江西省南昌市2023届高三二模数学（理）试题（含答案与解析）

江西省南昌市2023届高三第二次模拟试题

数学（理科）

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2

-A=(Λ∣X-4Λ-5≤O∣,β=∣Λ∣log9Λ<2∣δR

1,已知集合Ilʃ11&2J,则AB=

A.[-1,4)B.[-1,4]C.[-1,5]D.(0,4)

2.已知复数Z满足（z+i）i=l+z,则复数Z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知数列{%},若6+4,1=4〃—6,则%=（）

A.9B.11C.13D.15

4.已知函数/（》）=2疝",命题〃：七,々∈（0,π）,使得/（χ）+/（X2）=2，命题g:g,/e

当王时，都有/（χj<∕（w）,则下列命题中为真命题的是（）

A.p~qB.PAq

C.P八DD.（一P）Λ（F）

5.已知抛物线C:V=4χ的准线为/,点M是抛物线上一点，若圆M过点A（3,0）且与直线/相切，则圆M

与y轴相交所得弦长是（）

A.2√2B.2√3C.4D.2√5

6.如图，A,B,C是正方体的顶点，/W=2,点P在正方体的表面上运动，若三棱锥P-ABC的主视图、

左视图的面积都是1,俯视图的面积为2,则Q4的取值范围为（）

C

/主视

A.[1,√5]B.[√5,31

C.[2,√51D.[1,3]

7.已知单位向量d,力满足∣α+b∣+2α∙b=0,则a,b的夹角为（）

ππ2πD.2

A.-B.-C.—

6336

8.已知Q=Iog4上25,〃=log51∙2,c=log48,则（）

Ac>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

9.已知数列｛0,,｝的通项公式为α,,=2"τ,保持数列｛a,,｝中各项顺序不变，对任意的々eN,,在数列

｛%｝的4与％I项之间，都插入N丘N.）个相同的数（-1）隈，组成数列也｝,记数列也｝的前〃项的

和为则工Oo=（）

A.4056B.4096C.8152D.8192

10.已知正四面体的棱长为26，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进

半径为指的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为（）

B.√6-√3

C.√2÷1D.√3-l

11.已知正实数”使得函数/（幻=卜*一火）（％-。111幻有且只有三个不同零点内,工2，工3，若玉<々<当，

则下列王,々，七的关系式中，正确的是（）

B.X]+χ=4ax

A.x1+Λ3=2X223

12.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺,

与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩

的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯.、楠木纱灯、

花梨木纱灯、恭喜发财吊灯.、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为

（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X的分布列为

X-101

P0.20.404

则随机变量X2的数学期望EX2=.

x-2y+2≥0

14.已知变量X,y满足，2x+γ-l≤0,则z=x-y的最大值为.

γ≥-1

.,、αe"^H—x,—2,x,x>2,、

15.已知函数/（x）T2的图象关于点（2,%）中心对称（e为自然对数的底

e2-t+bx:+ex2+dx+f,x<2

数），贝∣Jα+h=.

16.足球是大众喜爱的运动,足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口.甲、

乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A,8点站的是甲队队员，C点站的是乙队

队员，4〃4,这两平行线间的距离为3m.C41AB,∣AC∣<∣AB∣,∣BC∖=Iom,点B在直线∕±,Ji∕1∕2,

这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时

准确传到接球点），记传球方向与4的夹角为α,已知站位8,C两点队员跑动速度都是8m∕s,现要求接球

点满足下面两个条件：

①站位B点队员能至少比站位C点队员早IS跑到接球点；

②接球点在直线/的左侧（包括/）；贝IJtana的取值范围是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

(71

17.如图是函数/(x)=sin(tyx+*)[ty>0,0<e<5的部分图象，已知48∙AC=2∙

4

(2)若/(2)—/去求

TT

18.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABe。是边长为4的菱形，ZPAB=ZDAB=-,PA±PB，

3

点E在线段PB上，CD1.DE,平面Q46，平面ABCQ.

(I)求PE；

(2)求直线OE与平面CpP所成角的正弦值.

