2023年高考数学一轮复习习题：第二章第5节　指数与指数函数

第5节指数与指数函数

考纲要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数察的含义，了解实数指数早的

意义，掌握赛的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点,

会画底数为2,3,10,ɪ；的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.根式的概念及性质

（I）概念：式子《后叫做根式,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

（2）性质：（缶）"=n（α使缶有意义）；当n为奇数时，∖[a',=a,当n为偶数时，y∣a',=∖a∖=

a,a20,

—。，a<0.

2.分数指数累

规定：正数的正分数指数基的意义是/=至3>0,m,“GN*,且〃>1）；正数的负分数指

m1

数暴的意义是〃二=上3>0,%,"∈N,且〃>1）；0的正分数指数暴等于0；0的负分数

轲

指数慕没有意义.

3.指数鬲的运算性质

实数指数幕的运算性质:aras=ar+si（OS=曲（abY=arhr,其中a>0,⅛>0,r,s∈R.

4.指数函数及其性质

⑴概念：函数y="（a>O,且αWl）叫做指数函数，其中指数X是自变量，函数的定义域是R,

a是底数.

（2）指数函数的图象与性质

a>∖O<tz<l

图象匕，

定义域R

值域(0,+°o)

过定点(0，1),即X=O时，y=l

当x>0时，v>l；当x<0时，v>l；

性质

当x<0时，OCv<1当x>0时，0<v<l

在(-8,+8)上是增函数在(一8,十8)上是减函数

常用结论与微点提醒

1.画指数函数y=4'S>O,且a#1)的图象，应抓住三个关键点：(1,a),(O,1),(一1,ɪ).

2.指数函数y=优伍>0,且的图象和性质跟α的取值有关，要特别注意应分α>l与O<α<l

来研究.

3.在第一象限内，指数函数y="(">O,且的图象越高，底数越大.

诊断自测

►•思考辨析

L判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

4___________

(IN(-4)4=-4.()

(2)分数指数暴/可以理解为£个〃相乘.()

(3)函数>=2一是指数函数.()

(4)函数y="v2+∣(α>l)的值域是(0,+∞).()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)由于y(-4)4=声=4,故(1)错误.

(2)当加时，不可以，故(2)错误.

(3)由于指数函数解析式为y=α<(α>0,且αWl),

故y=2'r不是指数函数，故(3)错误.

(4)由于x2+121,又“>1,.∙.οχ2U24.

故y=df2"(a>D的值域是［a,+∞),(4)错误.

〉教材衍化

2.若函数7(x)=αv(">0,且"Wl)的图象经过(2,则八-1)=()

A.lB.2C.√3D.3

答案C

解析依题意可知出=；,解得α=坐，

——]

所以yu)=G穹，所以大一i)=G§)≈√3∙

」-L-1

3.已知d=(∙∣)[人=6)4,C=g)4,则4,b,C的大小关系是,

答案c<b<a

解析∙∙∙y=(J:是R上的减函数，

0

又C=(I)4<fD=1'-∙c<b<a.

>考题体验

4.(2021・昆明诊断)函数段)=1一洲的图象大致是()

答案A

解析易知"r)为偶函数，且KX)=I—e"Wθ,A正确.

5.(2020・合肥冲刺)若0<6<q<l,则於,ba,aa,S中最大的是()

AxibB-C,aaD.bh

答案A

解析∙.∙O<*α<l,指数函数y=炉和y="均为减函数，.•.$>/,〃<吩，；嘉函数y=

/在(0,+8)上为增函数，.∙.a>阴，即心，ba,aa,射中最大的是

4

6.(2021•贵阳一中月考)计算：(I)3×(-^)+8×-⅛2-ΛJ(-^.

答案2

解析原式=d)χι+24χ24-g}=2.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一指数基的运算自主演练

答案O

解析原式1［（赢）；「卜笥「Hl制/,Il［（∣j］1=|—尹1=0.

2.已知危）=2»+2^,若五4）=3,则,”〃）=.

答案7

解析yj(a)=2a+2~a=3.

.∖J(2a)=22a+2'2a=(2a+2~a)2-2=32-2=7.

27(4次？1)3

l3>0,⅛>0)=

(0.1),∙(a3∙b3)2

答案I

33

一3

2∙42a2b~2

解析原式=——3——

__3

10a2b~2

4.已知常数必），函数加）=盒;的图象经过点尸（p,3,电，一9若RQ=36pq,则ci

答案6

2*1

解析因为於尸齐否^且其图象经过点P,Q,

1

①

则加尸二⅛=5'即爱=6-

十2，

Hq）=一石=一手即资=一6,②

1十2夕

①X②得常=1，则2P+"=a2pq=36pq,

所以“2=36,解得α=±6,因为α>0,所以α=6.

感悟升华1.指数幕的运算首先将根式、分数指数赛统一为分数指数幕，以便利用法则计算,

但应注意：（1）必须同底数露相乘，指数才能相加；（2）运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

考点二指数函数的图象及应用师生共研

【例1】（1）已知实数。，，满足等式2020"=202化下列五个关系式：

①0<A<α;②”<*0;③0<〃<6；④Xa<0；⑤a=b.

