第06章立体几何-2023年高考数学真题分类解析

第六章立体几何

§6.1空间几何体及其表面积和体积

2013^017

2028年2019年2020年2021年2022年0i+

年

考点全地全地全地全地全地全地全地

国方国方国方国方国方国方国方

卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷

67.几何体的表

12200001200053

面积__________

68.几何体的体

321212111140118

积

69.球的组合体941010321131188

⑴命题热度:本专题是历年高考命题必考的内容（

,属于中低档题目,主要是以选择题或填空题的形式进行考查,命题的重点是几何体

的表面积与体积的求解.___________________________________________________

电）考查方向:一是考查求几何体的表面积;二是考查几何体的体积;三是考查球的组

合体.

⑶明智备考:一是要熟练把握各种简单几何体的结构特征,这是解决该部分问题的

命题分析与备基础;二是要准确记忆几何体的表面积与体积计算公式;三是熟练利用球的截面的

考建议性______________________________________________________________________

质,这是确定几何体外接球、内切球的球心所在位置的关键.要精准把握命题意图，

找到解题的金钥匙（

外一

&）主编提示:该部分属于高考必考内容,命题的关注点在于几何体的表面积与体积

的求解,数学文化与生活生产实际中的几何体加工为情境的命题将会成为命题的

热点，

%查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养,掌握简单几何体的结构特征是

解决

此类问题的关键,多看多思多画,建立空间想象力,即可轻松闯关!!！

~几何体的表面积

L（202L全国新高考1,3,5分,难度★★）已知圆锥的底面半径为a,其侧面展开图为一个半圆,则

该圆锥的母线长为（B）

Λ.2B.2√2C.4D.4√2

函设圆锥底面半径为n,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.如图所示.由条件

彳导,2πrι^∙2πτ¾贝r2=2rι⅛√2,

故该圆锥的母线长为2√2.古嫡B.

2.（2018.全国1,文5,5分,难度★★）已知圆柱的上、下底面的中心分别为a,a,过直线0a的平面

截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形很Il该圆柱的表面积为（B）

A.12√2πβ.12πC.8√2πD.10π

瓯过直线0”的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为，,因为

轴截面是面积为8的正方形,所以2尸，之鱼,/『/2所以圆柱的表面积为

2πτ√+2nr=8ɪɪ≠4n=12”.

3.（2021.全国甲,文14,5分,难度★★★）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的

侧面积为.

39Ji

殳圆锥的高为九母线长为J1______

B则:πX6^∙Λ=30Jt,解得∕7=∣,则I=a+M所以圆锥的侧面积为πX6X^=39π.

4.（2020.浙江,14,4分,难度★★★）已知圆锥的侧面积（单位：cm）为2π,且它的侧面展开图是一个

半圆,则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是.

l

殳圆锥的底面半径为r,母线长为1.

B由题意可知πrl^π/=2π,解得r=l,7⅛.

5.（2018•全国2,理16,5分,难度★★★★）已知圆锥的顶点为S母线外,5®所成角的余弦值为（,必

O

与圆锥底面所成角为45°.若△SHA的面积为5√1立则该圆锥的侧面积为.

⅞⅞]40√2π

解析!如图,设。为底面圆圆心.：'斜与底面成45°角，

.：△必。为等腰直角三角形.

设勿=r,则S0=rlSA=SB^∣2r.

:在△$16中,cos/月晶，

O

.：sinNASS率

O

.:&S也=⅜%Msin∕45j⅛（√Σry∙誓节6,解得r=2√10,

ZLO

.:弘即母线长2=4√5,

•：S圆锥侧=Tr∕=jt×2√10X4√5^10λ∕2∏.

6.(2014.山东,文13,5分,难度★★★)一个六棱锥的体积为2√5,其底面是边长为2的正六边形,侧

棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.

噩12

丽f艮据题意知该六棱锥为正六棱锥,底面正六边形面积为6g,设六棱锥的高为h.

则写X6何?=26,解得/7=1.

设侧面高为m则-娟↑=h'∖.∙.h'2

所以正六棱锥的侧面积为6X∣X2X2=12.

7.(2013.全国2,文15,5分,难度★★★)已知正四棱锥OT腼的体积为挈底面边长为低则以0

为球心,OA为半径的球的表面积为.

解析及口图所K,∙*VoM:吟X(√3)2X/OOi,/

；.IoOJ当,

在Rt△OaA中,〃α/考，

J22

(苧)+(τ)谒即R*,

•：S球Nπ#=24π.

