2023年重庆考研数学二试题及答案（真题）

2023年重庆考研数学二试题及答案

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.y=χ↑n(e-)的斜渐近线为()

+X-I

A.y=x+eB.y=%

e

C.y—XD.y—X——

e

【答案】B.

【解析】由已知y=xln(e+」一

,则

IXT

1

Iimɪ=Iimlne+=Ine=1,

X→∞尤A→∞Ix-l

x=limxln[e+-!--X=IimJlnfe+

Iimy-

x→∞x→∞X—1)x→∞∖X—1

IimxIne+-Ine

x→∞\工一1

Iimxln1÷

x→∞e(x-l)

[.X1

Iim---------=-

e(x-l)e

所以斜渐近线为y=X+L.故选B.

e

]/,X≤0

2.函数/O)=√II3的一个原函数为().

I(x+l)cosx,x>0

In(JI+Y-x),x≤0

A.F(x)=\\)

(X+1)cosx-sinx,x>0

In(Vl+x2-x)+l,x≤O

B.F(x)={∖)

(X+1)cosx-sinx,x>0

In(Vl+x2-x],x≤0

C.F(x)={∖)

(x+1)sinx+cosx,x>0

In(Vl+x2+x)+l,x≤0

D.F(X)={∖/

(X+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知Iim/(x)=Iimf(x)=/(O)=1,即/(x)连续.

Λ∙→O+x→0^

所以/(X)在X=O处连续且可导，排除A,C.

又x>0时，[(x÷1)∞sɪ-sinɪ]'=cosx-(ɪ+1)sinx-cosx=-(x÷1)sinx,

排除B.

故选D.

3.设数列｛x,J,｛%｝满足玉=y=；,x“+i=sinx,,,%+∣=；y“，当”f8时（）.

A.x”是”的高阶无穷小B.y”是X”的高阶无穷小

C.X“是％的等价无穷小D.X”是y”的同阶但非等价无

穷小

【答案】B.

【解析】在［θ,1］中，sinx>-%,从而当+1=sinx,,>2χ,,.又匕什］=•1%,从而

12Jππ2

⅛<1Λ=ΞΛ<<MnA=Mπ

XZZz4ZUJxlUJ'

π

所以Iim显=0.故选B.

AfoCγ

ΛΠ+∖

4.若y"+ay'+by=()的通解在(-8,+∞)上有界，这().

A.a<O,b>OB.a>O,b>O

C.a=O,b<OD.a=O,b>O

【答案】D

【解析】微分方程y"+ay'+by=O的特征方程为r2+ar+b=O.

——XJ4b—〃2ʌ/zl/ɔ∩~

2

①若a^-4h<0,则通解为y(x)=e'(Clcos-------x+C2sin-------x);

②若以2-4b>0,则通解为y(x)=C1e+C2e

2

③若〃-4〃=0,则通解为y(x)=(Cl+C2x)e.

由于y(χ)在(-8,+o°)上有界，若-@＞。，则①②③中χ→+∞时通解无界，若-@＜。,

22

则①②③中X→-8时通解无界，故α=0.

α=0时，若人＞0,贝114,2=〃|'，通解为)(》)=(。1857^;+。25皿扬%),在(一00,+00)

上有界.

α=0时，若8＜0,则生=±扬，通解为MX)=Ge疯+Ge一疯，在(-∞,芹)上无界.

综上可彳导a=0,〃＞0.古嫡D.

X—2t+111

5.设函数y=∕(x)由参数方程确定，则().

j=∣z∣sιnr

A./(X)连续，∕,(0)不存在B.尸(0)存在，/'(X)在X=O处不连续

C.f'(x)连续，/"(0)不存在D.∕w(0)存在，/(X)在X=O处不连续

【答案】C

【解析】Iimy=IimlrlSinr=O=y(0),故/(x)在X=O连续.

