幂函数的图像与性质

【知识结构】1．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:;②正数的负分数指数幂:③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.例2（1）计算：；（2）化简：变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）(3)（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幂函数的是（）A．B．C．D．例2.已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幂函数，当时为减函数，则幂函数．2.幂函数的图像幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；例5.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．变式：已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性.5.规律方法（1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象（2）.幂函数的图象6.性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．xOy例6右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是 （）xOy 例7若点QUOTE错误!未找到引用源。在幂函数QUOTE错误!未找到引用源。的图象上，点QUOTE错误!未找到引用源。在幂函数QUOTE错误!未找到引用源。的图象上，定义QUOTE错误!未找到引用源。，试求函数QUOTE错误!未找到引用源。的最大值以及单调区间。例8若函数QUOTE错误!未找到引用源。在区间QUOTE错误!未找到引用源。上是递减函数，求实数QUOTE错误!未找到引用源。的取值范围。【巩固练习】1．在函数中，幂函数的个数为()A．0 B．1 C．2 D．32、幂函数的图象都经过点（）A．（1，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，0）3、幂函数的定义域为（）A．(0,+)B．[0,+)C．RD．(-，0)U(0,+)4．若幂函数在上是增函数，则()A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定5．若幂函数在(0，+∞)上是减函数，则()A．>1 B．<1 C．=l D．不能确定6．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)则不等式f(|x|)≤2的解集是()A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}C．{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)} D．{x|0＜x≤eq\r(2)}8．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2C．m＝2 D．m＝19、当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是A、a＜1 B、0＜a＜1 C、a＞0 D、a＜0二、填空题：11、若＜，则a的取值范围是____；12.函数的定义域为___________.（A）（B）（C）（D）（E）（F）13．幂函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,8)))，则满足f(x)＝27的x的值是________．14．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数的图像过点，则函数的解析式为__________.2.已知函数是幂函数，则实数的值为__________.3.幂函数的图像与两坐标无交点且关于轴对称，则的值等于_________.4.设，已知幂函数是偶函数，且在区间上是减函数，则满足要求的值的个数是__________.5.已知函数的图像的对称中心是，则函数的单调递减区间是_________.6.已知幂函数的图像当时，在直线的上方；当时在直线的下方，则的取值范围是__________.7.函数的图像可以看成由幂函数的图像向__________平移________个单位.8.已知，则实数的取值范围是_________.二、选择题9.如图，、、、分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①；②；③；④，则、、、与四个函数序号的对应顺序只可能是（）.（A）①②③④ (Ｂ)②③④①(Ｃ)②①③④ (Ｄ)③②①④10.下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（）.（Ａ） (Ｂ)（Ｃ） (Ｄ)11.当时，下列函数的图像全在直线下方且为偶函数的是（）.