■考点几何体的体积

1.(2022∙全国甲,理9文10,5分,难度★★)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之

和为2n,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为『甲和上若职之则瓢=(C)

S乙U乙

A.√5B.2√2C.√10D.ʃ

函本题考查空间几何体的侧面积与体积及其展开图问题.

如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周

长为6页,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为n,τ¼高分别为加A,则2∏z-,-4π,2πr2⅛π,则

力=2/2=1油勾股定理得,加=√5,∕⅛=2√Σ,所以凯莽富•亨2=√TU,故选C.

「乙iπr∣∕ι21×2√2

2.(2022.全国新高考1,4,5分,难度★★)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中

一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.Okm?；水位为海

拔157.5m时,相应水面的面积为180.Okm2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该

水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(√7≈2.65)(C)

A.1.OXlOm*1B.1.2XlOm3*

C.1.4XlO9ITi3D.1.6XlOV

噩本题主要考查空间几何体的体积.

由题意可得,此棱台的高/7=157.5-148.5R(m).

设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积

为丛则S=140.Okm2=I.4XlOm2,S=I80.Okm?=L8Xl0诏故该棱台的体积，棱台

888893

+Sz√S1∙S2)X9X(1.4XlO+1.8X10√1.4×IO×1.8×10)≈l.4X10(m),

即增加的水量约为1.4X10⅛1.故选C.

3.侈选题)(2022.全国新高考2,11,5分,难度★★★)

如图,四边形.仍(力为正方形,切■!平面/1比¾Λ?〃应M在⅛加2咫记三棱锥E-ACD,F-ABC,E-ACF^^

积分别为几陷儿则(CD)

A.½⅛KB.V3=fλVx

C.%=%+松D.2上=3%

如本题考查几何体的体积考查逻辑推理能力,空间想象能力,数学运算能力.

设AB=EDeFBea,

因为切J_平面ABCD1FB//ED,

则匕等ED∙SA.KD=

∣∙2a-(2a)^^a3,

V2yFB-S^..等吟心)?争',连接BD交作于点现连接切成易得BDLAC.又切J"平面ABCDlACc

平面/8勿贝(JEDVAC.

又EgBD=D,ED,Bg平面BDEF,则4。L平面BDEF,

又BM=DMWBD事a过下作FGlDE于G易得四边形物疗"为矩形厕FG=BDe®a,EG=a,

贝(IEM=I(2α)2+(V∑α)2=T6¾∕*]J∕=Jα2+(V∑α)2W3a,iF=Ja2+(2>∕2α)2⅛a,

f

琼/+科,=康,则EMlF礼SZl^EM-FM^γa,AC=λ∖[2a,

贝Ll%=匕-Wlt%-闲,；x2a",则2½=3K∣,1^-3K,%=匕+%,故A,B错误;C,D正确.故选CD.

4.(2021.全国新高考2,5,5分,难度★★)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则

其体积为(D)

A.20≠12√3B.28√2

C.yD,y√2

噩由题意知,$上FS下=16,加^2-(勺年建)2=√∑所以所求体积TA(S上+内赤+S下)等,

故选D.

5.(2021.北京,8,4分,难度★★★)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流

失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位：廊).24h降雨量的等级划分如下：

等如24h降雨量

(精确到0∙D

小雨0.199

中雨10.024.9

大雨25.049.9

暴雨50.0"99.9

在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为20Omm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降

雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示）,则这24h降雨量的等级是（B）

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

乍出圆锥的轴截面如图所示.设容器内雨水的水面半径为八叫由相似三角形,可得益益，

JLUUDUU

S2

解得r=50.则容器内雨水的体积为；πX50X150=125000π（n√）.故积水厚度为鬻$=12.5（mm）.

根据题中表格,可知这一天的雨水属于中雨.故选B.

6∙（2015∙全国1,理6文6,5分,难度★★）

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周

八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分

之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米

的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有（B）

A.14斛B.22斛C36斛D.66斛

画设底面圆弧半径为R1

:,米堆底部弧长为8尺,•42π足=8,.：喈.

体积X（T）,'S.>κ≈3,.R⅛等（尺）堆放的米约为喘%≈22（斛）.

7.（2015•山东,理7,5分,难度★★★）在梯形ABCDABC^,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD

绕4〃所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（C）

A.郛yC.yD.2H

磁由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥,如图所示.