19.一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点

到原点距离分别为须，其中为=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采样点金属锂的含量%,得到一组数据

(七,V),i=1,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值:

55555

Zyi=62,∑(η-x)(χ-y)=47,Z/a4.79,∑(M,-M)≈1∙615,∑(∏,∙-w)(y,∙-j)≈19.38,

i=li=li=li=li=l

其中均=InXj,(i=1,2,3,4,5).

(1)利用相关系数判断y=α+法与y=α+Rnx哪一个更适宜作为y关于X的回归模型;

(2)建立〉关于X的回归方程.

参考公式：回归方程y=α+从中斜率、截距最小二乘估计公式、相关系数公式分别为

W1,-f)(x∙-y)1⅛-心’Σ(c-∕^)(x∙-7)

b———---------，-加，r=厂1”:

ΣU→)Ei-2∖Σ(-)∖Σ(χf

<■=1<=IV/=IVZ=I

2

参考数据：/19吧38-=232.56.

1.615

22

20.已知椭圆C:=+A=I(α>8>0)的焦距为2百，左、右顶点分别为4,4,上顶点为B,过点A,的

a^b^

直线4，/2斜率分别为一3«[%<-3),直线AI与直线(4的交点分别为B,P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线4与椭圆C另一个交点为。，直线BQ与X轴的交点为R,记CPQR的面积为S-AA2QB

S

的面积为邑，求U1的取值范围.

32

21.已知函数/(Λ)=—工—五+αInX(X〉0,α>0),∕'(X)为/(χ)的导函数.

X

(1)当O=IM=2时，求函数“力的极值；

(2)已知X∣,Λ2W(O,49。)(X产W)，若存在人eR，使得/(内)=/(W)成立，求证：

∕,(∙XI)+Γ(Λ⅛)>0∙

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极

图”.在平面直角坐标系Xoy中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆，其中黑、白区域分

界线C∣,。2为两个圆心在>轴上的半圆，「(-2,2)在太极图内，以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴

建立极坐标系.

(I)求点P的一个极坐标和分界线Cl的极坐标方程；

(2)过原点直线/与分界线c∣,G分别交于“，N两点，求APMN面积的最大值.

选修4-5：不等式选讲

23.已知/(x)=∣x+l|-|2X-2∣,g(x)=α∣x-b∣.

(1)在给出的直角坐标系中画出函数/U)的图象；

(2)若/(x)2g(x)在R上恒成立，求匕一α的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A-IXIX2-4%-5≤θ),B=(ɪllogɔ%<2∣

1.已知集合ɪ1J，IlN/,则aAβB=()

A.[-1,4)B.[-1,4]C.[-1,5]D.(0,4)

【答案】D

【解析】

【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合AB,然后由交集运算得出答案.

【详解】由％2-4x-5≤0可得T<x<5,所以A=[T,5],

由log2X<2,即log?X<log?4,可得0<x<4,所以8=(0,4),

所以A3=(0,4).

故选：D.

2.已知复数Z满足(z+i)i=l+z,则复数Z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算得到Z=-I-i，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】复数Z满足(z+i)i=l+z,

22(i+l)2i+2

Z-------------------------------=-----------——1—1.

i-1(i-l)(i+l)-2

对应点为(-1,-1),在第四象限.

故选：D.

3.已知数列{%},若q+/"T=4〃-6,则%=()

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【解析】

【分析】由题中条件，分别令〃=1,〃=4,即可得解.

【详解】由α∣+4,i=4〃-6,

令〃=1,则4+q=4—6=-2,则α∣=-1,

令〃=4,则q+%=4x4-6=10,则%=IL

故选：B.

4.已知函数/(x)=2'inx,命题∕r*,X2∈(0,7τ),使得/(％)+/(%2)=2,命题∕∀X∣,X2

当王<々时，都有/(%)</(%),则下列命题中为真命题的是()

A.p、qB.PAq

C.p^(-1<7)D.1-p)八(-q)

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真假，结合命题“且”、“或”、“非”

的概念，依次判断即可.

详解】命题〃：当0<x<兀时，O<sinx≤l,

所以l<2'in*≤2,即l<∕(x)≤2,

则玉€(。,兀)，使得f(χ∣)+∕(∙⅞)>2,故命题P为假命题；

TTπ

命题4：当——<x<一时，函数y=sinx单调递增，

22

(π

又函数y=2*在R上单调递增，所以函数/(X)=2Smx在一不,3上单调递增，

TTTT

所以一,<玉时,，∕Ul)<∕(⅞)>故命题4为真命题.