八。)=慝生妈已吧驿=0.

sin∕+∕cosr

t>0

3

小)=兆

0/=0

x(∕)

-sinrτcos/Z<0

f=0时，x=0;∕>O0⅛,x>0;f<0时，x<O,故/'(X)在X=O连续.

sinr÷rcosr

Γ(x)-Γ(0)32

=rIim----------------------=—

X~o+3/9

Ao)=Iimr*T'⑼=IimTinrτcos"0=_2

XTo-X∕→0-t

故/"(0)不存在.故选C.

r^κo1

6.若函数/(α)=J2在α=4处取得最小值，则%=()

A，-焉

B.-ln(ln2)

D.In2

【答案】A.

解析】已知/⑷=『3=『黑j|∣++<κ>⅛⅛，则

111InIn211ɪ+InIn2

/⑷=—

/Qn2)"a(ln2)αa(In2)fla

令((0)=0，解得α°=-r4τ?

InIn2

故选A.

7∙设函数/(X)=(x2+∏)ev.若/(x)没有极值点,但曲线y=/(x)有拐点,则a的取值范

围是().

ʌ.[0,l)B,[l,+∞)C.[1,2)D.[2,+∞)

【答案】C.

【解析】由于/(X)没有极值点但曲线y=/(X)有拐点，则f'(x)=，+2x+a)e'有两

个相等的实根或者没有实根，/"(x)=(f+4x+α+2)e'有两个不相等的实根.于是知

4-4α≤0,

解得l≤α<2.故选C.

16-4(π+2)>0,

AE、*

8.A,B为可逆矩阵，E为单位阵，为M的伴随矩阵，则

OB/

1A∣3,‹∖B∖X-A3、

A.B.

kOIBIA*;kO\A\B\

(∖B∖A*-5*4*、f∖A∖Bt-AB'、

c∙IO°

∖A∖B*j;O\B\A\

【答案】B

【解析】由于

"EYAE、AE(EOUIAlIO、

O5[θ

、。以。B,O∖A∖∖B∖^

故

7EyEY1pAHBIO、

、。B)=[θBNoIAIIBL

"A~,-A-I^IY∣A∣∣B∣O、

B'ʌOIAIl叫

IAIATIblTAlATl6|5一]

、OB-'∖A∖∖B∖)

Z*∣3∣-A*B"、

、OB*IA∣∕

故选B.

2

9.f(xi,x2,x3)=(x1+x2)+(ɪ,+%3>一4(々一％3>的规范形为

A.#+犬B.疗一代c.寸+乂一4y；D.y'+y1-y；

【答案】B

222

【解析】/(x1,x2,⅞)=U1÷X2)+(X1+x3)-4(X2-X3)

2

2x1-3考-+2xlx2+2xlx3+8x2x3,

21

二次型的矩阵为A1-34

14-3›

2-Λ112-210

∣A-ΛE∏1-3-24(X+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(4+7)2I-A0=-Λ(Λ+7)(Λ-3)=0,

14-1

Aj=3,A2=-7,λi=0,故规范形为城一只，故选B.

rn2、

10.已知向量组a∣=2,a=1,β次,若y既可由名,%线性表

2l5J

IJ

示，又可由4见线性表示，则/=()

3，3、

A.k,keRB.5,Z∈R

r-r

C.k1,k£RD.J,kGR

A

【答案】D

【解析】设T=KaI+k2a2=kyβλ+k4βz,则Ial+k2a2-kiβλ-k4β2=0,对关于

kλ,k2,ki,%的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,

'12-2-1、1003、

A=(α∣,%,-4-夕2)=21-50010-1

lɜ1-9-1>

0011√

ττττ

解得(ki,k2,k3,k4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-l,l,0)=(3-3C,-l+C,l-C,C),故

"i-c](n

γ=⅛1αl+k2a2=(3-3C)a,+(C-l)α2=5(1-C)=«5∣,Z∈H.故选D.