，圆柱FxFχ2=2n,j/圆锥IXnXlq

••/几何体=P圆柱圆锥力π3号.

8.（2014.全国2,文7,5分,难度★★★）正三棱柱力a的底面边长为2,侧棱长为6,。为BC

中点,则三棱锥A-B∖DG的体积为（C）

A.3B.∣C.ID.y

H:•〃是等边△力比■的边雨的中点,.BC.又ABC-ABC为正三棱柱，

.平面BRCe

又四边形MKC为矩形，

•：SQDBICI=IS四边形BB1aCɪlX2X√5=√5∙

又ADtXy√3,

WZI-BlOClɪjSD8MCI"〃与×√3×y∣3=∖.

9.

（2020.江苏,9,5分,难度★★★）如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已

知螺帽的底面正六边形边长为2c叫高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是

答案12√⅞T

o

解析丁底面正六边形的面积SIEΛ边形4XG×2×2×sin60^√3x

圆柱底面圆的面积S圆=jl∙Q)=，

.：六角螺帽毛坯的体积Γ=(6√3-=)X2=12√3^.

10.

(2019.全国3,理16文16,5分,难度★★★)学生Sl工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,

该模型为长方体/腼T归C0挖去四棱锥。-“'67/后所得的几何体,其中。为长方体的中

心,分别为所在棱的中点48%G6cmM4Ncm.3D打印所用原料密度为0.9g∕cπΛ不考虑打

印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

S118.8

由题意得,四棱锥。协力的底面积为4X6Yx"x2X3=12(c∏0^〃到平面如CC的距离

为3cm,则此四棱锥的体积为V^×∖2X3=12(Cm)又长方体ABCD-ABCm的体积为

仁NX6X6=144(cm)

则该模型的体积为々仁-%=144-12=132(cm)故其质量为0.9X132=118.8(g).

11.(2019•天津,理11文12,5分,难度★★★)已知四棱锥的底面是边长为旧的正方形,侧棱长均为

遍.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中

心,则该圆柱的体积为.

答案=

福由底面边长为近,可得oc=∖.

设”为吃'的中点，

1OC与1

oiOxvo,VOTVC2-OC2之..∙.ao=∖,

/柱="∙ɑ)∙ɑo=nχ(l)2xι⅜

τ24

12.

(2019.江苏,9,5分,难度★★★)如图,长方体4町-464"的体积是120万为S的中点,则三棱锥

£-5徵的体积是.

⅞⅞10

蓬密：•长方体ABCD-ABQB的体积为120,

GCG=I20.

:E为CG的中点,CC底面ABCD,

.：◎'为三棱锥的底面如上的高,峭Ca.：K-

CqXWABBeCE^×∖AB-BC∖CQSAB■BC0,⅛X12040.

BItɔ044JL4ɪ‰1)

13.(2018.全国2,文16,5分,难度★★★★)已知圆锥的顶点为S母线弘,5®互相垂直,必与圆锥底

面所成角为30°.若4S48的面积为8.则该圆锥的体积为.

8九

VSALSB

B1

.∙5XSΛB^^SA∙SBA.

.:必Z.过点S连接底面圆心。则/以0=30°..：5。=2,勿=2遮.

.∖V^TIrh^×JiX（2√3）2X2=8π.

14.（2018.天津,理11,5分,难度★★★★）已知正方体ABCD-A、BcD∖的棱长为1,除面力四外,该正

方体其余各面的中心分别为点££&〃M如图）,则四棱锥M-£广组的体积为.

画由题意可知,四棱锥MBG〃的底面跖。/为正方形且边长为号,其高为斯以『四蝌,一

OT4X(⅞)X⅛∙

15.

（2018.江苏,10,5分滩度★★★）如图所示正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体

的体积为.

s⅞

局由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的

边长为近,所以该多面体的体积为2X∣X1X（√2）24

16.

（2017.全国1,理16,5分,难度★★★★）如图,圆形纸片的圆心为。半径为5cm,该纸片上的等边三

角形/WC的中心为0.〃协为圆。上的点,△DBC1LECAA用6分别是以凿纵仍为底边的等腰三

角形,沿虚线剪开后,分别以6CQM8为折痕折起△DBCQECAA为£使得厂重合彳导到三棱锥.

当△月宽的边长变化时,所得三棱锥体积（单位cm：'）的最大值为.

⅛4√15

画如图所示,连接OD交理于点G.由题意知ODLBC,OG^BC.

