。在例4-5中已解出两个分离点：S1=-0.423，S2=-1.577，并且已确定-0.423是负反馈情况下的分离点，这里可以确定-1.577是正反馈情况下的分离点。

最后得系统的根轨迹如图4-25所示。2024/3/7由图4-25可以看出，该系统在正反馈情况下总存在一个正实根，因而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。图4-25正反馈系统的根轨迹2024/3/7【例4-14】绘制图4-26所示具有正反馈内环回路系统的根轨迹。解：首先绘制内环的根轨迹。内环部分的特征方程为或设内环的开环极点为图4-26具有正反馈内环的系统2024/3/7根据规则6可知，由这一对共轭复数极点出发的根轨迹的出射角为对内环的特征方程，求出dK0/ds，得于是得到根轨迹与实轴的交点坐标为：S=-

n

2024/3/7规则3指出:实轴上存在根轨迹的条件是其线段右边的开环零、极点为偶数。现在该系统内环在实轴上不存在开环零、极点,所以根轨迹可以存在于全部实轴上。正反馈内环回路的根轨迹如图4-27（a）所示。图4-27例4-14系统的根轨迹2024/3/7

由图可见，随着回路开环增益K0的增大，闭环极点将从一对稳定的复数极点逐渐成为两个稳定的实数极点。当K0增到K0=1时，回路将有一个p=0的极点。如果使K0＞1，则回路就有位于S平面右半部的实极点了。图4-27例4-14系统的根轨迹2024/3/7