<8(1-OJM

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

H.当x→0时，/(x)=αr+hχ2+ln(l+x)与g(χ)=e'"-COSX是等价无穷小，则

ab-.

【答案】-2

【解析】由题意可知，

ax+bx2+x--x2+o(x2)

.f(x)..ax+bx2+ln(l+x)

1ɪIim=Inn--------；---------------=Iim--------------------------------------

IOg(X)Λ→oe『—COSX~°l+x2+O(X2)-[1--Λ2+O(X2)]

(Q+I)X+S——)x2+o(x2)

3

=Iim22

.r→0X+(zX

2-∖

13

于是α+l=0,b——=-,即。=—1力=2,从而而=一2.

22

12.曲线y=Jndt的孤长为一.

*—vɔ

【答案】号+有

【解析】曲线y=「；67dt的孤长为

*—v3

=J二，1+3"心=禽"77-=2∕√4≡7tZr

+cos

==2尸2cosM2sin/=8尸cos?d=8口ɪdt

JoJoJo2

π

=4(f+gsin2,3=-^+Λ∕3.

13.设函数Z=Z(X,y)由方程3+xz=2x->确定，则会=.

明,)

【答案】一：3

2

【解析】将点(1,1)带入原方程，得Z=O.

方程3+xz=2x-y两边对X求偏导，得e?—+z+x—=2,

∂x∂x

两边再对X求偏导，得I(*Sz丫÷e2⅛z4+2∂^z÷x≤4z=0,将X=l,y=l,z=O代入以

上两式，得当

14.曲线3d=>5+2>3在χ=l对应点处的法线斜率为.

【答案】-Y

【解析】当X=I时，y=l∙

方程3V=∕+2y3两边对X求导，得9χ2=(5y∙+6y2)y,,将％=1，y=ι代入，得

Q11

y(l)=ɪ.于是曲线3χ3=>5+2y3在X=1对应点处的法线斜率为一£.

119

15.设连续函数/(X)满足/(X+2)—/(x)=x,∫n√(Λ)dA-=O,则J：/(X)dx=.

【答案】!

2

3

【解析】J>(x)dx=∫ι∕(x)dr-∫^∕(x)dr=ʃɜ/(ɪ)dr-ʃɑ/(ɪ)ek-ʃ'/(ɪ)dr

J；/(x)dΛ-∫θ/(x)dr—J；f(t+2)df-∫θ/UMr=ʃ'Adx=-

时+X3=1,

++0

16.X∣^Λ3='有解，其中α/为常数，若1。1=4,则

x1+2X2+ax3-0,

axx+bx2=2

1a1

12a-_.

ab0

【答案】8

«011

1a1a01

-Ialo

【解析】方程组有解，则IAl=IC八二—1247+21Ql=O,故

12Qo

1a1

124=8.

abO

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

设曲线L：y=y(x)(x>e)经过点(e2,O),L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点

处的切线在)，轴上的截距，

(I)求y(χ)；

(∏)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.

【解】(I)曲线L在点P(x,y)处的切线方程为Y—y=y'(x)(X-x),令X=O,则切线

在y轴上的截距为Y=y-xy,(x),则X=y-W(X),即/-ɪʃ=-1,解得

X

y(x)=X(C-InX),其中C为任意常数.

又y(e?)=O,则C=2,故y(x)=x(2TnX).

(H)设曲线L在点(x,x(2-Inx))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程

为

Y-x(2-Inx)—(I-InX)(X-X).

令Y=O,则；令乂=。，则y=尤

InX-I

11γ尤？

故切线与两坐标轴所围三角形面积为S(X)=-χy--∙U∙X=--―-,

22Inx-I2(lnx-l)

贝US'(x)=nx：?.令S'(x)=()，潮主点％.

叫2(lnx-l)

333

当e<x<e2时，S'(x)vO；当工>”时，S,(x)>0,故Sa)在X=/处取得极小值，同

3

时也取最小值，且最小值为S(e2)=e3.