设6⅛⅛,贝U8广2遍用%巧-%三棱锥的高ħ^yjDG2-OG2=>/25-10%+X2-X2ɪ√25-IOx.因为

45

SA*∣X26XX3产3百尤所以三棱锥的体积WSA,licΛ√3∕∙√25-10x√3√25x-10x.

则f'（x）=100χ3-50x'.令f'（x）O,可得XR

则/（x）在。2）单调递增,在（2,|）单调递减，

所以/（x）",*=/⑵40.

所以咚gx√SUN√i5所以三棱锥体积的最大值为4√15.

17.（2014.山东,理13,5分,难度★★★）三棱锥人腑中分别为总用的中点,记三棱锥D-ABE

的体积为匕尸W的体积为松则学三

______v2

由题意,知VDABE=VABDE=V1,%.做二匕PffC=%.

因为女分别为因附中点,所以盘耳

设点A到平面少宽的距离为4

^sUPBC'dSuPBC4

18.

（2022•全国乙,文18,12分难度★★★）如图,四面体ABCD中IAD工CDlAD=CD/ADB=/BDQE为然的

中占

⑴证明:平面朝J"平面ACD

⑵设AB=BD2NACB=60°点尸在BD上当△的面积最小时,求三棱锥〜理的体积.

本题考查线面、面面垂直的判定及棱锥体积的运算.

⑴∣i正明I:AD=CD/ADB=4BDQBD=BD,；.△AB洛ACBD.；.AB=BC.

又£'为〃'的中点.:肛/C

:AD=CD,且E为〃■的中点,，龙_L"

又DEΓ∖BE=E,."UL平面BED.

:平面.：平面庞ZZL平面ACD.

⑵阿；AB=BCANACBQ,，△ABC为等边三角形.J.AC%BEM.

VADVCD1AD=CD1.：△Zl切为等腰直角三角形,.：DE=I.

又BD4,；.B彦+D彦=BF强DELBE.

连接EF,:•点尸在棱劭上,.:正平面BED.由⑴知,必L平面跖〃从而力人同;于是

1

SLAF^AGEF=EF.

故当£7」劭时,用最小,△的面积最小,此时EF变黑4

UUL

由⑴知,4CL平面购所以ACLBD.

又EFr∖AC=E,；.BDL平面AFC.

在Rt∆BEF中,BFZBEZ-EF2=3-鸿.

N4z

.：三棱锥〜式的体积写SAACPBF^×∖×2X苧*|当

19.（2020•全国1,文19,12分,难度★★★）

如图,〃为圆锥的顶点,。是圆锥底面的圆心,△脑C是底面的内接正三角形/为Do上一

点,N/C=90°.

⑴证明:平面必从L平面PAC1

⑵设如=√Σ,圆锥的侧面积为百π,求三棱锥PT式的体积.

⑴画由题设可知,四=必=Z5C

由于△/18。是正三角形，

故可得△/%•△/%/UPAc^l∖PBC.

又NAPC=Q0°,故NApB40°,NBPC=Q0°.

从而PB,PA,PBLPCW做！平面PAC,

所以平面必8_L平面PAC.

⑵属设圆锥的底面半径为，,母线长为1.

由题设可得r7=√3,72-r⅛.解得r=l,7^√3.

从而ABm.由⑴可得P#+I喈=A氏

故PA=PB=PC当.

3

所以三棱锥--/ɑ`的体积为！用×PAXPBXP吟χiX件）4

ɔZɔL∖Z/O

・考点球的组合体

L(2022∙全国乙,理9文12,5分,难度★★★)已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。底面的四个

顶点均在球。尊球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(C)

ʌ-⅜∙ITD'T

邈本题主要考查球的内接四棱锥的性质与导数的应用.

设四棱锥的高为/?,体积为，则底面所在圆的半径为71二评.要使四棱锥的体积最大,底面四边

形必为正方形,此时垮gx(2√I一记「尾E-a所以片条1-3#.

由题意可知O<⅛<l,令。'2得O<⅛号令厂<0彳鳄<⅜<1.所以/在区间(0爷内单调递增在区间

传,1)内单调递减,所以当力争寸取得最大值.

2.(2022.全国新高考1,8,5分,难度★★★)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.

若该球的体积为36π,且30幺3旧厕该正四棱锥体积的取值范围是(C)

“珥鄂停用

C⅛,y]D∙[18,27]

霸本题主要考查球与几何体的切、接问题.

