1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）（解析版）

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）考点一空间向量的坐标表示【例1-1】（2023·河南）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，为的中点，∴，∴坐标为.故选：D【例1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【解析】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知：,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD【例1-3】．（2023春·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【一隅三反】1．（2023·北京）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC2．（2023山东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.【答案】【解析】因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.故答案为：；；3．（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1)；(2)；(3)；【答案】(1)，，，(2)(3)【解析】1）

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即，设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即，设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即，且点在轴上，则.（2）是的重心，由三角形重心公式可得.（3）设，且，则，，又，即点B坐标为.考点二空间向量的坐标运算【例2-1】（2023湖北）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，，所以，，，.故正确的选项为ACD.故选：ACD【例2-2】（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.【一隅三反】1．（2023陕西）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为，所以，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.2．（2022·福建省）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.3．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.①计算和②求.（2）已知向量.①若，求实数；②若，求实数.【答案】（1）①，；②；（2）①；②【解析】（1）①向量，，，②，即，，（2）因为向量，，①，，解得，②，，解得.考点三向量的坐标表示的应用【例3-1】（2023上海）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.【一隅三反】1．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】（1）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，则.（2）解：依题意得、、、，所以，，，，又，，所以，.（3）证明：依题意得、、、、，则，，，所以，，，则，，即，，又因为，所以，平面.2．（2023广西）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.【解析】（1）由于为坐标原点，所以由得：点N是AB的中点，点M是的中点，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直理由：由（1）中各点坐标得：与不垂直，所以直线与直线不垂直3．（2023天津）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）以为原点，分别以射线､､为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，所以，则.（2）由（1）知，，所以；考点四空间向量解决探索问题【例4】（2022·高二课时练习）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在点，使得？(2)在上是否存在点，使得平面？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱中，，，，则、、两两垂直如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，．（1）假设在AB上存在点D，使得，则，其中，则，于是，由于，且，所以，得，所以在AB上存在点D，使得，且这时点D与点B重合．(2)假设在AB上存在点D，使得平面，则，其中，则，．又，，平面，所以存在实数，使成立，∴，，．所以，所以在上存在点使得平面，且是的中点．【一隅三反】1．（2023·安徽滁州）已知．(1)求；(2)已知点在直线上，求的值；(3)当为何值时，与垂直？【答案】(1)(2)(3)【解析】（1），，．（2）因为点在直线上，与共线，则存在使得，即，，解得；（3），与垂直,，，时，与垂直．2．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】答案见解析【解析】方案一：选条件①．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．因为，所以，即．因为，，所以，