则命题PVq为真，故A正确；

命题PAq为假，故B错误；

命题P八(「幻为假，故C错误；

命题(可)^为假，故D错误.

故选：A.

5.已知抛物线C：V=4x的准线为/,点M是抛物线上一点，若圆M过点A(3,0)且与直线/相切，则圆M

与y轴相交所得弦长是()

A.2√2B.2√3C.4D.2√5

【答案】D

【解析】

【分析】设M(XO,%),则W=4%,r=⅞+l,进而(3-Xo>+(O-%)2=(无(.+D?,解得4=2,利

用垂径定理计算即可求解.

【详解】由题意得，C：y=4χ,贝摊线/为m—1,

设M(Xo,%),因为圆M与直线/相切，所以圆的半径为r=x0+1,

则圆的标准方程为(X-/V+(y-%)2=(⅞+1尸，

又圆M过点A(3,0),所以(3-％)2+(0-%)2=(%+1)?①.

又y；=4X0(2),

由①②，解得％=2,则厂=3,设圆M与y轴交于点8、C,

则忸C∣=2√r2-⅛=2√32-22=2√5.

故选：D.

6.如图，A,B,C是正方体的顶点，A6=2,点P在正方体的表面上运动，若三棱锥P-ABC的主视图、

左视图的面积都是1,俯视图的面积为2,则/%的取值范围为（）

C.[2,√5]D.[1,3]

【答案】D

【解析】

【分析】如图，当点P的轨迹为4MNQ（含边界）时符合题意，结合图形，即可求解.

【详解】如图，取A4*与,CG的中点MM。，连接MN,NQQM,

则当点P的轨迹为aMNQ（含边界）时，

三棱锥尸-ABC的主视图、左视图的面积都是1,俯视图的面积为2,

此时若P与M重合，Q4最小，且最小值为1,

若P与。重合，/%最大，且最大值为,2?+2?+F=3,

所以PA的取值范围为[1,3].

故选：D.

7.已知单位向量4*满足+〃∣+2Q∙Z?=0,则a,。的夹角为（）

【答案】C

【解析】

【分析】由∣4+b∣=-24∙b两边平方，根据向量数量积的运算即可求出夹角.

【详解】记α,b的夹角为6,则α/=同MCoSe=COS。，

由∣α+8∣+24必=0,即∣α+bI=-2。m，两边平方，得2+2α∙b=4(α4)2,

BP2+2COS^=4COS2θ>即2cos?，一COSe-I=O,贝∣J(2cosO+l)(cos夕-1)=°,

当COSe=I时，∣α+b∣=-2α∙0=-2,不符合题意,

所以CoSe=—,，又o≤e≤π,则。=2无.

23

故选：C.

8.e^a=log4l.25,6=k)g5l.2,c=k)g48,则()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>h>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数的性质，结合对数换底公式判断即可.

【详解】C=Iog48>Iog4∖.25=a,

,cuɪg1∙25Ig1.25Ig1.2…，

α=I1og1.25=——>——>——=1Iog∖,2=b,

4Ig4Ig5Ig55

综上，c>a>b.

故选：A.

9.已知数列｛”,,｝的通项公式为4=2"τ,保持数列｛%｝中各项顺序不变，对任意的AGN-在数列

｛%｝的4与4+∣项之间,都插入％(ZeN+)个相同的数(―1)9,组成数列也｝,记数列也｝的前〃项的

和为T“，则加O=()

A.4056B.4096C.8152D.8192

【答案】C

【解析】

【分析】插入W组共以〃十0个,可知前面插入12组数，最后面插入9个-13,从而可得插入的数之和为

2

22222

-l+2-3+4--11+12-9×13=-39.又数列｛«,｝的前13项和几=8191,可得

小=8191-39=8152.

【详解】插入“组共妁上D个，..∙U^U=78,.•.前面插入12组数，最后面插入9个—13.