记正四棱锥高与侧棱的夹角为〃,高为/7,底面中心到底面各顶点的距离为m.

:•正四棱锥外接球的体积为36π,

.:外接球的半径倍3

+；e

X3<7<3√3,ZcosO√=τ⅛>^τl∣.^7=6cosθl∏∣=J.sinO=6sincosθl

Z×3×t6[2ZJ

七吸常C0S2久正四棱锥的底面积S福=X2mX2m必匕

ia∖∏(7‘'WL

CoSe

故该正四棱锥的体积TS底/qx2∕⅛=144sin20cos4。.令X=COS~9.**COSO∈

.：™s2

Zsin2JCoS4θ=(1-cos2")∙cos'。41-χ)∙xjχ∈[；,引.令Xl-X)∙f=-χ'",x∈[",,,则‘二一

3Yi≠2x.

故当X∈。,|)时,y'X,函数尸-X。/单调递墙当X∈(|，目时,y'e,函数尸-V”单调递减

32

于是当Xq时,y取最大值,且‰x√l)<l)⅛

当Xq时，y=^G)3÷Q)2磊，

当X割，H)QW

故当XW时,J，取最小值W∙

因而，的最大值KaX=I44X捺号，

『的最小值L=I44唱专.

故该正四棱锥体积的面值范围为屋,乳

3.(2022.全国新高考2,7,5分,难度★★★)已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为36和

4g,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(A)

A.IOOπB.128πC.144πD.192π

庭因本题考查三棱台及其外接球的表面积,考查空间想象能力和数学运算能力.

设外接球的半径为（由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所

得圆的半径是4,

在轴截面中,设球心到上下底面的距离分别为d,4,则d=√K,（WR2-16,故d↑-dz/=1或

2

∣d∖+d1/=1,由几何知识可得府√β-16=1,或幅药∕√R2-16=1,解得R⅛5符合题意.

因此球的表面积是SNππ∙25^100π.

故选A.

4.（2022.北京,9,4分,难度★★★）已知正三棱锥A4%的六条棱长均为6,5是44回及其内部的

点构成的集合.设集合汽。WS/您5},则7表示的区域的面积为⑻

A.¾⅛.πC.2πD.3π

膜亩本题主要考查空间几何体的结构.

过点/'作底面的射影点为。连接S可得COW玲X6小氐又心6,所以

PoHPC2S=J62-（2√5）2之西在线段Co上存在一点也使得/»5,此时OM=I函,则动点0在

以W为半径,点。为圆心的圆面上（包括边界）,所以面积为π,故选B.

5.（2021•全国甲,理11,5分,难度★★★）已知40C是半径为1的球。的球面上的三个点,且

G的心比口厕三棱锥0-48C的体积为O

AWB含海百

∣⅞⅞设线段48的中点为由题意可知△4%为等腰直角三角形,点。'是△力a’的外心,所以

例」平面例所以00」AB.由心笫=L得*√Σ,所以屋娉）2笔所以Va-

,

Λ^×∖AC-BC-OO^×^×∖XlX学卷,古嬷A.

6.（2021.天津,6,5分,难度★★）两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体

积为学,两个圆锥的高之比为1；3,则这两个圆锥的体积之和为（B）

A.3πB.4πC.9∏D.12π

函如图所示:由球的体积为竽,可得该球的半径R2

由题意得,两个圆锥的高O'S。'。分别为1和3,

丁梦为球。的直径,.：△用S为直角三角形.又：'。'/_1乃；・：可得截面圆半径O'A』.

.：这两个圆锥的体积之和为片“∙（√3）2∙（3≠l）=lJr,故选B.

7.（2020•全国L理10文12,5分,难度★★★）已知4%为球。的球面上的三个点。为^ABC

的外接圆.若。a的面积为4π,45二比』C=Oa贝（］球。的表面积为（A）

A164πβ.48πC.36πD.32π

f

I解析!由题意知。Ox的半径r=λ.由正弦定理知煞力力.：Oa力明2rsin60°⅛√3z

•:球0的半径^r2÷∣00ι∣¼.

.:球。的表面积为4πVW4π.

8.(2020.全国2,理10文11,5分,难度★★★)已知△4比、是面积为竽的等边三角形,且其顶点都

在球。的球面上.若球。的表面积为16π,则〃到平面/回的距离为(C)

A.√3B.∣C.ID.y

混同设等边三角形4回的边长为a,球。的半径为RA1欧的外接圆的半径为力则

Se,.«耳3"『,S球∏#=16π,解得a=3,E=2.故Xya=√3.