其中不可能成立的关系式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

⑵若函数./U）=2-2|-6有两个零点，则实数b的取值范围是.

答案（I）B（2）（0,2）

解析（1）如图，观察易知”，〃的关系为“<X0或0<X"或α=6=0.

在同一平面直角坐标系中画出y=∣2*-2∣与y=6的图象，如图所示.

.∙.当（XX2时，两函数图象有两个交点，从而函数Ar）=I2*—2］一人有两个零点.

〃的取值范围是（0,2）.

感悟升华1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通

过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数4与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【训练1】（1）（2020・长沙检测）函数y=6f—1（4>0,且“≠l）的图象可能是（）

(2)如果函数y=[3，-l∣+m的图象不经过第二象限，则实数机的取值范围是.

答案(I)D(2)(—8,-1]

解析(1)当“>1时，y=αx-5为增函数，且在y轴上的截距为0<1一十<1,此时四个选项均

不对；当O<α<l时，函数y="，一!是减函数，且其图象可视为是由函数y=炉的图象向下平

移光>1)个单位长度得到，选项D适合.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y=∣3*-1|与y=-m的图象，如图所示.由函数y=∣3"-1|

+机的图象不经过第二象限,则y=∣3"-1|与y=-m在第二象限没有交点，由图象知一加21,

即A∏≤—1.

考点三解决与指数函数性质有关的问题多维探究

角度1比较指数式的大小

^0.8

χ

[例2]⑴(2020・天津卷)设α=3<7,b=Q),c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

Jɪ

(2)已知y(x)=2'—2',4,人=G)5,则|。)，,火与的大小关系是.

答案(I)D(2)fia)>fib)

~0.8

解析(1)因为。=3。，>3。=1,=3t>∙8>3t>∙7,

c=logo,7θ.8<logo,7O.7=1,

所以6>a>c.故选D.

又函数7(x)=2'-2r在R上为增函数,

••加)习S)∙

角度2解简单的指数方程或不等式

⑷，在0,

【例3】(1)已知实数4Wl,函数人尤)=_若XLa)=ʌɑ-1),则α的值为______.

12"”,XeO,

(2)设函数/)T⑸-7,#0，若火q)<ι,则实数。的取值范围是.

Xe0,

答案(l)ɪ(2)(-3,1)

解析(1)当“<1时，4'~a=2',解得α=今

当α>l时，2""")=4"r无解，故α的值为去

a

⑵当α<0时，原不等式化为-7<1,

则27<8,解得“>一3,所以一3<α<0.

当“20时，则WV1,OWaVO

综上，实数α的取值范围是(一3,1).

角度3指数函数性质的综合应用

XX

【例4】(1)函数)，=G)—6)+1在区间［—3,2］上的值域是.

(2)已知定义域为R的函数兀0=—/+舟',则关于t的不等式加2_2f)+_/(2f2—l)<0的解

集为.

答案(1)|，571(2)(-8,-£)U(1,+∞)

X

解析(1)因为X∈L3,2],所以若令/=(；),

_1

-8

则Z∈,

一4

故y=∕2-f+]=,_£)+∣.

当t=]时，Vmin=不

当f=8时，ymaχ=57.

「3

故所求函数值域为4>57

(2)由题意知兀V)是奇函数，且在R上为减函数,

则y（∕2-2f）+y（2z2-i）<o,

即加2-2f）<-∕（2r2-D=川一2产）.

所以t1-2t>∖-2i1,解得f>l或f<-∣.

感悟升华1.比较指数式的大小的方法是：（1）能化成同底数的先化成同底数蕊，再利用单调

性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，

涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数“与力”的大小关系不确定时，要分类讨

论.

4'-1

303

【训练2】（1）（2021.郑州调研）已知函数y（x）=下一，α=Λ2°）,⅛=Λ0.2∙）,c=Λlogo.32）,

则”,h,C的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

av2+2x+3

（2）若函数yu）=Q）的值域是（o,I],则./（X）的单调递增区间是.

答案（I）A（2）（—8,-I]

4工—1

解析（1）因为犬X）=”­=2，一2"，定义域为R,火-x）=2r—2*=-∕（x）,故函数火》）是奇

函数，

又y=2”在定义域上单调递增，

y=2=在定义域上单调递减，

所以.小0=2工一2）在定义域上单调递增，

o3

由2°∙3>1,O<O.2-<l,log0,32<0.

可得负2。3）次0.2。3）MlogO32）,则a>h>c.

（2）∙..y=Q）'是减函数，且4x）的值域是（0,ɪ

Λr=0x2+2x+3有最小值2,

12〃—22

则”>0且F—=2,解之得a=l,

2

因此r=x+Zr+3的单调递减区间是（-8,-I1,

故y（x）的单调递增区间是（一8,-1].