18.(本题满分12分)

Y2

求函数/U,y)=xecos∙'+ɪ的极值.

【解】由已知条件，有

AX,y)=e"+x,

fy(x,y)=Xectsy(-siny).

令t(χ,y)=o∕(χ,y)=o,解得驻点为卜?版■卜其中攵为奇数；(-e,%∕),其中

k为偶数.

二(x,y)=1,f^,(χ,y)=ecosy(-sinγ),f；Y(x,y)=xecosysin2y-XeOoSNCoSy.

在点卜处，其中人为奇数，

A=/：4)=1,8=氏卜0,C=%,Jibr1=e-,

由于AC<0,故(一：,左〃)不是极值点，其中左为奇数.

在点(-e,br)处，其中Z为偶数，

A=《(一e,br)=l,B=f*e,k4)=0,C=∕ς(-e,M=e^2,

由于AC->0,且A>0,故(-e,br)为极小值点，其中％为偶数，且极小值为

,/,、ɑ2

f(-e,kπ)=~-.

19.(本题满分12分)

已知平面区域O=(X,y)∣0≤y≤-无≥1,

、χyj∖+x2J

(1)求平面区域。的面积S.

(2)求平面区域。绕X一周所形成的旋转体的体积.

【解】⑴

π

[I1dX=fɪsec21π1

S=(j

J----------dt

■x√i77JtanZsecr=E嬴

π∙,π

-~^-dcosf

l-cosr

π

^2

4lncosr-1ɪln^ɪ.

cost÷1K2√2-l

4

「+81

(2)V=4-Ax=

x2(l+x2)

20.（本题满分12分）

设平面区域。位于第一象限，由曲线尤2+y2—孙=1,f+y2—与=2与直线

dXdy.

y=ʌ/ɜɪ,y=0围成，计算T

JJ2

D3X+y

π2I

IJ3/+J<lΛ-dy

SeSine3p2∞s2^+p2sin2

πJ-?-1

1cosin

fɜd^∫r~^^-dp

J°Sirr6+3cos~θ

Vl-COSeSin夕P

Jn231

1(∖θ

2，Osin2^+3COS2Θ

K

」1

n2dtan^

2J'。tan2<9+3

In2tan?In2

=—J=arctan

2√3F0=k

21.（本题满分12分）

设函数/（Λ）在［-«,«1上有二阶连续导数.

(1)证明:若/(O)=O，存在J∈(一。,。)，使得f"C)=4"(α)+f(-α)］；

a~

(2)若/(x)在(-a,a)上存在极值，证明：存在τ7∈(-0,Q),使得

∣Γ(7)∣≥A∣∕ω)-∕(-Λ)∣∙

2a^

【证明】⑴将/(x)在XO=O处展开为

〃加八。)+，((W誓=/'◎+誓,

其中b介于。与X之间.

分别令X=—。和X=4,则

/(-G=八0)(一。)+，(；；)土,-α<q<O,

/(α)=f(0)(α)+^∣^,O<ξ2<a,

两式相加可得

/(-«)+/(«)≈«2Γ(⅜)+Γ½),

又函数/(Λ)在［-a,旬上有二阶连续导数，由介值定理知存在J∈仁］u(-a,a),使得

，却JC2)=/©,

即re)=J"(F)+/(“)］.

⑵设/(X)在.％处取得极值，则/'(x0)=0.

将/(X)在即处展开为

22

、小，(、/,/WΛ-X0)f..f∖δ)(x-x0)

/(x)=/(x0)+∕(⅞)(x-X0)+--------------=/(⅞)+--------~~~—，

其中3介于与X之间.

分别令X=—。和x=α,则

、，/、f'∖η)(α+x)2

Jλ0

./(-ɑ)=/(%)+------------------，-a<ηx<X0,

/(«)=/(⅞)+〃，"；；一'")一,X0<η2<a,

两式相减可得

/(«)-/(-«)=/吗—---(7),%)2

所以

If(a)-f