设〃到平面/欧的距离为"则

故R2-r2≡∖∕4—3=1.故选C.

团就拓等边三角形中常用结论

在等边三角形中,设其边长为a,则高分专a,面积54才,外接圆的半径詹亨4内切圆的半径

9.(2020.天津,5,5分,难度★★)若棱长为2百的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

(C)

A.12πB.24πC.36πD.144π

画：∙2Λ÷J(2√3×√2)2+(2√3)2与，

.：球的表面积为4π川=36π.故选C.

10.(2019.全国1,理12,5分,难度★★★★)已知三棱锥PT成的四个顶点在球。的球面

上FA=PB=PCA"C是边长为2的正三角形,£尸分别是/弭四的中点,NGT90°,则球〃的体积

为(D)

A,8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π

⅛⅜⅞PA=PB=PCNx.

：'£产分别为例4?的中点,•：加〃咫且EF得PB=X.

/1a'为边长为2的等边三角形,二4后.

-2

又/CEQ90°,.：G5√3-XIAE^PA=X.

在44FC中,由余弦定理可知

CoSN£4Y宇笑2

2×2∙x

作/次L/C于点D1：PA=Pa

•：。为"的中点cos/必然^⅛∙

22

.X+4-3+X-1

.：2彳。14.・：f弓,即ɪɪɪ.

,PA=PB=POfL

又AB=BC=AC^l,/.PALPBLPC.

Z2Λ,=√2+2+2√6.；.R当.

.：Wπ府π√6π.故选D.

ɔɔO

11.(2018.全国3,理10文12,5分,难度★★★★)设。是同一个半径为4的球的球面上四

点,△4笫为等边三角形且其面积为96,则三棱锥0T8C体积的最大值为(B)

A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3

目目由△W为等边三角形且面积为9√3,^∆加C边长为a,

则手a=θV5.

Za=6,5!!J∆/6。的外接圆半径X∣a=2√3<4.

设球的半径为4如图,⑼4R2十2水©.N当，在。的正上方时,4

鸟SaMe(RMOa.0^X9√3X6=18值,最大.故选B.

12.(2017.全国3,理8文9,5分,难度★★★)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2

的同一个球的球面上很Il该圆柱的体积为(B)

A.πB.γC.≡D.

匾由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示，

则然=1,网,底面圆的半径r次写,所以圆柱的体积是F=πr⅛=πX(苧)Xl有故选B.

13.(2016.全国3,理10文11,5分,难度★★★)在封闭的直三棱柱ABCfBC内有一个体积为了的

球若4匹阳力庐6,BG8,/IA=3,则，的最大值是(B)

A.4πB.yC.6πD.ʃ

画设球的半径为R.:•他LMg哈8,•：心10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有

j(6÷8÷10)X鸟X6X8,此时Λ¾当球与直三棱柱两底面相切时,有2g此时档.所以在封闭的

直三棱柱中,球的最大半径只能为故最大体积Hπ(∣)3⅞∙

14.(2016.全国1,文4,5分,难度★★)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积

为(ʌ)

32

A.12πβ.yπC.8πD.4π

函设正方体的棱长为a,由/老得at.

由题意可知,正方体的体对角线为球的直径，

故2r=∖∕3α2,则rW3.

所以该球的表面积为4πX(√3)^12π,故选A.

15.(2015.全国2,理9文10,5分,难度★★★)已知仍是球。的球面上两点/4。庐90。，C为该球

面上的动点.若三棱锥OT回体积的最大值为36则球O的表面积为(C)

A.36πB.64πC.144πD.256π

卜华析I因为N4OB=9。°,所以SA力必.

因为因而△力如面积为定值，

所以三棱锥底面勿8上的高最大时,其体积最大.因为高最大为半径(所以心侬3咛*X/36,

解得於6,故S球=4m"=144π.

16.(2014.大纲全国,理8,5分,难度★★★)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底

面边长为2,则该球的表面积为()

.81TΓRECC27τr

A.—TBΛ.16πC.9πΓDΛ.-

44

由图知/W/*,

.：川二16-8加尸+2,.

,：5表乂加川为兀X梨号”,选A.