22

1,-1,2,2,2,22,-3,-3,-3,23,,2",12,,12,2l2,-13,,-13

]个2个芥-I2φ—9φ-

*.*—vr+(〃+1)^^=2∕ι+19

ʌ-l+22-32+42--Il2÷122-9×13=3+7÷ll+15+19+23-9×13

=(3+23)X6_]]7=_39,

2

又数列｛4｝的前13项和为

lx1)30

Sl3=a,+a2++Q13=^~=2'-l=2'×8-l=1024x8-1=8191,

.∙.ZoO=8191—39=8152.

故选：C.

10.已知正四面体的棱长为2指，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进

半径为指的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为（）

A.√2-lB.√6-√3

C,∙∖∕2+1D.ʌ/ɜ—1

【答案】B

【解析】

【分析】正四面体A—BCD中，顶点A在面BCZ）的投射影为ABCD的中心。，正四面体A—BCD外

接球球心为点。，在直角三角形中求出A。，OA,设小正四面体的棱长AM=X,N为上面小正四面体

底面中心，可得MN,AN,由题意，八面体的外接球半径R=OM≤√^,由此即可解得答案.

【详解】如图，正四面体A—BCD中，棱长为2指；顶点A在面BCO的投射影为ABCO的中心。，

正四面体4-BCD外接球球心为点。（截去四个全等的小正四面体之后得到的八面体的外接球球心同样

为点。）.

A

E为CO中点，AB=2瓜,BE=WAB=3叵,BQ=WBE=2近,

在Rt_AQ6中，AQ=JA4—9=4,

在Rt_0Q3中，BQ2+OQ2=OB2,又OA=OB,

则BQ2+(AQ-QA)2=。42,即8+(4-OA)2=32,解得OA=3,

则OQ=AQ-。4=1,

设小正四面体的棱长AM^x,N为上面小正四面体底面中心，

则MN='ɪX,AN=近∙X-

33

由题意，八面体能放进半径为遥的球形容器，则八面体的外接球半径R=OM≤"∙

在RtzMW√中，OM2=MN?+OM，

Cryc12y

则6≥——Λ+3——X,即X?—2＞∕^x+3≤O,解得≤X≤+.

∖√∖J

所以截去的小正四面体的棱长最小值为Jξ-y∣3.

故选：B.

11.已知正实数。使得函数/(x)=(e*-&v)(X-αlnx)有且只有三个不同零点内,乙,工3，若为＜々＜七，

则下列X,々,毛的关系式中，正确的是()

A.%+七=2x?B.X]+%2=ʌ/ɑɪʒ

C.X1X3D.xlx3=xl

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用X表示。，再数形结合探求出玉,马，X3的关系，然后逐项判

断作答∙

QXY

【详解】依题意，由F(X)=O得：ex=ajc,x=a∖nχ即J=

fXInx

QXYɛt(ɪ—1)1∏X—1

令g(x)=—(X>0),%(X)=L(X>1)，g'(χ)=---；—，〃(X)=~不，

Xln.rX-(InX)

当x∈(0,l)时,g'(x)<0,函数g(χ)单调递减,当x∈(l,+8)时,g'(x)>O,函数g(χ)单调递增，

当Xe(Le)时，Λ,(χ)<O,函数∕ι(x)单调递减,当x∈(e,+8)时,h∖x)>O,函数g(χ)单调递增,

CX

函数y=F(X)有三个零点，即直线y=α与函数gθ)=-(x>0)与函数∕z(χ)=—(χ>l)的图象共有三

XInx

个公共点,

pxX

在同一坐标平面内作出函数g(X)=幺(X>0)与函数力(X)=—(X>1)的图象，它们有公共点

XInX

与函数8(*)=^(》>0)的图象另一交点为8(工2，%)，与函数

X

X

QF(X>1)

ex'_eλ_2_x_x

的图象另一交点为C(X3，%)，显然0<X<1<%2<e<f,且有23

XIX21∩Λ2Inx3

由JF即g(X1)=g(lnX2),而0<lnw<l,于是玉=InX2,

xlInx2xlInx2

e'2Xv2%,

e2

由一=丁，~得：-1-=~ɪE[J/i(eʃ)=A(X3),而e"2>e,于是x3=e',

x2Inx3Ine-Inx3

2

由£_=_^―得：x;-eɪ∙Inχ2=χ3χ1,即再占二君，D正确；

x2Inx2

对于A,x1÷Λ3>2y∣xlx3=2x2,A错误;

