02第二章 不等式性质、一元二次函数、方程和不等式（原卷版）

第三章不等式性质、一元二次函数、方程和不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1a∈R，b>0⇔a>b,a∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba，b≠0，,\f(a,b)<1a∈R，b>0⇔a<b,a∈R，b>0.))2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)同向可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(6)可开方性：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系设y＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac.判别式Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅4．常用结论（1）若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．（2）若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).（3）eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考点一不等式的性质及其应用【例1】若a<0，－1<b<0，则下列各式中正确的是()A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a归纳点拨(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)比较大小的4种常用方法：作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法．(3)运用不等式的性质解决范围问题时，应正确推导和变形，注意整体思想的运用．对点训练1．(多选)已知m>n，且m＋n>1，则()A．2m>2nB．m2>n2C．m2－m<n2－nD．ln|m|＋ln|n|>02．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小关系为__________．3．已知角α，β满足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．考点二一元二次不等式的解法【例2】(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))C．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)(2)不等式eq\f(1－x,2＋x)≥0的解集为()A．[－2,1]B．(－2,1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)(3)解关于x的不等式kx2－2kx>x－2(k∈R)．归纳点拨(1)不含参数的一元二次不等式可以利用因式分解或对应方程的根求解，分式不等式转化为整式不等式进行．(2)含有参数的一元二次不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论．②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式．③其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.对点训练1．函数f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2－x,2x＋3)))的定义域为()A．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x≤－\f(4,5)))B．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<－\f(4,5)))C．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>－\f(4,5)或x<－\f(3,2)))D．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(4,5)或x<－\f(3,2)))2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>－\f(1,2)))，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为__________．3．解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)．考点三在实数集R上的恒成立【例3】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)归纳点拨一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))对点训练1．若命题“∃x∈R，使得x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2]C．(2,6) D．(－6，－2)考点四在给定区间上的恒成立【例4】若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围为________．归纳点拨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.对点训练1．若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]考点五给定参数范围的恒成立【例5】设关于x的不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m都成立，则x的取值范围为__________．归纳点拨解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围是________．考点六配凑法求最值【例6】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)(2)若x>2，则x＋eq\f(4,x－2)的最小值为()A．4B．5C．6D．7归纳点拨配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．对点训练1．已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值为__________．考点七常数代换法求最值【例7】(1)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则eq\f(1,4a)＋eq\f(1,9b)的最小值为()A．eq\f(1,25)B．5C．eq\f(25,36)D．25(2)已知x>1，y>0，且eq\f(1,x－1)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋2y－1的最小值为()A．9 B．10C．11 D．7＋2eq\r(6)归纳点拨常数代换法首先根据已知条件或其变形确定定值(常数)，并把该定值(常数)变形为1，然后把“1\”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式，最后利用基本不等式求解最值．对点训练1．(2023·山东滨州期末)已知正实数m，n满足eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝4，则m＋n的最小值是()A．2B．4C．9D．eq\f(9,4)考点八消元法求最值【例8】(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为__________．(2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．归纳点拨消元法是针对所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练1．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|2x－7<0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，则A∩B＝()A．{1,2,3} B．{0,1,2,3}C．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤\f(7,2))) D．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(7,2)))2．已知a，b∈R，且a>|b|，则下列不等式中不恒成立的是()A．a>b B．a＋b>0C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．a2>b23．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．[0,4) D．(0,4)4．已知函数y＝ax2＋2bx－c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0)，B(6,0)两点，则不等式cx2＋2bx－a<0的解集为()A．(－6，－2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，＋∞))5．(多选)已知a>1,0<c<b<1，则下列结论正确的是()A．ab>ac B．eq\f(c,b)>eq\f(c＋a,b＋a)C．logba<logca D．eq\f(b,b＋a)>eq\f(c,c＋a)6．若关于x的不等式x2－4x－a>0在区间(1,5)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，5) B．(5，＋∞)C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)7．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>1，c<0，则下列不等式一定成立的是()A．a2>b2>c2B．a－ac>b－bcC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))c>1D．loga(a－c)<logb(b－c)8．(多选)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8C．－2<x1<x2<4 D．x2－x1>69．若a，b是正实数，则“ab≤1”是“a＋b＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3处取得最小值，则a＝()A．48B．36C．16D．411．已知x>0，y>0，且(x－2)(y－4)＝8，则2x＋y的最小值为()A．16B．8＋4eq\r(2)C．12D．6＋4eq\r(2)12．已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m∥n，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．12B．8＋4eq\r(3)C．16D．10＋2eq\r(3)13．(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则以下不等式正确的是()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4 B．eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))≥2eq\r(2)C．a2＋b2≥1 D．ab2＋