Io4-

17.（2013.全国1,理6,5分,难度★★★）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高

8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容

器的厚度,则球的体积为（A）

A500π3866π3

A.3CmnB.3Cm

1372π32048π3

r―—cmDn.---cm

设球半径为4由题可知先止2,正方体棱长的一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.

BC=2,BΛ=^,OB=R2OA=R,

由々丸外留：得RA

所以球的体积为与X5,岑π（Cm〉故选A.

18.（2020•全国3,理15文16,5分,难度★★★）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内

半径最大的球的体积为.

局圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球,如图,该圆锥的母线长BS9底面半径比口,高

之√Σ,设该内切球与母线8S切于点〃则OD=OC=r,BC=BD=XRt∆SOD电SG-

M=中,即（2√∑-r）Tχ,解得1~当,

故所求球的体积κ4πʃɪɜπWlɪɪ.

19.（2020.山东,16,5分,难度★★★★）已知直四棱柱屈力的棱长均为2,N为〃制。.以

〃为球心,尤为半径的球面与侧面比'ca的交线长为.

薜“

梅行如图所示,

:NB∖C∖Iλ=N&A\D、=NBAD$0°且BC=C\D\,；.A8G4为等边三角形.

∙*∙B∖D∖∙z2.

设点。是名G的中点，

则dqWX易证4。_1_平面BCCB.设P是球面与侧面8CG笈交线上任意一点,连接。月则

aixrap,

.：以尸=。。；+。尸,即5=3+α/，

ZftP=√2.

即尸在以α为圆心,以√Σ为半径的圆上.

取即,CG的中点分别为££则B\E=GF=QB、=aC、=\,EF2

；.OiE=SFEAF+a户=E户A

.：/£«/^0。，.：交线丽']X2√∑XnqJt.

20.（2017.全国2,文15,5分,难度★★★）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球

面上,则球。的表面积为

⅞⅞114π

其同由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球。的直径2%即2W32+22+l2√14,FJf

以球。的表面积SNπ4二14π.

21.（2017.全国1,文16,5分,难度★★★★）已知三棱锥STa'的所有顶点都在球〃的球面上,SC

是球。的直径,若平面Saa平面SCB,SA=AC,SB=BC,SdbC的体积为9,则球。的表面积为

答案∣36n

⅞⅜SC的中点。连接OA,OB.

因为SA=AC1SB=BC1

所以OALSC1OBLSC.

因为平面倒C平面S%且ft4u平面SAC1

所以勿_1_平面S8C.设则％.S*WXSAMrX》∕∙X^∙X2rXrXr[r）

所以??可解得r⅛.

所以球。的表面积为4π/=36π.

22.（2017.天津,理10文11,5分,难度★★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正

方体的表面积为18,则这个球的体积为.

口木Pr

丽!设正方体的棱长为a外接球的半径为々则2八Ga7正方体的表面积为18,

.,L,3

Λ6a<8.Za√3fλ-∣.

.：该球的体积为T"母X制号

ɔɔOZ

23.（2017.江苏,6,5分,难度★★★）如图,在圆柱QQ内有一个球。该球与圆柱的上、下底面及母

线均相切.记圆柱ɑɑ的体积为几球。的体积为松,则富的值是.

____v2

⅞⅞

邈设球。的半径为r,则圆柱“0的高为2微弱空1号,答案为∣∙

24.（2013•全国1,文15,5分,难度★★★）已知〃是球。的直径4;上一点4〃：HB=Y：2,/反L平面

明〃为垂足,a截球。所得截面的面积为明则球。的表面积为.

I解析如图,设球。的半径为&

则AHgO吟

又-.-Ti-Eff=Ti,ΛEH=I.

：'在Rt△OEH中,

娱）"

.:呜.：S球NnT.

§6.2空间点、直线、平面的位置关系

20132)17

考点2028年2019年2020年2021年2022年0i+

年

全地全地全地全地全地全地全地

国方国方国方国方国方国方国方

卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷

70.空间点线面

380030120010810

关系的判断

71.空间角543002011021118

72.空间距离11101010000041

续表

(1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(・・•••),属于中

低档题目,三种题型都有考查,命题的重点是以几何体为载体,考查国

面关系的有关命题判断为主.

⑵考查方向:一是考查空间点线面关系的判断:以空间几何体的结构

特征为背景,考查关于线面位置关系命题的真假判断;二是考查空间

角:以几何体为载体,考查异面直线所成的角的求解;三是考查空间距

离:几何体中点到平面的距离等空间距离的求解.