对于B,令夕(X)=e--%-l,x>l,φf(x)=ev-1>O,函数型»在(l,+∞)上递增，

即有。(％)>θ(l)=e-2>0,因此e">x+l,则Λ⅛=e^t2,/+I〉/+%，

9L

而。=-->1,从而>/。工3>工3>%2+不，B错误；

xι

对于C,因为X∣X3=X.若XR=成立，则必有。=4，

令u(x)=ex-4x,x>0,uf(x)=ex-4,当x∈(0,In4)时,ur(x)<0,u(x)递减,

当x∈(In4,+oo)时，M(X)>0,〃(X)递增,而

;23

M(l)=e*-l>0,w(l)=e-4<0,M(2)=e-4<0,w(3)=e-12>0,

v1

因此函数〃(X)=e'-4x,x>0的两个零点，即方程Je=4的两个根分别在区间(-,1),(2,3)内,

X4

4,

令r(x)=x-41nx,x>l,f'(x)=l——，当XW(1,4)时，f(χ)<O,f(x)递减，

X

当x∈(4,÷x)时，f'(x)>O,f(x)递增，而

r(l)=l>0,r(2)=2(1-In4)<0√(4)=4(1-In4)<0,r(e3)=e3-12>0,

V*

因此函数f(x)=x-41nx,x>l的两个零点，即方程一=4的两个根分别在区间(1,2),(4,e?)内,

Inx

z?YY

显然直线y=4与函数g()=—(χ>0)和h(χ)=—(χ>l)的图象的交点有4个，不符合题意，

xXInx

所以OH4,即%当=等X；不正确，C错误.

故选：D

【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形

结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

12.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，

与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩

的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、

花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为

()

25

A.B.n

【答案】A

【解析】

【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为4,。2；楠木纱灯、花梨木纱灯为白，打；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯

为ClJ.先求仅相邻的种数，把看作一个元素，分三种情况讨论：排在首尾：64排在五

个位置中第二、第四位；排在第三个位置，同理得仅仇仇相邻，仅C,2相邻的情况，进而得出概率.

【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为4,4；楠木纱灯、花梨木纱灯为自，打；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯

为qg-

先求仅。必2相邻的种数，把4%看作一个元素，

当排在首尾时，不同的排法有M=(A；XC(XA9X2=32种；

当。必排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有N2=(C：xA；xA；)x2=32种；

当44排在第三个位置时，不同的排法有=C；C；A；xA；xA；=32利

故仅aia2相邻共有2+N?+M=96种排法，

同理得仅々/相邻，仅CIQ相邻的情况，也都有96种排法，

96×32

所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为Pn=.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X的分布列为

X-10I

P0.20.40.4

则随机变量χ2的数学期望EX?=

【答案】0.6

【解析】

【分析】根据EX?为χ2的数学期望求解

【详解】解：因为随机变量X的分布列为

X-IO1

P0.20.40.4

所以随机变量X2的数学期望EX2=(-1)2X0.2+02×0.4+12X0.4=0.6,

故答案为：0.6

x-2y+2≥0

14.已知变量X,y满足＜2x+y-l≤0,则Z=无一丁的最大值为

y≥T

【答案】2

【解析】

【分析】作出不等式组所对应的线性规划区域，数形结合即可求解.

【详解】如图，作出不等式组所对应的线性规划区域：

z=χ-y=y=χ-z,当直线Z=X-丫过A(I「1)时，Z取得最大值，最大值为ZrnaX=I+1=2,

故答案为：2.

ae^-2+]χ3_2xX>2

15.已知函数/(x)={2一,的图象关于点(2,%)中心对称(e为自然对数的底

e2^∙v+bxi+ex2+dx+f,x<2

数)，贝IJa+h=.

【答案】—,##-0.5

2

【解析】

【分析】根据抽象函数的对称性可得/(2—X)+/(2+x)=2%,由2—x<2,2+x>2可得

1,

(π+l)c'+(—―k>)x^+(3+6b+4c-)x+(4—12b—4c—d)x+(Sb÷4c+2d÷/)=2%,

列出方程组，解出。即可求解.

