数学-第20讲 图形的相似

第二十讲——图形的相似考向一比例线段及其性质1．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米2．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（）A． B． C． D．

1．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．2．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．考向二平行线分线段成比例1．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．2．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．

1．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．2．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．考向三相似多边形1．（2020·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

2．（2020·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm21．（2020·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形2．（2020·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（）A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1考向四相似三角形性质与判定1．（2020·浙江绍兴市·中考模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（）

A． B． C． D．2．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．3．（2020·湖南长沙市·中考真题）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；（3）若，记，求的值．1．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（）

A．2 B． C．3 D．2．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个3．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．考向五相似比相关问题

1．（2020·云南中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点，则与的面积的比等于（）A． B． C． D．2.（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（）A． B． C． D．1．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．2．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在中，D是中点，，若的周长为6，则的周长为______．

考向六相似三角形的实际应用1．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．2．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是()A． B． C． D．1．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm

，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种 B．两种 C．三种 D．四种2．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．考向七位似1．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（）

A．四边形B．四边形C．四边形D．四边形2．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．（1）画出，并直接写出点的坐标；（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．1．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B

（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）2．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A． B．2 C．4 D．

1．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似2．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．53．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（）A．B．C．D．4．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5

5．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm6．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A． B．5 C． D．107．（2020·广东广州市·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（）A． B． C． D．

8．（2019·广西贺州市·中考真题）如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2019·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：310．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．

11．（2020·四川宜宾市·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．12．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___．13．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，则的长为________．14．（2020·山东东营市）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．

15．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长．

16．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

17．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．18．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．（1）当时，求证：证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格（2）当时，判断与是否相似，并说明理由

19．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．①若正方形的边长为4，求的长度；②若，求正方形的面积．

20．（2020·江苏宿迁市·中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（）A． B． C． D．2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（）A． B．25 C．35 D．633．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．5．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于()．

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换6．（2020·海南中考真题）如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．7．（2020·海南中考真题）如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为（）A． B． C． D．8．（2020·云南昆明市·中考真题）

在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个9．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A．14B．15C．D．10．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（）A． B． C．4 D．

11．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（）A．或 B．15 C． D．12．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．13．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．14．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．

15．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．16．（2020·山西中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．17．（2020·四川乐山市·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．18．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为_____．

19．（2020·四川