命题分析与备考建议⑶明智备考:一是要准确把握空间几何体的结构特征,这是判断线面

位置关系、正确求解空间角与距离的基础;二是后熟练掌握空间阖

面位置关系以及异面直线所成角I

西赢弱.要精准把握命题意图,找到解题的金钥匙(“).

⑷主编提示该部分属于高考常考内容,命题的I关注点在几何体中线

面位置关系的

判断I考查直观想象、逻辑推理的核心素养,高三备考,抓准命题的变

化方向,一其一

对空间角的考窗不能偏离啊!!!

■考点空间点线面关系的判断

1.(2022•全国乙,理7文9,5分,难度★★)在正方体ABCD-4BCB中,£尸分别为例比的中点则(A)

A.平面台除L平面BDDx

B.平面分夕U平面AxBD

C.平面分仔'〃平面A↑AC

D平即BIEF〃平面ACD

“本题主要考查平面与平面的位置关系.

如图,对于A,丁分别为例比'的中点，

.：跖〃/C在正方体Λ%7H4由Gq中,ACL物ZMJ_阳又劭∩ZW=4∙"UL平面应见,.：阮L平面

BDDi.又EFU平面B∖EF,

平面L平面BDD∖.故A正确.

7

对于B,连接/G,易证√4C平面AiBD.假设平面8∣i7-L平面又4GC平面B∖EFl.：/G〃平面

B,EF.又4勿砂;/及平面氐£777七平面房式."勿平面BiEF,又4GΠ4C=4,：平面44GC〃平面

B∖EF.又平面44GG平面445石刃4,平面8所平面力455=8£.：力4〃4£显然不成立,.：假设不

成立,即平面右镇与平面4劭不垂直.故B错误.

对于C面题意知,直线44与招必相交,故平面8)与平面4〃必相交.故C错误.

对于D,连接∕8,6B,易证平面眼C〃平面4G〃又平面氐哥'与平面仍。相交,.：平面AiF与平面

4G〃不平行.故D错误.

2.(2020.浙江6,4分,难度★★汜知空间中不过同一点的三条直线"/皿〃共面”是见"两

两相交’的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

⑥由条件可知,当典在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三

条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线〃两两相交时,如图,三个不同的交点确

定一•个平面,则m,∏,!在同一平面内,所以共面是"典〃,/两两相交”的必要不充分条件.故选

B.

3.(2020•上海,15,5分,难度★★★)

在棱长为10的正方体力及力-4AG〃中/为左侧面上一点,已知点尸到44的距离为3/

到例的距离为2,则过点P且与40平行的直线相交的面是(A)

A.ABCIR.C,CC.CGDxO).AAB8

题如图,由条件可知直线4P交线段助于点M连接货;过点尸作4C的平行线,必与MC相交,那

么也与平面力腼相交.故选A.

4.(2019.全国2,理7文7,5分,难度★★★股。，£为两个平面,则a//β的充要条件是(B)

A.a内有无数条直线与β平行

B.a内有两条相交直线与β平行

C.%£平行于同一条直线

?[β垂直于同一平面

噩!由面面平行的判定定理知,“a内有两条相交直线与β平行”是“a//"，的充分条件.由面

面平行的性质知,“a内有两条相交直线与β平行”是“a//£”的必要条件,故选B.

5.(2019.全国3,理8文8,5分,难度★★★)如图,点A'为正方形"口的中心A四为正三角形,平

面故U平面四αy∕是线段£9的中点则(B)

A.而右外；且直线刷是相交直线

B.5峰外;且直线例0V是相交直线

C.6g讣;且直线a然V是异面直线

D.8异研;且直线冽"V是异面直线

函如图,连接BD,BE.

在^BDE中N为劭的中点为小的中点，

.：6弘好是相交直线，

排除选项C、D.

作仇世⑺于点。连接欧

作即1.如于点£连接陇

:,平面α⅛LL平面/山切平面（T⅛5∩平面ABCD=CD力01CD,E0c^^CDE,

.：£。_L平面ABCD.同理J优L平面ABCD.

,：△MFB与4瓦W均为直角三角形.

设正方形4腼的边长为2,易知吟BF=F+追

r

则β∖√T+T=2,β∣∕=y∣l+y=√7,

.∖BiffzEN.故选B.

6.（2017.全国1,文6,5分,难度★★★）如图,在下列四个正方体中,M