【详解】若函数/(X)满足Aa-X)+f(a+x)=2b,

则函数/(χ)的图象关于点S,份对称.

因为函数f(χ)的图象关于点(2,九)对称，不妨令x>0,

则/(2一x)+/(2+x)=2y0,

由2-x<2,得/(2-X)=e2^(2^x)+⅛(2-Λ)3+c(2-x)2+d(2-x)+f,

由2+x>2,Wf(2+x)=ae(2+A')-2+ɪ(2+x)3-2(2+x),

所以`'+。(l+uΛ

el2—X)，+c(2—Λ)^+d(2,—Λ)+f+βe^^+-(2+X),—2(2+x)=2y0,

即(α+l)e'+0(2—X?+c(2—x)2+d(2—x)+/+；(2+x)3_2(2+x)=2%

整理，得

1,,

32。一。+

(a+l)e'+(--b)x+(3+6b+4c)x+(4-124c-d)x+(84c+2d+/)=2y0,

fα+l=0

--l>=0

2解得α=-1,力=工,

其中％为常数,有3+6H4C=0

2

4-12⅛-4c-√=0

8b+4c+2d+f-2y0

所以α+/?=—.

2

故答案为：—•

2

16.足球是大众喜爱的运动,足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口.甲、

乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A,B点站的是甲队队员，C点站的是乙队

队员〃。，这两平行线间的距离为点在直线

，43m,CA±AB,∖ACHAB∣,∣BCIOm,B11.,3.1-Ll2,

这时，站位A点球员传球给站位8点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时

准确传到接球点），记传球方向与4的夹角为α,已知站位8,C两点队员跑动速度都是8m∕s,现要求接球

点满足下面两个条件：

①站位8点队员能至少比站位C点队员早IS跑到接球点；

②接球点在直线/的左侧（包括/）；贝IJtane的取值范围是.

17

【答案】

12,12

【解析】

【分析】如图，以BC的中点。为原点，建立平面直角坐标系，设接球点为尸，根据IPCITPB∣=8m,可

得点P在以C,8为焦点的双曲线的右支上，根据AC，AB,求得A点的坐标，直线/与双曲线的右支交于

Pi,P2(片在旦的上方)，求出不£两点的坐标，再求出A[,A鸟的斜率，结合图象即可的解.

【详解】如图，以BC的中点。为原点，建立平面直角坐标系，

则B(5,0),C(-5,0),

设接球点为P，若IPCHP却=8m,

22

得点P在以CB为焦点的双曲线2-E=1的右支上，

169

设A(XA,3),则CA=(XA+5,3),BA=(4一5,3),(%<0),

因为ACLAB,

所以04.胡=(%+5,3>(4_5,3)=/_25+9=0,解得XA=-4,

即A(-4,3),

设直线/与双曲线工-£=1的右支交于几鸟(耳在鸟的上方)，

169

令x=5,则y=±j,所以《∣5,∖),4,

则接球点为尸位于双曲线右支与直线/围成的区域内或边界，则4≤与<5,

因为直线AP的倾斜角与α互补，

^17一

由图可知，tanae—.

Γ17^

故答案为：—.

【点睛】关键点点睛：以BC的中点。为原点，建立平面直角坐标系，根据IPqTP目=8m再结合双曲

线的定义求得P点的轨迹，是解决本题的关键.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.如图是函数/(x)=sin(0x+8)(tυ>O,O<e<])的部分图象，已知ARA。=2.

Tr

【答案】(I)0=—

2

π

(2)φ=-

3

【解析】

【分析】⑴设A(∙⅞,0),则《Xo+gl),c[xo+日,一)，再根据4B∙AC=2求得周期T，即解;

(2)根据/(2)-/(g)=-等结合三角恒等变换化简计算即可的解.