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

L下列函数中，与函数y=2，一2一，的定义域、单调性与奇偶性均一致的是（）

X

A.y=sinxB.>'=x3C.y=R）D.y=logjx

答案B

解析y=2，一2一，是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y=SinX不是单调递增函数,

不符合题意；

X

>=（，是非奇非偶函数，不符合题意；

y=IogM的定义域是（0,+o°）,不符合题意；

y=x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.

2.（2021.成都诊断）不论α为何值，函数y=（α-1）2*—学亘过定点，则这个定点的坐标是（）

答案C

解析1）2*甘变为（2*_。/_（2*+旧=0,

依题意，对“CR,（2'—§4一（2，+丫）=0恒成立，

则2t-1=0,且2v+y=0,

.∙.x=-1且y=一上，即恒过定点（一1,一，.

3.（2019・全国1卷）已知“=1082（）.2,⅛=20∙2,c=0.2°3,则（）

K.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

答案B

解析由对数函数的单调性可得6!=log2θ.2<log2∣=0,

由指数函数的单调性可得6=2。2>2。=1,（Xc=0.20∙3<0.2°=1,所以“<c<⅛故选B.

4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过X年

可能增长到原来的y倍，则函数y=Ax）的图象大致为（）

答案D

解析设原有荒漠化土地面积为6,经过X年后荒漠化面积为z,则z=b（l+10.4%F故y

=f=（l+10.4%r,其是底数大于1的指数函数.其图象应为D.

5.（2020•长郡中学检测）若e"+πft2e"+π一",则有工）

A.t∕+⅛≤0B.〃——Z?20C.tz-⅛≤0D.α+人20

答案D

解析设yu）=e∙t—兀r,则yu）在R上是增函数，

afhaaahh

由e+π^~+π~9得e-π'^e~~π9

则人〃）2人一。），所以a》一b,则α+b20.

6.（2021•衡水中学检测）当x∈（-8,—1］时，不等式（苏—刈⑷—2、＜0恒成立，则实数加

的取值范围是（）

A.(—2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-l,2)

答案D

解析原不等式变形为祖2一,“〈（J）,

X

因为函数y=⑤在（一8,—1］上是减函数，

X-1

所以Ii）=2,

X

当xG（—8,—1］时，机2—wt＜6）恒成立等价于苏一根＜2,解得一1＜相＜2.

二、填空题

7.已知a>0,b>0,则

（%与）%一沟

答案I

121

解析原式=

ah2a勃3

8.设偶函数g(x)="L"在(O,+8)上单调递增，则g(α)与g(6—1)的大小关系是.

答案g(a)>g(b-l)

解析由于g(x)=/+M是偶函数，知6=0,

又g(x)=°M在(0,+8)上单调递增，得”>l.

则g(6-1)=g(-1)=g(1),故g(a)>g(1)=g(b-1).

9.已知函数yω=∙rJ的图象关于点(0,以对称，则α=_____,段)的值域为________.

1I-6f∙Z'\4/

答案1(0，1)

解析依题设y(x)+y(—X)=1,

2x2~x

则l+α∙2<+l+α.2r=L

整理得(。一l)[4'+(a-l)∙2r+1]≈0.

所以〃-1=0,则a=∖.

2Λ1

因此.Kx)=]+2*=1~ι+2χ-

由于1+2*>1,二0<-j-^<1,；.0<∕(x)<1.

故兀V)的值域为(0,1).

三、解答题

10.已知函数人X)=I^为奇函数.

⑴求”的值；

(2)判断函数式x)的单调性，并加以证明.

解(1)因为函数T(X)是奇函数，且y(x)的定义域为R；所以式0)=寄=0,所以4=-1(经

检验，a=-∖时久r)为奇函数，满足题意).

3x-12

(2)由(1)知TU)=百γ=l—市7，函数段)在定义域R上单调递增.证明如下：

设为，A⅛ER,且为<X2,

LlZVʌ2(3xι-3%2)

M./Ui)-√U2)=(3χ∣+ι)(3及+1)•

因为x∖<xι,所以3x∣<3x2,所以3xι-3X2<0.

所以兀ω<√(x2),所以函数兀r)在定义域R上单调递增.

11.已知函数见V)=万"(其中α,b为常数，且α>0,α≠1)的图象经过点A(l,6),8(3,24).

(1)求y(x)的表达式；

⑵若不等式C)+(力一,心O在仲一8,1]上恒成立，求实数,"的取值范围.

解(1)因为Kr)的图象过A(l,6),8(3,24),

ba=6,

所以

b∙a3=24.

所以层=4,又4>O,所以4=2,b=3.

所以yU)=3∙2L

XXXX

(2)由(1)知α=2,b=3,则当x£(—8,1]时，Q)+Q)一机20恒成立，即，%wQ)+(1)

在x∈(-8,1]上恒成立.

XXXX

又因为y=(，与y=(g)均为减函数，所以y=0+4也是减函数，所以当x=l时，y=

XX

G)+G)有最小值专

则相得故根的取值范围是(-8,I.