【小问1详解】

设A(Ao,0),函数的最小正周期为7,则小o+f,l),c[/+2,-1

故A瓦AC=I,1)任T=Q2.1=2,

解得T=4(负值舍去)，

2τrTT

所以f=4,所以3=2；

ω2

【小问2详解】

界+0卜〜苦)

由⑴得/(X)=sin

(4∖.f2π、

f(2)-f--ɪ-,得sin(π+e)-sin----∖-φ

∖ɔ7<3

即一sin。一等1..π

cos⅛9÷-sιn⅛9=—sinφ-∖--

22\3

√3

所以Sinφ-∖--,

\3)^τ

LE八兀口1兀兀5π

又因0＜。＜7，则一＜9+一＜—，

2336

兀2兀Tt

所以夕+一二一，所以夕=—

333

TT

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是边长为4的菱形，ZPAB=ZDAB=-,PA±PB,

点E在线段PB上，CDlDE,平面B4B_L平面ABCr）.

（1）求PE；

（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值.

【答案】（1）PE=吏■

3

⑵寻

【解析】

【分析】（1）如图，根据面面垂直性质可得PG_L平面ABCD，由线面垂直的性质可得

PALPG,PBLPG,建立如图空间直角坐标系，利用空间共线向量的坐标表示求得CO=（2,-2百,0）,

结合空间垂直向量的坐标表示计算即可求解;

（2）利用空间向量法求出平面CZ）P的一个法向量，结合数量积的定义计算即可求解.

【小问1详解】

取A5的中点0,连接3£＞、DO,过P作。。的平行线PG,

在菱形ABCO中，ZDAB=I,则AABO为等边三角形，得Oo=2百，且Oo_LAB,

又平面Q4B_L平面ABCQ,平面∕¾8C平面ABCf)=AB,Z)OU平面ABCQ,

所以Z)O，平面ASCD,由DO//PG,则PGL平面ABc£),

又Q4、PBU平面ABC。，所以PALPG,PB工PG,由∕¾±PB,

建立如图空间直角坐标系P-孙Z,由NPAB=A,AS=4,得PA=2,PB=26，

取用的中点尸，连接。凡则OF=6,Af=I,

所以P(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2√3,0),0(1,√3,0),D(l,√3,2√3),

有A月=(一2,2百,0),设C(α,b,c),则。C=(α-l,b-百,c一2百)，

由AB=DC，得。=一12=38,。=2百，即C(—1,3百,28)，CZ)=(2,-2√3,0).

设PE=d,则E(O,d,O),有OE=(Td-6,-2百)，

由CDLOE，得CDDE=-2+(d-眄)(-2•=O,解得d=迪

3

即PE:正;

3

【小问2详解】

设平面CDP的一个法向量为"=(χ,y,z),

由Po=(LG,26)，CD=(2,-2√3,0),

“∙CD=2x-2岛=OL

得r-γ-,令X=G,则y=l,z=-l,

n-PD=x+√3j+2√3z=0

所以〃=(75,1,-1),又DE=(-1,-与'-26)

DEn2石一6一*

所以cos(DE,n

DE^n4010

∖∣5×

故直线。E与平面COP所成角的正弦值为也

10

【点睛】

19.一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点

到原点距离分别为须，其中为=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采样点金属锂的含量y,得到一组数据

(七,y),i=1,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值：

55555

Zyi=62,Z(Xj-可(K-刃=47,Z”产4.79,Z(%-aH1.615,ɪ^(u,.-w)(χ.-ʃ)≈19.38,

i=li=li=li=lZ=I

其中%=InXj,(i=1,2,3,4,5).

(1)利用相关系数判断y=。+嬴与y=α+RnXIw一个更适宜作为y关于X的回归模型；

(2)建立〉关于X的回归方程.

参考公式：回归方程y=α+初中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为

∑(r,-7)(z∙-y)1⅛-而f(fT)(χ-y)

0"jz⅛~-=⅛，a=y-bt,r=In'=l_In`

∑(f(∙-r)∑r<2^nr2↑∑(ti~τ)2↑∑(yi-y)2

<=ι<∙=ιV,=ιV>=∣

2

参考数据：生193更8=232.56.

1.615

【答案】(1)用y=α+blnx作为>关于X的回归模型方程更适宜，理由见解析；

(2)y=0.904+121nx

【解析】

【分析】(1)用y=。+法作回归模型求出相关系数、用y=α+勿nx作为回归模型求出

相关系数弓，比较大小可得答案；

(2)由已知条件求出6,4可得答案.

【小问1详解】

若用y=α+fex作回归模型，

22222

,=1+2+3+4+5=3>£(尤厂亍)=(l-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3)=10,

5∕=ι